2022年考前复习+根式盘点

1、精品资料欢迎下载栏目名： 学问巧梳理一、学问结构图考前复习根式盘点平方根同类二次根式最简二次根式算术平方根二次根式化简运算实数的肯定值的性质加减乘除二、重点梳理（一） 二次根式的有关概念1. 形如a （a0）的式子叫做 二次根式 事实上 a （ a 0）表示非负数 a 的算术平方根 （正数 a 的正的平方根叫做正数 a 的算术平方根；零的算术平方根是零）如9 的算术平方根是3.2. 满意以下两个条件的二次根式叫做 最简二次根式：（1） 被开方数的因数是 整数，因式是 整式（即被开方数不含分母） ；（2） 被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式如3;5 ;2ab 等是最简二次根式 . 但 8;3

2、 ;a 2b 等不是最简二次根式 .23. 几个二次根式化成最简二次根式后， 被开方数相同 的二次根式， 叫做同类二次根式 . 如2;8;18 是同类二次根式 .4. 把分母中的根号化去叫做 分母有理化 常用的有理化因式：（1） a 与 a ； （ 2） ab 与 ab ； （3） abc 与 abc如 5 与 5 ； 13 与 1-3 ； 232 与 232 .（二）二次根式的主要性质（ 1）a （a0）是一个非负数，即a 0（ a 0）；（ 2） a 2=a a0；（3） a2aa a0 ；（4） ）二次根式的乘法法就：aaabab0 a0, b0（5） ）二次根式的除法法就：aa a0,

3、 b0bb（三） 二次根式的运算（ 1） 二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式 ，再把同类二次根式分别合并（ 类似整式中的合并同类项） ；（2） ）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除 ，根指数不变 ；三、特殊关注1. 留意二次根式 a 的双重非负性，a 它表示非负数 a 的算术平方根.： 1被开方数 a 必需是非负数 . 2a 的结果是 非负数 .即 a 0（a0）.2. 留意二次根式的乘除法就的使用条件，及会逆用乘除法法就对二次根式进行化简即abab 中a0, b0. ，但aa 中a0, b0,，bb由于分母为零时，分式无意义；3. 二次根式的加减的关键

4、就是 合并同类二次根式 .为判定同类二次根式应先将二次根式化简，二次根式运算的结果也应尽可能化简.4. 在进行二次根式的混合运算时，要留意充分运用有理数（或式）的运算律、运算法就、乘法公式及借助有理式运算中的分解因式、通分、约分等方法，简化运算过程，提高运算速度；四、思想方法（一） 类比思想： 二次根式是在算术平方根的基础上引入的，二次根式的加减是类比合并同类项得到的；（二）分类思想： 对式子 a2a五、考点例析考点 1：算术平方根a aaa0 的化简；0 例 1（05 南京） 9 的算术平方根是（）a -3b.3c.3d.81分析 :由于 9 的平方根是 3 ,所以 9 的算术平方根是 9

5、的正的平方根 3,应选 b.考点 2: 最简二次根式例 2 05 哈尔滨市 在以下根式45a;2a3 ;b;8x 中,最简二次根式的个数为322a4 个b.3 个c.2 个d.1 个分析 :45a;b 是最简二次根式 ,2a中有因式a 可以开出 ,8x 中有因数 2 可以开出，所以2a3;8 x 不是最简二次根式 .应选 c.考点 3: 同类二次根式例 3 05 北京市 以下根式中 ,能与3 合并的是 a24b.12c.32d. 18分析 : 能与3 合并的应是3 的同类二次根式 ,这几个二次根式都不是最简二次根式,应先化为最简二次根式 ,24 = 26 ;1223 ;3622;1832 .所

6、以与 3 是同类二次根式的是12 ,应选 b.例 4 05 青海省 如最简二次根式1a 与42a 的被开方数相同 ,就 a 的值为a. a34b. a4 3c. a1d. a1 .分析 : 最简二次根式 1a 与 42a 的被开方数相同 ;即1a应选 c.考点 4: 二次根式的运算例 5 06 山东省东营市 以下运算正确选项 42a ,解得 a1.a 822b.27312941c.25251d. 623 2 .2分析:由二次根式的性质和运算法就的822222 . 而 b 选项中明显用被开方数除以非被开方数 ,错用二次根式除法法就 ;c 选项用平方差公式即可得 45 =1; d 选项丢了22=-

7、1 这一项. 应选 a.例 6 （ 05 江西省） 化简8222 得a-2b.22c.2d. 422分析 :由二次根式的性质和运算法就得 ,8222222222 .应选 a.考点 5:分母有理化化简例 7 （ 06 北京市）运算2210821分析：原式 = 2212211 .考点 6: 运用二次根式的性质化简例 8（06 江西省） 已知 a2，就 a22分析：aa 2,22a20,a 22a.例 9 （ 05 绍兴） 化简4 x24 x12 x23得（）a2b.4x4c. 2d. 4x4 .分析: 由2 x30, 得2 x10 , 所以4 x224 x12 x3=考点 7：二次根式成立的条件2

8、2 x12 x3 = 2x12x32 , 故应选 a.例 10（ 06 山西省课该试验区） 代数式1x有意义时，字母 x 的取值范畴（）1a. x1b. x1c. x0且x1d. x0且x1.分析: 由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以x10,即 x1.应选 a考点 8：估算二次根式例 11 （06 沈阳课改）估算243 的值为 a在 5 和 6 之间 b.在 6 和 7 之间 c.在 7 和 8 之间d. 在 8 和 9 之间.分析：由于162425 即 4245 ，所以 72438 . 应选 c.栏目名： 重难点剖析二次根式的“五重点” “三难点”详解一、 五大重点一一攻克1.

9、二次根式的概念： 重点留意 被开方数是非负数；例 1 判定以下式子哪些是 二次根式 （ 1）13;（ 2） 3 5 ； （ 3） 9 ；（4）5x ； （5）x2剖析：判定一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为 2，被开方数整体是否为非负数解：（ 1） 被开方数 -13 是负数，13 不是二次根式；（2） ） 根指数是 3 ， 3 5 不是二次根式；（3） ）被开方数 90 9 是二次根式；4 x 可取正数、负数、 0； 5x可取正数、负数、 0；即当 5x0 时，5 x 是二次根式； 当 5x0 时，5 x 不是二次根式；（5） x20， x20 ，即当 x0

10、 时，x2 是二次根式；当 x0 时，x2 不是二次根式；2. 二次根式的两个重要性质的懂得和运用（ 1） a 2=a a0；（2） a2aa a0 ；例 2化简（ 1）2x21aa0 （ 2）4a3剖析： a 2=a a 0的运用主要看被开方数 a 整体是否为非负数；（ 1） 中x21 无论 x 取何实数恒为正数，故x212= x21 ；运用 a2aaa0 要特殊关注 a 的正负性；a a0 ;（2）4a3 中由 4 a30 得 a0,a0 ，所以4a3=4 ×a2 a =2a 2 ·a =2aa ；3. 最简二次根式的概念的运用2 2例 3在二次根式 15 ,45 ,3

11、0 ,40 ，3 中，最简二次根式有（）个a. 1b. 2c. 3d. 4剖析：判定一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点（1） 被开方数不含分母；（2） 被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式例 3 中 15,30 满意以上两个特点，故15;30 都是最简二次根式；而4595 ;40410中被开方数分别含有能开得尽方的因数9 和 4，故45;40 都不是最简二次根式；简二次根式；应选 b；282中被开方数含分母 3，故332 2 不是最34. 运用二次根式乘除法法就运算或化简例 4 化简:1227624解:原式=12241224122444224 .276276276933例 5

12、运算： 2bab53a3b3a2b解:原式=233ab5a 3b a9a4 b4 abb2bb22=9 a babb9a2 bab；点拨: 运用二次根式乘除法法就进行乘除混合运算时, 一要留意运算次序， 二要留意整体观看被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的成效；5. 二次根式加减法法就的运用例 6 运算120.51183解:原式 = 2 3233 2213132 = 7352233232点拨：运用二次根式加减法就运算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式， 再合并同类二次根式；二、三大难点各个击破1. 二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用；例 1 已知x32x2xx2, 求

13、x 的取值范畴？剖析：二次根式a 中 a 的取值范畴为 a0 ，从而 a0 ；解：x32x20; xx20而x20,x0 即 x0. 又x20,x2 x 的取值范畴是 2x0 ；例 2 数 a、b 在数轴上的位置如下列图，化简： a1 2b1 2ab2.由图可知： 2a1,1b2 ； a10; b10; ab0a1 2b1 2ab 2= a1b 1aba1b 1ba22. 逆用二次根式乘除法法就进行化简例 3 运算或化简（ 1） 9 8 ； （2）9x2 y3xy（ x0; y0 ）3解：（1） 9 8 =989832262.（ 2）9 x2 y2xy 3 =9x2y2 xy33xy xyxy

14、（ x0; y0 ）.3. 敏捷运用 二次根式加减乘除混合运算化简求值例 4 已知 x75 , y275 ,2求 x2xyy2的值.解: 由题可知 xy7; xy1 .2x2xyy 2 = xy 23xy7311 .22点拨: 观看发觉已知条件x, y中的5 与-252 是一对相反数 , 而所求式子是这两个数的平方和与这两个数的乘积的差, 故可由已知转变条件 , 运用完全平方式简化求值 .栏目名：错题集解二次根式常见错误分类解析一、审题不清导致错误例 116 的平方根是.错解：16 的平方根是4.诊断：错把 16 的平方根当成 16 的平方根；正解：164;16的平方根是2；二、化简不完全，结

15、果不是最简二次根式例 2 化简 72 .错解：原式983 8.诊断：化简二次根式的结果肯定是最简二次根式，而 822 ；正解：原式983 832262.或原式62.三 、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0 而导致错误例 3 化简xy xy错解：x - yx - yx -yx -yx -yx -y .xyxyx -yx - y诊断：题中只隐含xy0, 即 x 0， y 0，所以 x 与 y 有可能相等；故应分两种情形；正解：（1）当 xy时，原式 =0；（2）当 xy时，xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy四、漏掉括号导致错误例 4 分母有理化a12a1错解：原式aa1 .2a1诊断: 当

16、一个式子与一个多项式相乘时 , 多项式应留意添括号 .正解:原式 a1 a1a12a12五 、忽视 a 中的隐含条件 a 0例 5 化简1x3xx2 .错解：原式1x x2xx 1 xxxxxx诊断：忽视了x3的隐含条件x 30,即x0;x2x成立的条件是 x0;当x0时,x 2x.正解：由x30, 得x0;原式 1x x2x1 xxxxx.xx六、在化简a2 时，忽视字母的详细取值而导致错误例 6 当a11时，求a221的值；5aa 2错解：原式 1a1 2 1a1a1 .aaaa5诊断: 由a1 , 得 15 , 就a1 0,a1 2a11a .5aaaaa正解:原式 1a1 2 11a2

17、a1019 4 .aa七、连用“”号出错aaa55例 7 已知 rt abc 中，两条直角边长分别为 a9,b40,求斜边 c.错解：由勾股定理， c2a2b2 92402168141.诊断：运算法就变了，仍连用“ =”号出错；正解：由勾股定理， c2a 2b 2924021681;c168141.八、不管字母正负；滥用积（商）的算术平方根性质而出错例 8 已知 ab2, ab1,求a b .b a错解：原式ababababab2 .babaab诊断: 由ab1 0, 知 a, b 同号; 又ab2,a 0, b 0.正解: 原式=abab11ab2.b 2a2baab九、运算次序不清导致错误

18、例 9 运算ab ÷ a × 1a错解：原式ab ÷1 ab ；诊断：遗忘乘除是同一级运算，应按从左到右依次运算；正解：原式ab11bab ；aaaa例 10 运算： 523 .错解： 523333 .诊断：，实数的加减乘除四就运算法就对于二次根式的运算仍旧适用， 应先算乘除，再算加减；正解：523523152333十、乱用运算律导致错误例 11 运算 632 .错解：原式6 ÷ 3 6 ÷ 2 23 ；诊断：除法没有安排律，此题应分母有理化；正解： 632=632十一、在去括号时出错6323218123223例 12 运算： 557错解： 5

19、575577 .诊断：去括号法就对二次根式仍旧适用，括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都转变符号；正解： 5575577十二、用公式时出错例 13 运算：22332错解：22223322332121830诊断：运用完全平方公式丢项出错；222正解： 2332232233232121261830126 ；栏目名：期末练兵综合练习题一、挑选题（每道题3 分, 共 30 分）1. 以下各式正确选项（）a 42;b. 626; c.7575; .d.5252. 以下各式中属于最简二次根式的是（）a 27b 5c 12d 123. 在以下各组根式中，是同类二次根式的是（）a 3 和 18b 3 和1

20、c 3a2b 和ab2d a1 和 a1 4.以下根式 : 12x ; 4二次根式是 m ; 30 ; x22y2 ; 6a3 ; a , 其中最简3a. b. c.d.25. 化简x5 的结果是（）a. xxbx2xc x 2xd x2x6.52122的平方根是 a.13b.13c.±13d.137. 如把a1 的根号外的 a 适当变形后移入根号内，得（）aa. abacad a8. 使等式 x3x5x3成立的条件是 x5a.x5b.x >5c.x 3d.x 3且 x 59. 如 x, y 为任意实数 , 就以下各式的值肯定为正数的是a. x +5 b.y 212c.xy2n

21、d.x2y 210.已知a -2ab +b=0 a >0,b>0, 就 3aabb等于 5a3 ab4ba.1b.1 ;c.2d.33234二、填空题 : 每空 2 分, 共 26 分1. 64 的算术平方根是.2.179的相反数的平方根是.3.12 的肯定值是 ，它的倒数.4.用“ <”号把2 ,3 ,3 ,5连接起来 :.22355. 当 x时， 2x3 有意义，如2x 有意义，就 x.22x6. 当 m > n 时，nm;32.27. 如图，化简a2b2 =.8. 某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔， 其面积是3 cm ，就这个孔的宽为cm 42 cm ，它的长为9.当 1 x <3 时, x12x3 =.10.如x13 , 就 x2x12 =.x三、解答题