指数函数性质及应用

1、2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页1.1.指数函数指数函数: :函数函数y=ax( (a0,0,且且a1)1)叫做叫做指数函数其中指数函数其中x是自变量是自变量, ,函数定义域是函数定义域是R. .2.指数函数的图象和性质：指数函数的图象和性质：2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页xoy2xy 1()10 xy 3xy 10 xy 1( )3xy 1( )2xy 在第一象在第一象限里限里, ,图象从图象从低到高低到高, ,底数底数逐渐变大逐渐变大. .指数函数性质应用指数函数性质应用题型一题型一 图像问题图像问题2.1.2指数函数及其性质指数函数及

2、其性质(二二)主页主页题型二题型二 图像过定点问题图像过定点问题 例例1.函数函数yax- -32(a0,且且a1)必经必经过哪个定点？过哪个定点？ 由于函数由于函数yax(a0,且且a1)恒经过定点恒经过定点(0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一因此指数函数与其它函数复合会产生一些丰富多彩的些丰富多彩的定点问题定点问题 (3,3)2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页 【1】函数】函数yax+5- -1（a0,且且a1）必经）必经过哪个定点？过哪个定点？ 【2】函数】函数 恒过定点恒过定点(1,3)则则b=_.2x bya ( 5,0) 12.1.2指数函数及其性

3、质指数函数及其性质(二二)主页主页题型三题型三:求定义域、值域问题：求定义域、值域问题：( (利用复合函数利用复合函数, ,结合图象法结合图象法) )例例1（1）求函数求函数y=2x(-1x1)的值域的值域 （2）求函数求函数 的定义域与值域的定义域与值域 642 xy （3）求函数求函数 的定义域与值的定义域与值域域 xxy22)41(例例2、已知函数已知函数y=4x+22x-1 , 求函数求函数y在在-1，1上的最大值和最小值上的最大值和最小值.2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页例例1.说明下列函数图象与指数函数说明下列函数图象与指数函数y2x的的图象关系，并画出它

4、们的图象图象关系，并画出它们的图象: 题型四题型四 指数函数图象的变换指数函数图象的变换一（平移问题）一（平移问题）;2,2(1)21 xxyy;2,2(2)21 xxyy. 12, 12)3( xxyy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页x-3-2-101230.125 0.250.512480.250.51248 160.51248 16 3212xyxy2 22 xy作出图象，显示出函数数据表作出图象，显示出函数数据表212,2(1) xxyy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系

5、的图象关系12 xyxy2 22 xy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页x-3-2-1012 30.1250.250.5124 80.06250.1250.250.512 40.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 212 xyx

6、y2 22 xy作出图象，显示出函数数据表作出图象，显示出函数数据表212,2(2) xxyy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 22 xy2.1.2指数函数及

7、其性质指数函数及其性质(二二)主页主页. 12, 12)3( xxyy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 12 xy. 12, 12)3( xxyy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 xyxy2 12 xy. 12, 12)3( xxyy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页987654321-4-224Oxy 比较函数比较函数.的图象关系的图象关系12 x

8、yxy2 12 xy. 12, 12)3( xxyy2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页小小 结：结：向左平移向左平移a个单位得到个单位得到f(xa)的图象的图象;向右平移向右平移a个单位得到个单位得到f(xa)的图象的图象;向上平移向上平移a个单位得到个单位得到f(x)a的图象的图象;向下平移向下平移a个单位得到个单位得到f(x)a的图象的图象.f(x)的图象的图象2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页二二 对称问题对称问题 例例1 1 说出下列函数的图象与指数函数说出下列函数的图象与指数函数 y=2=2x 的图象的关系的图象的关系, ,并画出它们的

9、示意图并画出它们的示意图. .(1)2xy (2)2xy (3)2xy yxoyxoyxo（x, ,y) )和和( (- -x, ,y) )关于关于y轴对称！轴对称！（x,y)和和(x,- -y)关关于于x轴对称！轴对称！（x,y)和和(- -x,- -y)关关于原点对称！于原点对称！2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页(1) y=f(x)与与y= =f(- -x)的图象关于的图象关于 对称；对称； (2) y= =f(x)与与y=-=-f(x)的图象关于的图象关于 对称；对称； (3) y= =f(x)与与y=-=-f(- -x)的图象关于的图象关于 对称对称. x 轴

10、y 轴原 点 2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页 例例1.1.设设a是实数是实数, (1), (1)试证明试证明对于任意对于任意 a, f( (x) )为增函数；为增函数；2( ).21xf xa 证明证明: :任取任取x1 1, ,x2 2 , ,且且f(x1)f(x2)=21222121xx 12212222(21)(21)xxxx 12212 (22).(21)(21)xxxx y=2x在在R R上是增函数上是增函数, ,且且x1 1x2 2 , ,1222 ,xx12210,210,xx 又又12220.xx 即即f( (x1 1) )- -f( (x2 2)

11、)0,0,即即 f( (x1 1) )f( (x2 2).).故故 对于对于a 取任意实数取任意实数,f(x) 为增函数为增函数.题型五题型五 单调性的证明单调性的证明12.xx 2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页 例例2.讨论函数讨论函数 的单调性的单调性,并并求其值域求其值域.221( )( ),15xxf xx 解解: : 任取任取x1, ,x2(- -,1, ,且且x10, f(x2)0,2222112221()1( )()5xxxxf xf x则则2121()(2)1( ).5xxxx 2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质(二二)主页主页 x1x21, 21()1,()f xf x21()().f xf x 即即所以所以 f( x ) 在在 (- -,1上为增函数上为增函数.又又 x2 - - 2 2x = =( (x - -1)1)2 - -11- -1,1,221110( )( )5,55xx所以所以函数的值域是函数的值域是(0,5.(0,5.此时此时 (x2-x1)(x1+x2-2)0, x1+x2- -2 0 0时时, ,f( (x) )=2=2x+1+1, ,求当求当x0 0时