抛物线的标准方程与几何性质

1、 问题情境 抛球运动抛球运动平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做。的轨迹是抛物线。则点若MMNMF, 1FMlN定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的。定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的。定点定点F与定直线与定直线l的的位置关系是怎样的？位置关系是怎样的？FMlN步骤：步骤：（1）建系）建系（2）设点）设点（3）列式）列式（4）化简）化简（5）证明）证明想一想？想一想？1.求曲线方程的求曲线方程的基本步骤是怎样基本步骤是怎样的？的？yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：思考： 抛物抛物线

2、是一个怎样线是一个怎样的对称图形？的对称图形？FMlN 回忆一下，看看上面的方程哪一种简单，回忆一下，看看上面的方程哪一种简单，为什么会简单？启发我们怎样为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？建立坐标系？学生活动 xyoFMlNK设设KF= p则则F（ ，0），），l：x = - p2p2设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），）， 由定义可知，由定义可知，化简得化简得 y2 = 2px（p0）22)2(pxypx2取过焦点取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线l l的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线的中垂线 为为y y轴轴 其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的

3、几何意义是: 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离2、抛物线的标准方程、抛物线的标准方程 方程方程 y2 = 2px（p0）yoxFMlNK方程方程y2 = 2px（p0）表示抛物线的焦点表示抛物线的焦点在在 X X轴的正半轴上轴的正半轴上 焦点：焦点：F（ ，0），准线），准线L：x = - p2p2构建数学构建数学 一条抛物线，由于它在坐标平面一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的物线的标准方程标准方程还有其它形式还有其它形式.抛物线的标准方程还有抛物线的标准方程还有几种几种不同的形式不同的形式?它们是它们是如何建系的如

4、何建系的?构建数学构建数学 准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形三三. . 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0 ,2(pF)0 ,2pF(-)2, 0(pF)2, 0(pF-2=px-2=px2=py2=py-xyOFlxyOFlxyOFlxyOFl？。的标准方程是（或可化为）抛物线其中的一部分的图象都是抛物线，二次函数pyxaxycbxaxy2222的二次函数。抛物

5、线，但它不是是我们以前没学过的标准方程中的xpxy22结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比椭圆、双曲线如何探索类比椭圆、双曲线如何探索抛物线的几何性质？抛物线的几何性质？x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.yxoF(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连

6、接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例例1（1）已知抛物线的标准方

7、程是）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y = 6x2,求它的焦求它的焦点坐标和准线方程；点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求），求它的标准方程。它的标准方程。解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准故其标准方程为方程为:x = - 8y232解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,）32准线方程为准线方程为x=- .数学应用数学应用 解解:方程可化为方程可化为: 故焦点坐标故焦点坐标为为 ,准线方

8、程为准线方程为 ,612yx)241, 0( .241y1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是 x = ；41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y练习练习1 2 2、已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；求它们的焦点坐标和准线方程；（2）先化为标准方程 ， ，焦点坐标是（0， ），准线方程是y .yx12122

9、41p481481 （1）p6，焦点坐标是（3，0）准线方程是 x3解： 练习练习1 数学应用数学应用 例例2 2、求过点求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。的抛物线的标准方程。AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。2934 已知抛物线经过点已知抛物线经过点P(4,P(4,2)2)，求抛物线的标，求抛物线的标准方

10、程。准方程。提示：注意到提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为的标准方程为y2=2px或或x2=-2pyyxxyppyxypxxpyP8, 4,212, 422)2, 4(22212212或所求为可得代入，将或方程为位于第四象限，设所求点解： 练习练习2 M (x , y) y x F(4,0) -4 -5 例例3 3、点点M与点与点F（4，0）的距离比它到直线）的距离比它到直线l：x50的距离小的距离小1，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程 如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦

11、点，x4为准线的抛物线因为p/2=4,所以p=8,所求方程是y216x分析：分析： 数学应用数学应用 1、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，）上一点，若点若点M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的到焦点的距离是距离是X0 + 2pOyxFM抛物线抛物线 (p.0) 上任意一点上任意一点Ppxy22),(00yx到焦点的到焦点的距离（称为焦半径）距离（称为焦半径） 2|0Px等于等于练习练习3 2、抛物线抛物线 y2 = 2px ( p0 ) 上一点上一点M到焦点的距离是到焦点的距离是 a ( a ),则点则点M到准线的距离是到准线的距离是 , , 点点 M的的横坐标

12、是横坐标是 . .2paa 2p3、 抛物线抛物线y2 =12x上与焦点的距离上与焦点的距离等于等于9的点的坐标是的点的坐标是 . .)26, 6( 例4. 斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2 =4x 的焦点的焦点, ,与抛物线相交于两点与抛物线相交于两点A、B, 求线求线段段AB的长的长. .l lXyFAOB数学应用数学应用 分析分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式弦长公式求。求。 解法一：如图解法一：如图822，由抛物线的标准方程可知，

13、抛，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线），所以直线AB的方程为的方程为y=x1. 将方程将方程代入抛物线方程代入抛物线方程y2=4x,得得（x1）2=4x 化简得化简得x26x1=0设设A(x1,y1),B(x2,y2)得：得：x1+x2=6 , x1x2=1 . 将将x1+x2,x1x2的值分别代入的值分别代入弦长公式弦长公式22122114)(|kxxxxAB82436 分析分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将联系，利用抛物线定义将AB转化成转化成A、B间的间的焦点弦焦点弦（两个焦

14、半径的和），从而达到求解目的（两个焦半径的和），从而达到求解目的.同理同理, 12xBBBF于是得于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x22.于是于是 |AB|=6+2=8解法二：在图解法二：在图822中，由抛物线的定义可知，中，由抛物线的定义可知，|AF|=. 12|,11xpxAAAA而说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率少了运算量，提高了解题效率. 由方程由方程x26x1=0，根据根与，根据根与系数关系可以得系数关系可以得 x1+x2=6例例5. 求证求证: : 以抛物线的焦点弦为直径的圆以抛物线的焦

15、点弦为直径的圆 与与 抛物线的准线相切抛物线的准线相切. .A1M1B1AXyOFBl lM例题讲解例题讲解 221122122(0)( ,), (,),:.ypx pABA x yB xyy yp 例4、过抛物线焦点作直线交抛物线于， 两点，设求证QPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0 ,2(),2(),2(21pFypQypPQFPF 0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ例例6. 在抛物线在抛物线y2 = 2x上求一点上求一点P, 使使P到焦点到焦点F与与到点到点A ( 3,2 )的距离之和最小的距离之和最小. .PQ

16、l lAXyOF例题讲解例题讲解 1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（ ） A.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.必要但不充分条件必要但不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2过原点的直线过原点的直线l与双曲线与双曲线13422yx交于两点，则交于两点，则l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是_. 3过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F的诸弦中，最短的的诸弦中，最短的弦长是弦长是 。课堂练习课堂练习4B)23,23(2p4.4.过点过点(0,2)(0,2)与抛物线与抛物线28yxA. .1条条 B. .2条条 C. .3条条 D. .无数多条无数多条只有一个公共点的只有一个公共点的直线有直线有( )C1、抛物线的定义、抛物线的定义,标准方程类型与图象的标准方程类型与图象的 对应关系对应关系以及以及判断方法判断方法2、抛物线的、抛物线的定义、标准方程定义、标准方程和它的焦点、和它的焦点、准线方程准线方程3、求标准方程常用方法：求标准方程常用方法：（1 1）用定义）用定义 ；（2 2）用待定系数法。）用待定系数法。课堂新授课堂新授 本节主要学习内