第四章 刚体转动

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-1 刚体及刚体运动刚体及刚体运动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体：刚体：a. a. 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体（考虑大小、形状，忽略形变）物体（考虑大小、形状，忽略形变） b.b. 任意两质点间距离保持不变的质点系（组）任意两质点间距离保持不变的质点系（组） 刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动，一般运动平动、转动，一般运动 刚体是理想模型刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的刚体模型是为简化问题引进的说明说明：4

2、.14.1 刚体及刚体运动刚体及刚体运动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动平动：平动：刚体中所有点的刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相运动轨迹都保持完全相同（或刚体内任意两同（或刚体内任意两点连线的方向保持不变）点连线的方向保持不变）平动特点：平动特点：任意时刻任意时刻刚刚体中各点运动状态一样，体中各点运动状态一样，如：如： 等都相等都相同同a、v结论：结论：刚体平动时，刚体中各质点的轨迹都一样，故可刚体平动时，刚体中各质点的轨迹都一样，故可用体内任意一点的运动来代表整体的运动。用体内任意一点的运动来代表整体的运动。第四章

3、第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动：转动：刚体中所有点都绕同一直线做圆周运动刚体中所有点都绕同一直线做圆周运动刚体的刚体的一般运动一般运动可看作：可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1） 刚体中每一质点均作圆周运动，刚体中每一质点均作圆周运动，2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需运动描述仅需一个一个坐标，因此采用角量描述坐标，因此采用角量描述 ., a, v 刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点： 具体研究对

4、象：具体研究对象：刚体定轴转动（转轴固定不动的转动，刚体定轴转动（转轴固定不动的转动， 例如：门的开关）例如：门的开关）第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动)(tl 角位置角位置)()(tttl 角位移角位移tddl 角速度角速度l 角加速度角加速度tdd 刚体定轴转动的角量描述：刚体定轴转动的角量描述： 角量与线量的关系：角量与线量的关系： rv2ntrara 方向：方向：沿转轴沿转轴，右手螺旋法则，习惯上，右手螺旋法则，习惯上取为正方向取为正方向 方向：方向：沿转轴沿转轴， 与与 同向为正，反之为负同向为正，反之为负第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1

5、 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-3 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 问：问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的用于同一点，并仅考虑力的大小大小和和方向方向所产生的作所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力力的的作用点作用点的位置对物体的运动有影响吗的位置对物体的运动有影响吗？0,0iiMF圆盘静止不动圆盘静止不动0,0iiMF圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动FFFF力的力的作用点的位置作用点的位置对

6、物体对物体转动转动会产生影响会产生影响.第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 特点：特点：只有只有垂直于转轴的垂直于转轴的力力 对固定转轴才有力矩对固定转轴才有力矩一、力矩一、力矩( ) ( ) 作用：作用：改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态zOkFrFFFFF 平行转轴的分力不能改变定轴转动状态，平行转轴的分力不能改变定轴转动状态，只讨论只讨论垂直转轴的力对转轴的力矩。垂直转轴的力对转轴的力矩。 MF第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 定义式：定义式：Pz*OMFrdFrM 方向：方向：沿转轴沿转轴FdFrMsin 合力

7、矩：合力矩：等于各分力矩的矢量和等于各分力矩的矢量和321MMMM 注意：注意：内力矩的矢量和为零内力矩的矢量和为零0212211dFdFFrFr0内M2r1r1F2FOd合合外外力距力距第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动阻动MMM 实际计算实际计算：矢量合成变为矢量合成变为代数量代数量计算。计算。（1）习惯上）习惯上取取 为正方向为正方向（2）动力矩：）动力矩：0, MM同向与0, MM反向与阻力矩：阻力矩：1F2Fo1r2r12MMM（3 3）合外力矩：）合外力矩：022FrM011FrM第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴

8、转动 定义：定义： 物理意义物理意义：转动惯性大小的量度：转动惯性大小的量度 .二、转动惯量（二、转动惯量（ ）Jm（1）质量）质量离散离散分布刚体的转动惯量分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJiii（2）质量）质量连续连续分布刚体的转动惯量分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22质量元：质量元：md转动半径转动半径： rrOmd第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动例例1 1 长长 、质量质量 的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。lm轴位于中心轴位于中心C：ABdxlxABCdx2l2lx轴位于端点轴位于端点A：例例2 均质均

9、质圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量例例3 均质均质圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量231mlJ 2121mlJ 2mRJ 221mRJ 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 影响转动惯量的因素影响转动惯量的因素： （1）刚体的总质量刚体的总质量 （2 2）质量分布）质量分布 （3 3）转轴的位置）转轴的位置 注意：注意：（1）只有对于几何形状规则、质量连续且）只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。（2）对于几何形状）对于几何形状不不

10、规则刚体，可以通过设计实验来规则刚体，可以通过设计实验来测定其转动惯量。测定其转动惯量。 （3）物体改变其转动惯量，可以改变其转动状态。）物体改变其转动惯量，可以改变其转动状态。 常用转动惯量常用转动惯量： （1）细杆）细杆 （2 2）圆环）圆环 （3 3）圆盘）圆盘 （4 4）单个质点）单个质点第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动例例: 右图所示刚体对经过棒端且右图所示刚体

11、对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？计算？(棒长为棒长为L、质量为、质量为m1 ,质点质点质量为质量为m2）21131LmJ 222lmJ 22212131lmLmJJJO解：直杆部分对解：直杆部分对O轴转动惯量轴转动惯量质点部分对质点部分对O轴转动惯量轴转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动三、定轴转动定律（刚体中的牛二律）三、定轴转动定律（刚体中的牛二律） 质点牛顿第二定律：质点牛顿第二定律：amF 刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：JM外( (2) ) 为瞬时对应关系为瞬时对应关系 ( (3) ) 是刚体动力学基

12、础是刚体动力学基础( (1) ) 与与 方向相同，也沿转轴方向相同，也沿转轴 M( (4) ) 取正方向，化矢量运算为代数量计算取正方向，化矢量运算为代数量计算 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 转动定律的应用转动定律的应用选择选择隔离体隔离体：平动物体、转动物体。：平动物体、转动物体。受力分析：对转动物体分析力矩；对平动物体分析力。受力分析：对转动物体分析力矩；对平动物体分析力。取坐标系，取坐标系，坐标轴尽量顺着运动方向坐标轴尽量顺着运动方向；对转动物体对转动物体列列转动定律转动定律方程，方程， 对平动物体应用对平动物体应用牛顿第二定律分量式方程；牛顿第

13、二定律分量式方程；找出平动物体、转动物体之间的联系；找出平动物体、转动物体之间的联系； 利用其它的约束条件列利用其它的约束条件列补充方程补充方程；第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动例例1: 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，和静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆环形滑轮的圆环形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的的物体物体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计的摩擦力可略

14、去不计. 问：两物体的线加速度为多少？问：两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？BmCmAmABCAmBmCm第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动ABCAmBmCmAFBFOxAFAmamFAAamFgmBBBJRFRFABRa 解解：分别对物体：分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定标如图，运用牛顿第二定律律 、转动定律列方程、转动定律列方程 . BFAFCGCFaaaBAyOBFBGBm第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动

15、2CBABmmmgma2CBABAAmmmgmmF2)2(CBABCABmmmgmmmF解得：解得：第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动P47例例5P48例例6第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-2,5 刚体角动量刚体角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律3-3 质点角动量质点角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 1.1.质点的角动量质点的角动量（动量矩动量矩）vmrprL 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对在空间运动，某时刻相

16、对参考点参考点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于，质点相对于参考点参考点 O的角动量：的角动量：mrvFrM大小大小sinvrmL 的方向符合右手法则的方向符合右手法则L 当质点以当质点以 作半径为作半径为 的圆运动时，相对圆心的角的圆运动时，相对圆心的角动量动量r2mrrmLvLrpmoPrL第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考的合力矩为零时，质点对该参考点点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 2. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定

17、律如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动、电子绕核旋转等。如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动、电子绕核旋转等。, 0M当当 恒矢量恒矢量 L在有心力作用下的质点对力心的角动量都是守恒的在有心力作用下的质点对力心的角动量都是守恒的MFrPvFrptrtprprttLdddd)(dddd第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动JrmLiii2l 质点圆周运动时对圆心的角动量质点圆周运动时对圆心的角动量2mrrmvrpLl 刚体定轴转动时，所有质点都做圆周运动，刚体定轴转动时，所有质点都做圆周运动， 其角动量方向都相同，沿其角动量方向都相同，沿转轴方向。转轴方向。Oirimiv

18、zJL vmPJL 1.1.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 2.2.刚体的角动量定理刚体的角动量定理(简单了解简单了解）tLtJtJJMddd)(ddd刚体刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理112221dJJtMtt第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动112221dJJtMtt 3.3.角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不

19、改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变， 不变；不变；若若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJexinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中 L常量常量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 许多现象都可以许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水飞飞轮轮12航天器调姿航天器调姿第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动解解: 系统角动量守恒系统角动量守恒)(212211JJJJ)(212211JJJJ 例例 两个转动惯量分别为两个

20、转动惯量分别为 J1 和和 J2 的圆盘的圆盘 A和和 B. A 是是机器上的飞轮机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆盘是用以改变飞轮转速的离合器圆盘. 开始时开始时, 他们分别以角速度他们分别以角速度1 和和2 绕水平轴转动绕水平轴转动. . 然后然后, ,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下两圆盘在沿水平轴方向力的作用下. .啮合为一体啮合为一体, , 其角速度为其角速度为 , , 求：求：齿轮啮合后齿轮啮合后两圆盘的角速度两圆盘的角速度.第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 解解: 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度gh20v一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员 N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的, 长度为长度为 l , 质量为质量为 , 跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,