2021年抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析

1、抛物线及其性质【考纲阐明】【考纲阐明】1、掌握抛物线简朴几何性质，能运用性质解决与抛物线关于问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线性质之间区别与联系。【知识梳理】【知识梳理】1 1抛物线定义抛物线定义：平面内到一定点 f 和一条定直线l距离相等点轨迹称为抛物线2 2抛物线四种原则方程几何性质：抛物线四种原则方程几何性质：图形参数 p 表达焦点到准线距离，p 越大，开口越阔.右左上下x2 2py(p 0)参数 p 几何意义开口方向标 准方 程焦 点位 置焦 点坐 标准 线方 程范 围对 称轴顶 点坐 标离心率通 径焦半径a(x1, y1)焦点弦长aby2 2px(p 0)y22px(p0)

2、x2 2py(p 0)x 正x 负y 正y 负p(,0)2px 2x 0,yrx 轴p,0)2px 2x 0,yr(x 轴p(0,)2py 2y 0,xry 轴（0,0）p(0,)2py 2y 0,xry 轴e 12pp2(x1 x2) paf x1p2(x1 x2) paf x1p2(y1 y2) paf y1p2(y1 y2) paf y1焦点弦长ab补充a(x1,y1)觉得ab直径圆必与准线l相切若ab倾斜角为，ab 2p2sin若ab倾斜角为，则ab b(x2, y2)2p2cosp2x1x2y1y2 p2411af bfab2afbfaf bfaf bfp3 3抛物线抛物线y2 2p

3、x(p 0)几何性质：几何性质：(1)范畴由于 p0，由方程可知 x0，因此抛物线在y轴右侧，当x值增大时，|y|也增大，阐明抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3)顶点（0，0），离心率：e 1，焦点f(pp,0)，准线x ，焦准距 p22(4) 焦点弦：抛物线y 2px(p 0)焦点弦ab，a(x1, y1),b(x2, y2),则| ab | x1 x2 p弦长|ab|=x1+x2+p,当 x1=x2时，通径最短为 2p。4 4焦点弦有关性质：焦点弦有关性质：焦点弦ab，a(x1, y1),b(x2, y2)，焦点f(22p,0)2p22(1)

4、 若 ab 是抛物线y 2px(p0)焦点弦（过焦点弦），且a(x1,y1)，b(x2, y2)，则：x1x2，y1y2p。4(2) 若 ab 是抛物线y 2px(p0)焦点弦，且直线 ab 倾斜角为，则ab(3) 已知直线 ab 是过抛物线y 2px(p 0)焦点 f ,222 p（0）。sin211af bfab2afbfaf bfaf bfp(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在轴焦点弦叫做通径(5) 两个相切：1 以抛物线焦点弦为直径圆与准线相切.2 过抛物线焦点弦两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点圆与焦点弦相切。5 5弦长公式：弦长公式：a(x1, y1),

5、b(x2, y2)是抛物线上两点，则ab (x1 x2)2(y1 y2)21 k2| x1 x2|11| y1 y2|2k【典型例题】【典型例题】（1 1）抛物线二次曲线和谐线）抛物线二次曲线和谐线椭圆与双曲线均有两种定义办法，可抛物线只有一种：到一种定点和一条定直线距离相等所有点集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽篇章.【例 1】p 为抛物线y 2px上任一点，f 为焦点，则以 pf 为直径圆与 y 轴（）2a.相交b.相切c.相离d.位置由 p 拟定【解析】如图，抛物线焦点为f p,0，准线是2yh

6、qnpm2p.作 phl于 h，交 y 轴于 q，那么pf ph，2p且qh of .作 mny 轴于 n 则 mn 是梯形 pqof2111中位线，mn of pqph pf.故以222l : x pf 为直径圆与 y 轴相切，选 b.【评注】相似问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交.（2 2）焦点弦常考常新亮点弦）焦点弦常考常新亮点弦of(p,0)l :x=-p2xy2=2px关于抛物线试题，许多都与它焦点弦关于.理解并掌握这个焦点弦性质，对破解这些试题是大有协助.【例 2】 过抛物线y 2pxp0焦点 f 作直线交抛物线于ax1, y1,bx2, y2两点，求证：2（1）a

7、b x1 x2 p（2）112afbfp【证明】（1）如图设抛物线准线为l，作paa1 la1,bb1 l于b1，则 af aa1 x1，2pbf bb1 x2.两式相加即得：2ya1a(x,y)1 1xfb1b(x,y)22lab x1 x2 p（2）当 abx 轴时，有af bf p，112成立；afbfpp .代入抛物线方程：2当 ab与 x 轴不垂直时，设焦点弦 ab 方程为：y kx2p22p 2222k 0kx 2px.化简得：k x pk 2x42k2方程（1）之二根为 x1，x2，x1x2.41x1 x2 p111111pp2afbfaa1bb1x px px1x2x1 x21

8、22224x1 x2 px1 x2 p2.pp2pp2px1 x2 px1 x22424112成立.afbfp故无论弦 ab 与 x 轴与否垂直，恒有（3 3）切线抛物线与函数有缘）切线抛物线与函数有缘关于抛物线许多试题，又与它切线关于.理解并掌握抛物线切线方程，是解题者不可或缺基本功.【例 3】证明：过抛物线y 2px上一点 m（x0，y0）切线方程是：y0y=p（x+x0）2y 【证明】对方程y 2px两边取导数：2y y 2p，2p.切线的斜率yk yxx0pp.由点斜式方程：y y0 x x0 y0y px px0 y02y0y012y0 2px0，代入（）即得：1 y0y=p（x+x

9、0）（4 4）定点与定值抛物线埋在深处宝藏）定点与定值抛物线埋在深处宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽定点和定值.掌握它们，在解题中常会故意想不到收获.2例 如 ： 1.一 动圆 圆 心在 抛 物线y 8x上 ， 且 动 圆恒 与 直线x 2 0相 切 ， 则 此动 圆 必过 定点（）a.4,0b.2,0c.0,2d.0,2显然.本题是例 1 翻版，该圆必过抛物线焦点，选b.2.抛物线y 2px通径长为 2p；223.设抛物线y 2px过焦点弦两端分别为ax1, y1,bx2, y2，那么：y1y2 p2如下再举一例【例 4】设抛物线y 2px焦点弦 ab 在其准线上射影是 a1b

10、1，证明：以 a1b1为直径圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线通径，那么a1b1=ab=2p，而 a1b1与 ab 距离为 p，可知该圆必过抛物线焦点.由此咱们猜想：一切这样圆都过抛物线焦点.如下咱们对 ab 普通情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为ax1, y1,bx2, y2，那么：y1y2 p ca1 cb1 y1y2 p .设抛物线准线交 x 轴于 c，那么cf p.222a1y1aa1fb1中cf ca1 cb1.故a1fb1 90.这就阐明：以 a1b1为直径圆必过该抛物线焦点. 通法通法 特法特法 妙法妙法（1 1）解析法为对称问题解困排难）解析法为对称问题解困排

11、难2mcb1bfx解析几何是用代数办法去研究几何，因此它能解决纯几何办法不易解决几何问题（如对称问题等） .【例 5】（10.四川文科卷.10 题）已知抛物线yy=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0对称相异两点a、b，则|ab|等于（）bmaoxl x+ y=0a.3b.4 c.32 d.42【分析】直线 ab 必与直线 x+y=0垂直，且线段ab 中点必在直线 x+y=0上，因得解法如下.【 解 析 】 点a 、 b关 于 直 线x+y=0 对 称 ， 设 直 线ab 方 程 为 ：y xm.由 y xm2 x xm3 02y x 31设方程（1）之两根为 x1，x2，则x1 x2 1.

12、设 ab 中点为 m（x0，y0），则x0 x1 x2111 1 .代入 x+y=0：y0=.故有m,.2222 22从而m y x 1.直线 ab 方程为：y x1.方程（1）成为：x x2 0.解得：x 2,1，从而y 1,2，故得：a（-2，-1），b（1，2）. ab 3 2，选 c.（2 2）几何法为解析法添彩扬威）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足发展，但伴之而来却是难以避免繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出各种使计算量大幅度减少先进办法，其中最有成效就是几何法 .2【例 6】（11.11.全国全国 1 1 卷卷.11.11 题

13、）题）抛物线y 4x焦点为f，准线为l，通过f且斜率为3直线与抛物线在x轴上方某些相交于点a，akl，垂足为k，则akf面积（）a4 b3 3c4 3 d8【解析】如图直线 af 斜率为3时afx=60.afk 为正三角形.设准线l交 x 轴于 m，则fm p 2,yka60omf(1,0)l:x=-1x=2pxy2且kfm=60，kf 4,sakf324 4 3.选 c.4【评注】（1）平面几何知识：边长为a 正三角形面积用公式s32a计算.4（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点a 坐标，再计算正三角形边长和面积.虽不是很难，但决没有如上几何法简朴.（3 3）定义法追本求真简朴一着）定义

14、法追本求真简朴一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始定义去做，反而特别简朴.【例 7】（07.湖北卷.7题）双曲线x2y2c1:221(a 0，b 0)左准线为l，左焦点和右焦点分别为f1和f2；抛物线c2线为l，焦点为abf2；c1与c2一种交点为m，则a1 b1f1f2mf1等于（）mf1mf212 d c12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始定义方面去寻找出路吧.如图，咱们先做必要准备工作：设双曲线半焦距 c，离心率为 e，作mh l于h，令ymf1 r1, mf2 r2.点 m 在抛物线上，mf1mf1r1

15、mh mf2 r2,故 e，mhmf2r2这就是说：f1(-c ,0)hr2om(x,y)r1r2f2(c,0)x| mf1|实质是离心率 e.| mf2|a2l:x = -c| ff |另一方面，12与离心率 e 有什么关系？注| mf1|意到：f1f22ce2aer1r21 e1 e1.mf1r1r1r1e这样，最后答案就自然浮出水面了：由于| f1f2| mf1|e1e 1.选 a.| mf1| mf2|（4 4）三角法自身也是一种解析）三角法自身也是一种解析三角学蕴藏着丰富解题资源.运用三角手段，可以比较容易地将异名异角三角函数转化为同名同角三角函数，然后依照各种三角关系实行“九九归一

16、”达到解题目.因而，在解析几何解题中，恰本地引入三角资源，常可以挣脱困境，简化计算.a【例 8】（09.重庆文科.21 题）如图，倾斜角为 a直线通过点 f，且与抛物线交于 a、b 两点。（）求抛物线焦点f 坐标及准线 l方程；（）若 a 为锐角，作线段 ab垂直平分线 m 交mx 轴于点 p，证明|fp|-|fp|cos2a为定值，并求此定值。【解析】（）焦点 f（2，0），准线l;x 2.（）直线 ab：y tanx21.x y28代入（1），整顿得：y2tan8y16tan02设方程（2）之二根为 yy y 81，y2，则12tan.y1 y2 16y1 y2设 ab 中点为mx则y02

17、4tan 4cot0, y0,x2 4cot20 cot y02ab 垂直平分线方程是：y4cot cotx4cot22.令 y=0，则x 4cot26，有p4cot26，0故fp op of 4cot262 4cot21 4cos2于是|fp|-|fp|cos2a=4csc21cos2 4csc22sin28，故为定值.（5 5）消去法合理减负惯用办法）消去法合理减负惯用办法. .抛物线y2 8x焦避免解析几何中繁杂运算，是革新、创新永恒课题.其中最值得推荐先进办法之一便是设而不求，它类似兵法上所说“不战而屈人之兵”.【例 9】 与否存在同步满足下列两条件直线l：（1）l与抛物线y 8x有两

18、个不同交点 a 和 b；（2）线段 ab被直线l1：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，阐明理由，若存在，求出直线l方程.【解析】假定在抛物线y 8x上存在这样两点ax1，y1，bx2，y2.则有：22y128x1y1 y28 y yy y8 x x k2121212aby 8xx1 x2y1 y222线段 ab 被直线l1：x+5y-5=0 垂直平分，且kl1 ， kab 5，即158 5y y128 y1 y2.5设线段 ab 中点为mx0，y0，则y0y1 y24.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是：25ab 中点为m1，.故存在符合题设条件直线，其方程为：y（6 6）摸索法奔向数学办法高深层次）摸索法奔向数学办法高深层次有某些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难如下手”.这时就得冷静分析，摸索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例 10】（10.安徽卷.14 题）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴正半轴交于点 a，将线段 oan 等分点从左至右依次记为 p