三点共线、线共点电子教案

1、三 点 共 线 、 线 共 点精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。例 1 如图，设线段 ab的中点为 c，以 ac 和 cb 为对角线作平行四边形aecd，bfcg。又作平行四边形cfhd，cgke。求证： h，c，k 三点共线。证 连 ak，dg，hb。由题意， adeckg，知四边形 akgd是平行四边形，于是akdg。

2、同样可证 akhb。四边形 ahbk是平行四边形，其对角线 ab，kh 互相平分。而 c 是 ab 中点，线段 kh 过 c点，故 k，c，h三点共线。abcdefhkg精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 例 2 如图所示，菱形abcd中， a=120， o为abc 外接圆， m 为其上一点，连接 mc 交 ab 于 e，am 交 cb 延长线于 f。求证： d，e，f 三点共线。证 如图，连 ac，df，de。因为 m 在o 上，则amc=60 =abc=acb，有amcacf，得cdcfcacfmamc。又因为 amc=bac，所以 amceac，得aeadaeacmam

3、c。所以aeadcdcf，又 bad=bcd=120，知 cfdade。所以 ade=dfb。因为 adbc，所以 adf=dfb=ade，于是 f，e，d 三点共线。例 3 四边形 abcd内接于圆，其边ab与 dc 的延长线交于点 p，ad 与 bc的延长线交于点 q。由 q作该圆的两条切线 qe和 qf，切点分别为 e，f。求证： p，e，f 三点共线。证如图。连接 pq，并在 pq 上取一点 m，使得b，c，m，p 四点共圆，连 cm，pf。设pf 与圆的另一交点为e ，并作 qg 丄 pf，垂足为 g。易如qe2=qm qp=qc qboafdmcbece(e )abdfpmqg精品

4、资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4 pmc=abc=pdq。从而 c，d，q，m 四点共圆，于是pm pq=pc pd由，得pm pq+qm pq=pc pd+qc qb，即 pq2=qc qb+pc pd。易知 pd pc=pe pf，又 qf2=qc qb，有pe pf+qf2=pd pc+qc ab=pq2，即 pe pf=pq2-qf2。又pq2qf2=pg2gf2=(pg+gf) (pggf) =pf (pggf)，从而 pe =pggf=pgge ，即 gf=ge ，故 e 与 e重合。所以 p，e，f 三点共线。例 4 以圆 o外一点 p，引圆的两条切线pa，pb，

5、a，b 为切点。割线 pcd 交圆 o 于 c，d。又由 b作 cd 的平行线交圆 o于 e。若 f 为 cd 中点，求证： a，f，e三点共线。证如图，连 af，ef，oa，ob，op，bf，of，延长 fc 交 be于 g。易如 oa丄 ap，ob丄 bp，of 丄 cp，所以 p，a，f，o，b五点共圆，有 afp=aop=pob= pfb。apbdfcoeg精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5 又因 cdbe，所以有pfb=fbe，efd=feb，而 fog 为 be 的垂直平分线，故ef=fb，feb=ebf，所以 afp=efd，a，f，e三点共线。2. 线共点的证

6、明证明线共点可用有关定理 (如三角形的 3 条高线交于一点 )，或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例 5 以abc 的两边 ab，ac 向外作正方形 abde，acfg。abc 的高为 ah。求证： ah，bf，cd 交于一点。证如图。延长 ha 到 m，使 am=bc。连 cm，bm。设 cm 与 bf 交于点 k。在acm 和bcf 中，ac=cf，am=bc，mac+hac=180，hac+hca=90，并且 bcf=90 +hca，因此 bcf+hac=180mac=bcf。从而 macbcf，acm=cfb。medbhcfkga精品资料仅供学

7、习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6 所以 mkf=kcf+kfc=kcf+mcf=90，即 bf 丄 mc。同理 cd 丄 mb。ah，bf，cd 为mbc 的 3 条高线，故 ah，bf，cd三线交于一点。例 6 设 p为abc内一点， apbacb=apcabc。又设 d，e 分别是apb及apc 的内心。证明： ap，bd，ce交于一点。证如图，过 p向三边作垂线，垂足分别为r，s，t。连 rs ，st，rt，设 bd 交 ap 于m，ce 交 ap于 n。易知 p，r，a，s；p，t，b，r；p，s，c，t 分别四点共圆，则apbacb=pac+pbc=prs +prt =srt

8、。同理， apcabc=rst ，由条件知 srt=rst ，所以 rt=st。又 rt=pbsinb，st=pcsinc，所以 pbsinb=pcsinc，那么acpcabpb。由角平分线定理知mpampbabpcacnpan。abctrsmndep精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7 故 m，n 重合，即 ap，bd，ce 交于一点。例 7o1与o2外切于 p 点，qr为两圆的公切线，其中q，r分别为o1，o2上的切点，过 q 且垂直于 qo2的直线与过 r且垂直于 ro1的直线交于点 i，in 垂直于 o1o2，垂足为 n，in 与 qr交于点 m。证明：pm，ro1，q

9、o2三条直线交于一点。证如图，设 ro1与 qo2交于点 o，连 mo，po。因为 o1qm=o1nm=90，所以q，o1，n，m 四点共圆，有 qmi=qo1o2。而iqo2=90 =rqo1，所以 iqm=o2qo1，故qimqo2o1，得miooqmqo211同理可证mioormro212。因此21roqomrqm因为 qo1ro2，所以有211roqooroo由，得 moqo1。 又由于 o1p=o1q，po2=ro2，所以21211poporoqooroo，o1o2npiqrmo精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8 即 opro2。从而 moqo1ro2op，故 m，

10、o，p三点共线，所以pm，ro1，qo2三条直线相交于同一点。3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理 1 (塞瓦(ceva)定理):设 p，q，r 分别是 abc的 bc，ca，ab 边上的点。若 ap，bq，cr相交于一点 m，则1rbarqacqpcbp。证 如图，由三角形面积的性质，有bmcamcssrbar, amcambsspcbp, ambbmcssqacq. 以上三式相乘，得1rbarqacqpcbp. 定理 2 (定理 1 的逆定理 ): 设 p，q，r分别是 abc的 bc，ca，ab上的点。若1rbarqacqpcbp，则 ap，bq，cr交于一点。证 如图，设 ap 与

11、 bq 交于 m，连 cm，交 ab 于 r 。由定理 1 有1brarqacqpcbp. 而1rbarqacqpcbp，所以rbarbrar. 于是 r 与 r重合，故 ap，bq，cr交于一点。abcpmq精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9 定理 3 (梅涅劳斯 (menelaus)定理):一条不经过 abc任一顶点的直线和三角形三边bc，ca，ab(或它们的延长线 )分别交于p，q，r，则1rbarqacqpcbp证 如图，由三角形面积的性质，有brparpssrbar, cprbrpsspcbp, arpcrpssqacq. 将以上三式相乘，得1rbarqacqpcb

12、p. 定理 4 (定理 3 的逆定理 ):设 p，q，r分别是 abc的三边 bc，ca，ab 或它们延长线上的3 点。若1rbarqacqpcbp，则 p，q，r三点共线。定理 4 与定理 2 的证明方法类似。塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。例 8 如图，在四边形abcd中，对角线 ac平分 bad。在 cd 上取一点 e，be与 ac相交于 f，延长 df 交 bc 于 g。求证： gac=eac。证如图，连接 bd交 ac于 h，arqbcp精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10 过点 c 作 ab的平行线交 ag的延长线

13、于 i，过点c 作 ad 的平行线交 ae 的延长线于 j。对bcd 用塞瓦定理，可得1ecdehdbhgbcg因为 ah 是bad 的角平分线，由角平分线定理知adabhdbh。代入式得1ecdeadabgbcg因为 ciab，cjad，则abcigbcg，cjadecde。代入式得1cjadadababci. 从而 ci=cj。又由于aci=180 bac=180 dac=acj，所以 aciacj，故 iac=jac，即gac=eac. 例 9 abcd 是一个平行四边形， e是 ab上的一点， f 为 cd 上的一点。 af 交ed 于 g，ec交 fb 于 h。连接线段 gh 并延长

14、交 ad 于 l，交 bc 于m。求证： dl=bm. 证如图，设直线 lm 与 ba的延长线交于点 j，与dc 的延长线交于点i。在ecd 与fab中分别使用梅涅劳斯定理，得hcadbgijefgaebjldfc imh精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11 1hechicdigdeg，1jabjhbfhgfag. 因为 abcd，所以gfaggdeg，hbfhhech. 从而jabjicdi，即cicicdajajab，故 ci=aj. 而ladlajdicibjmcbm，且 bm+mc=bc=ad=al+ld. 所以 bm=dl。例 10 在直线 l 的一侧画一个半圆t，

15、c，d 是 t 上的两点， t上过 c和 d 的切线分别交 l 于 b 和 a，半圆的圆心在线段ba 上，e是线段 ac和 bd 的交点， f 是 l 上的点， ef 垂直 l。求证： ef 平分 cfd。证如图，设 ad 与 bc 相交于点 p，用 o 表示半圆 t 的圆心。过 p 作 ph 丄 l于 h，连 od，oc，op。由题意知 rtoadrtpah，于是有dohpadah. 类似地， rtocbrtphb，则有cohpbcbh. 由 co=do，有bcbhadah，从而1dapdcpbchbah. 由塞瓦定理的逆定理知三条直线ac，bd，ph 相交于一点，即e在 ph上，点 h 与

16、 f 重合。因odp=ocp=90，所以o，d，c，p四点共圆，直径为op. 又pfc=90，从而推得点f 也在这个圆上，因此dlabof(h)ecp精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢12 dfp=dop=cop=cfp，所以 ef 平分 cfd。例 11 如图，四边形 abcd 内接于圆，ab，dc延长线交于 e，ad、bc 延长线交于 f，p 为圆上任意一点， pe，pf 分别交圆于 r，s. 若对角线 ac 与 bd 相交于 t. 求证： r，t，s三点共线。先证两个引理。引理 1: a1b1c1d1e1f1为圆内接六边形，若a1d1，b1e1，c1f1交于一点，则有11

17、11111111111affeeddccbba. 如图，设 a1d1，b1e1，c1f1交于点 o，根据圆内接多边形的性质易知 oa1b1oe1d1，ob1c1of1e1，oc1d1oa1f1，从而有odobedba111111，obofcbfe111111，ofodafdc111111. 将上面三式相乘即得1111111111111affeeddccbba，引理 2：圆内接六边形 a1b1c1d1e1f1，若满足ebrctapsdfbfae1ocd11111精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13 1111111111111affeeddccbba则其三条对角线 a1d1，b1

18、e1，c1f1交于一点。该引理与定理 2 的证明方法类似，留给读者。例 11之证明如图，连接pd，as，rc，br，ap，sd. 由ebrepa， fdsfpa，知epebpabr,fdfpdspa. 两式相乘，得fdepfpebdsbr. 又由 ecrepd，fpdfas，知epecpdcr，fafpaspd. 两式相乘，得faepfpecascr由，得fdecfaebcrdsasbr. 故absadscdrcbrcedcfdafbaeb. 对ead应用梅涅劳斯定理，有1cedcfdafbaeb由，得1absadscdrcbr. 由引理 2 知 bd，rs ，ac 交于一点，所以 r，t，s

19、三点共线。练习a 组精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢14 1. 由矩形 abcd 的外接圆上任意一点m 向它的两对边引垂线mq 和 mp，向另两边延长线引垂线mr，mt。证明： pr与 qt 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。2. 在abc的 bc边上任取一点 p，作 pdac，peab，pd，pe 和以 ab，ac为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为d，e。求证： d，a，e三点共线。3. 一个圆和等腰三角形abc的两腰相切，切点是d，e，又和 abc 的外接圆相切于 f。求证： abc 的内心 g 和 d，e 在一条直线上。4. 设四边形 abcd 为等腰梯形，把 abc绕点 c旋转某一角度变成 a b c 。证明：线段 a d, bc 和 b c 的中点在一条直线上。5. 四边形 abcd 内接于圆 o，对角线 ac与 bd 相交于 p。设三角形 abp，bcp，