第二章解析函数

1、第二章解析函数第二章解析函数第二章第二章 解析函数解析函数1. 解析函数的概念解析函数的概念2. 函数解析的充要条件函数解析的充要条件3. 初等函数初等函数4. 第二章小结与习题第二章小结与习题xyoz0 yxyoz0 y0 x第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1解析函数的概念解析函数的概念2小结与思考小结与思考3一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分定义定义2.1.1, , , )( 00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数DzzDzDzfw , )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称

2、为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 1. 导数的定义导数的定义在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf0000()( )lim()( )lim()(

3、 )limlim0( )0zzzzf zzf zf zzf zzzf zzf zzfzz 解：解：例例1 0( )f zz若函 在可导，可导，试证 f(z)在z0点连续。结论：结论：函数在一点可导必在该点连续，反之不成立。函数在一点可导必在该点连续，反之不成立。例例2 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解:zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 例例3 是是否否可可导导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0 zzxz设沿着平行于 轴的直线趋向于x

4、yoz0 y02limzxyixyi yixyixz 2lim0, 1lim0 xxxxyoz0 y ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 2. 求导法则求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致，并且复变函数中的极限运算的定义在形式上完全一致，并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样，因而实变函数中的求导法则法则也和实变函数中一样，因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地

5、推广到复变函数中来都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也且证明方法也是相同的是相同的.求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中

6、3. 微分微分 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定义定义2.1.2. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz特别地特别

7、地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf二、解析函数的概念二、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义. )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数全纯函数或正则函数个解析函数个解析函数内的一内的一区域

8、区域是是或称或称内解析内解析区域区域在在则称则称内每一点解析内每一点解析区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfDzf2. 奇点的定义奇点的定义( )( )f zf z0数称为点0 0在在 , , 那那末末 zz如如果果函函不不解解析析的的奇奇. .根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是，函数在但是，函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概的概念念. 即函数在一点处可导，即函数在一点处可导， 不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比

9、在该点处可导的要求要高得多.例例4 22 ( ),( )2 ( ).fzzg zxyih zz研 究 函 数和的 解 析 性解解: 由本节例由本节例2和例和例3知知: ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处不解析处处不解析yixzg , )( 2的解析性的解析性下面讨论下面讨论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z zzyixyix xyixyi 11ikik 11由于k的任意性，极限 不存在。000()()lim0zh zz

10、h zz . , , 0 )( 2析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义不可导不可导而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh令令z0+z沿直线沿直线y=kx趋于趋于z0.例例5.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解: , 0 1 处处可导处处可导在复平面内除在复平面内除因为因为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z定理定理2.1.1 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解

11、解析析的的两两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则可利用求导法则.根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的

12、区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP三、小结与思考三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念；掌握理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念；掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法连续、可导、解析之间的关系以及求导方法. 注意注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与一样，然而复变函数极限存在要求与 z 趋于零的方式无关，趋于零的方式无关

13、，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.思考题思考题 ? )( 00解解析析有有无无区区别别可可导导与与在在在在点点复复变变函函数数zzzf1.答案：答案： , )(00可导可导解析必在解析必在在点在点zzzf , 0 )( 02处可导处可导在在例如例如 zzzf . 0 0处不解析处不解析但在但在 z2. 复变函数复变函数wf(z)的导数定义与实一元函数的导数定义与实一元函数yf(x)的的导数定义在要求上有什么不同？导数定义在要求上有什么不同？3. 复变函数的连续、可导复变函数的连续、可导(可微可微)与解析之间有什么关系与解析之间有什么关系？第

14、二节 函数解析的充要条件主要定理主要定理1典型例题典型例题2小结与思考小结与思考3一、主要定理一、主要定理定理定理2.2.1. , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf 点满足柯西黎曼方程点满足柯西黎曼方程并且在该并且在该可微可微在点在点与与件是件是可导的充要条可导的充要条内一点内一点在在则则内内定义在区域定义在区域设函数设函数证明证明: (1) 必要性必要性., )( , ),(),()( 可导可导内一点内一点在在且且内内定义在区域定义在区域设设yixzDzfDyxivyxuzf 0, yixz则对于充

15、分小的则对于充分小的,)()()()( zzzzfzfzzf 有有, 0)(lim 0 zz 其中其中,)()( viuzfzzf 令令,)(ibazf , )(21 iz viu 所以所以)(iba )(yix )(21 i )(yix )()(1221yxyaxbiyxybxa , 21yxybxau 于是于是.12yxyaxbv , 0)(lim 0 zz 因为因为100lim yx所以所以200lim yx, 0 , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与由此可知由此可知yxyxvyxu. , xvyuyvxu 且满足方程且满足方程(2) 充分性充分性.由于由于u(x,y)与与v

16、(x,y)在点在点(x,y)可微可微, 21yxyyuxxuu 于是于是, 43yxyyvxxvv )4 , 3 , 2 , 1( , 0lim 00 kkyx 其中其中.)()(4231yixiyyviyuxxvixu )()( zfzzf),(),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu , viu 因为：因为：因此整理并由柯西因此整理并由柯西-黎曼方程得：黎曼方程得： )()( zfzzf + +uvizxx.)()(4231yixi )(yixxvixu.)()(4231yixi zzfzzf)()( xvixu.)()(4231zyizxi , 1, 1 zyzx因为因为,

17、0)()(lim42310 zyizxiz zzfzzfzfz)()(lim)( 0所以所以.xvixu . ),(),()( 可导可导在点在点即函数即函数yixzyxivyxuzf .1)(yvyuixvixuzf 根据定理根据定理2.2.1，可得函数，可得函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点在点z=x+iy处的导数公式：处的导数公式：函数在区域函数在区域D内解析的充要条件：内解析的充要条件：定理定理2.2.2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域在其定义域D内解内解析的充要条件是：析的充要条件是： u(x,y)与与v(x,y)在在D内可微，并内可微，并且满足柯

18、西且满足柯西-黎曼方程。黎曼方程。因此可以得到解析函数的判定方法因此可以得到解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(内解析内解析在在的充要条件可以断定的充要条件可以断定那么根据解析函数那么根据解析函数方程方程并满足并满足可微可微因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在内内在在中中如果复变函数如果复变函数D

19、zfyxvuDvuivuzf 二、典型例题二、典型例题例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解：解：,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw )sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏

20、导数均连续均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析例例3 解：解：? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxiby

21、axyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求例例4 . 0 0 )( 不可导不可导西黎曼方程但在点西黎曼方程但在点满足柯满足柯在点在点证明函数证明函数 zzxyzf证明：证明：, )( xyzf 因为因为0, , vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼

22、方程在点柯西黎曼方程在点 z , 趋于零时趋于零时沿第一象限内的射线沿第一象限内的射线但当但当kxyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 变化变化随随 k , 0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfzfz . 0 )( 不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf高阶偏导数存在不能保证函数可微性的例子高阶偏导数存在不能保证函数可微性的例子. 例例5解：解：. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析内解内解在区域在区域设设 )1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将, 0 xu, 0)14( 2 u

23、xu0)14( 2 u由由, 0 (2) yu得得由由 ),( 常数常数所以所以cu ).( )( 2常数常数于是于是icczf 三、小结与思考三、小结与思考 在本课中我们得到了一个重要结论在本课中我们得到了一个重要结论函数函数解析的充要条件解析的充要条件:黎曼方程黎曼方程并且满足柯西并且满足柯西内可微内可微在在与与 , ),( ),(Dyxvyxu. , xvyuyvxu 掌握并能灵活应用柯西掌握并能灵活应用柯西黎曼方程黎曼方程.思考题思考题? ),(),()( 解解析析时时应应注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼条条件件判判断断yxivyxuzf ; , :R-Cxvyuyvxu 条件条件

24、其次再看是否满足其次再看是否满足 ; ),( ),( 内是否可微内是否可微在在和和首先判断首先判断Dyxvyxu答案：答案： . )( 的解析性的解析性最后判定最后判定zf第三节 初等函数指数函数指数函数1对数函数对数函数2乘幂乘幂 b b 与幂函数与幂函数34三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数5反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数6小结与思考小结与思考一、指数函数一、指数函数1. 指数函数的定义指数函数的定义: ( ) :f z当当函函数数在在复复平平面面内内满满足足以以下下三三个个条条件件(1) ( );f z 在在复复平平面面内内处处处处解解析析(2) ( )( );fzf z

25、 (3) Im( )0, ( ),Re( ).xzf zexz当当时时其其中中, =e(cossin )zzxweyiy此此函函数数称称为为复复变变数数 的的指指数数函函数数 记记为为2. 指数函数的性质指数函数的性质(1) 周期： 2zk izee以2i为基本周期的周期函数。(3) 解析性：全平面解析函数，()zzee且(2) 加减性1212 zzzze ee1122zzzzeee例例1 1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解:)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模z

26、ie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 例例2 解解:求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:).20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz Arg2() zeykk 为为整整数数 .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 ze)1(2Arg12, iek

27、 2Arg1;ie )2(2 3Arg32, iek 2 3Arg3;ie 3 4Arg42, iek 3 4Arg42 ;ie 3 4Arg42, iek 3 4Arg42 ;ie iiee )5(;)3(43ie ;)4(43ie )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22sin2sin2 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i ,20 因为因为, 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是复数上式就是复数 iiee Arg()iiee 所所以以,22k ,时时当当 Arg()iiee ,2 ,时时当当 A

28、rg()iiee .22 例例3 的周期的周期求函数求函数. )( 5zezf 解解:,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 二、对数函数二、对数函数1. 定义定义 (0) ( ) , LnlnArg .wez zwf zwzziz满满足足方方程程的的函函数数称称为为对对数数函函数数 记记为为Arg( )2zwf zi 由由于于为为多多值值函函数数，所所以以对对数数函函数数也也是是多多值值函函数数，并并且且每每两两值值相相差差的的整整数数倍倍。 LnlnArg Arg rg ,zz

29、izzaz如如果果将将中中取取主主值值 Ln ln Ln . zzz那那末末为为一一单单值值函函数数， 记记为为， 称称为为的的主主值值.arglnlnzizz 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz , , Ln .kz对对于于每每一一个个固固定定的的上上式式确确定定一一个个单单值值函函数数称称为为的的一一个个分分支支特殊地特殊地, 0 , Ln lnln ,.zxzzx当当时时的的主主值值是是实实变变数数对对数数函函数数2. 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处可导处处可导和其它各分支处处连续和其它各分支处处连

30、续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 例例4 解：解： . )1(Ln , 2Ln 以以及及与与它它们们相相应应的的主主值值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: : 在实变函数中在实变函数中, , 负数无对数负数无对数, , 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广. .例例5解解:.

31、031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k定义：定义： ,Lnzwzelnarg2nziz i knzeln ze主值为的多值函数.n当时,lnargargnnzinzinzeez e- 单值函数单值函数1n当时,1arg21zkinnnnzzez- n值函数值函数三、幂函数三、幂函数讨论：讨论： (1)(3)lnarg2nziz i knzen 当时,1lnargargnzinzinzneeze- 单值函数单值函数(2)Im0当 为无理数或时：zezLn)2arg(lnikzizeikzizee

32、e2argln- 无穷多值函数无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且11LnzLnzzeezz（5 5）mnmnzz(1,)manmnn当与 互质 时,（4 4）- n值函数值函数arg2zkmmimnnnzze例例6 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中例例7 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解:)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(A

33、rg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得到得到把欧拉公式推广到任意复数得到：把欧拉公式推广到任意复数得到： cossin ,izeziz cossinizezizcos,2izizeez sin.2izizeezi 称它们分别为称它们分别为z的正弦函数和余弦函数。的正弦函数和余弦函数。2. 三角函数性质

34、三角函数性质(1) 周期： sin2sin ,cos2sin .()zkzzkz kZ以2为周期的周期函数。(2) 零点： sinz，cosz的零点分别是n，(n+1/2) (n=0, 1, 2,(5) 解析性：全平面解析函数，zzzzsincos,cossin且(3) 奇偶性： sin z为奇函数，cosz为偶函数。(4) 三角公式： 各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外). (6) 无界性 sinz，cosz的模可以大于1甚至无界。其他复变数三角函数的定义：其他复变数三角函数的定义：sin tan,coszzz 正正切切函函数数cos cot,sinzzz 余余切切函函数数1 sec,co

35、szz 正正割割函函数数1 csc.sinzz 余余割割函函数数 sin cos , , , . zz与与和和类类似似 我我们们可可以以讨讨论论它它们们的的周周期期性性 奇奇偶偶性性 解解析析性性(自己分析)例例8 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解解:,sin)2sin( zz 因为因为,5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又因为又因为,5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf3. 双曲函数的定义双曲函数的定义zzee chz,2 我我们们定定义义双双曲曲余余弦弦函函数数为为 sh,2zzeez 双双

36、曲曲正正弦弦函函数数为为 th.zzeezzzee 双双曲曲正正切切函函数数为为. , 的的定定义义完完全全一一致致函函数数它它与与高高等等数数学学中中的的双双曲曲时时为为实实数数当当xz4. 双曲函数的性质双曲函数的性质 (3) 解析性： 全平面解析函数。,.shzchzchzshz (1) 周期性： 以2i为基本周期的周期函数。2,2.sh zk ishz ch zk ichz(2) 奇偶性：（4）与三角函数的关系：chz为偶函数, shz为奇函数。shsin ,izizchcosizzsinsh ,izizcosch ,izz22chsh1,zz（） ()例例9解解: , iyxz 设设解解方方程程 sinz =ish1 sinz =ish1)sin(sinyixz sinxchy+icosxshysinxchy+icosxshysh1,i故故有有 sinxchy = 0, sinxchy = 0,cosxshy =sh1cosxshy =sh1chy chy 0,0, 0sin x所以所以, kx代入代入将将 kxcosxshy =sh1cosxshy =sh1k ksh