几类不同增长的函数模型教学设计【DOC范文整理】

1、几类不同增长的函数模型教学设计教学设计2.1 几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的 变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是 认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异， 体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型 解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应 用，都是通过实例来实现的.通过教学让学生认识到数学来 自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数 函数、对数函数以及幕函数的增长差异.恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一 些实际问题.让学

2、生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生 的学习兴趣.重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模 型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点：应用函数模型解决简单问题.课时安排课时教学过程第1课时林大华导入新思路1.一张纸的厚度大约为 0.01c，一块砖的厚度大约为 10c , 请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算 n= 20时它们的厚度.你的直觉与结 果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f = 0.01 ?2n, n块砖的厚度：g =10n , f 105, g= 2.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有

3、更深的了解.思路2.请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异.推进新新知探究提出问题如果张红购买了每千克 1元的蔬菜x千克，需要支付y 元，把y表示为x的函数.正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使 湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为 y，把y表示为x的函数.分别用表格、图象表示上述函数.指出它们属于哪种函数模型.讨论它们的单调性.比较它们的增长差异.另外还有哪种函数模型与对数函数相关.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答

4、不准确的学生提示引导 考虑问题的思路.总价等于单价与数量的积.面积等于边长的平方.由特殊到一般，先求出经过 1年、2年列表画出函数图象.引导学生回忆学过的函数模型.结合函数表格与图象讨论它们的单调性.让学生自己比较并体会.其他与对数函数有关的函数模型.讨论结果：y = x.y = x2.y = x.如下表X123456y=X123456y=X2149162536y = x1.051.101.161.221.281.34它们的图象分别为图1,图2，图3.图1图2图3它们分别属于： y = x+ b, y = ax2 + bx + c, y= ax + b.从表格和图象得出它们都为增函数.在不同区

5、间增长速度不同，随着x的增大y = x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y= logax+ b，我们把它叫做对数型函数.应用示例例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供 你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三：天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可 以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，

6、则方案一可以用函数y=40进行描述；方案二可以用函数y = 10x进行描述；方案三可以用函数y = 0.4 x 2x- 1进行描述.三个模型中，个是 常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案做出选 择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一 下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元0100.400XX0.80.40030101.60.840040103.21.640050106.43.2400601012.86.4400701025.612.8400801051.225.64009010102.451.204001001

7、0204.8102.4040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象.图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、 方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长 情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增 加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多， 这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回 报看，在第13天，方案一最多；在第 4天，方案一和方 案二一样多，方案三最少；在第 58天，方案二最多；第 9 天开始

8、，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过 2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：因此，投资16天，应选择方案一；投资 7天，应选 择方案一或方案二；投资 810天，应选择方案二；投资 11 天以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题： 选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数. 课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ 由此得出怎样的结论.答案：选择哪种方案依据的是累积回报数. 让我们体会每天回报数的增长变化. 上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务

9、：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话 1分钟付话费0.4元;“神州行”不缴月基础费，每通话 1分钟付话费0.6元，若 设一个月内通话 x分钟，两种通讯业务的费用分别为 y1元 和y2元，那么写出y1、y2与x之间的函数关系式；在同一直角坐标系中画出两函数的图象；求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同； 若某人预计一个月内使用话费 200元，应选择哪种通讯 业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费， 神州行的费用应为通话费用；运用描点法画图，但应注意自

10、变量的取值范围；可利用方程组求解，也可以根据图象回答； 求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较 大.解：y1 = 50 + 0.4x , y2 = 0.6x .图象如图5所示.图5根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话 250分钟时，两种通讯业务的收费相同.当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量 的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当 yi = 200 时有 0.4x + 50= 200 , x1 = 375;当 y2 = 200 时有 0.6x = 200, x2 = 10003.显然 375 > 1000

11、3,选用“全球通”更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好 的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例 题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定 一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y随着利润x的增加而增加，但奖金总数不超过 5万元，同时奖金不超过利润的 25%.现有 三个奖励模型：y = 0.25x , y = Iog7x + 1, y= 1.002x，其中 哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可 以提示引导：某个奖励模型符合

12、公司要求，就是依据这个模 型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间 10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨 先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再 通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y = 0.25x , y = Iog7x+ 1 , y = 1.002x 的图象.图6观察函数的图象， 在区间10,1000上，模型y = 0.25x , y = 1.002x的图象都有一部分在直线y = 5的上方，只有模型y = Iog7x + 1

13、的图象始终在y = 5的下方，这说明只有按模型 y = Iog7x + 1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型 y = 0.25x，它在区间10,1000上递增，而且 当x = 20时，y = 5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型 不符合要求；对于模型y = 1.002x，由函数图象，并利用计算器，可 知在区间内有一个点x0满足1.002x0 = 5，由于它在区间10,1000上递增，因此当 x>x0时，y>5,所以该模型也 不符合要求；对于模型y = Iog7x + 1,它在区间10,1000上递增

14、，而 且当x= 1000时，y = Iog71000 + 14.55 V5,所以它符合 奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y = Iog7x + 1奖励时，奖金是否不超过利 润的 25% 即当 x 10,1000时，是否有 yx = Iog7x + 1x< 0.25成立.图7令 f = Iog7x + 1-0.25x , x 10,1000.利用计算器或 计算机作出函数f的图象，由函数图象可知它是递减的，因 此f Vf 一0.3167 V 0,即卩 Iog7x + 1V 0.25x.所以当 x 10,1000时，Iog7x + 1x V 0.25.说明按模型y = Iog7x +

15、1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y = Iog7x + 1确实能符合公司的要求. 变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的 关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%销售数量就减少X%.目前，该商品定价为a元，统计其销售 数量为b个.当=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时的取 值范围.解：依题意，价格上涨 x%后,销售总金额为y = a?b= ab10000 - x2 + 100x + 10000.取=12, y = ab10000- 12x2 + 50x + 10000,所以x = 5

16、0,即商品价格上涨50% y最大为98ab.因为 y = ab10000 - x2 + 100x + 10000,此二次函数的开口向下，对称轴为x = 50,在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在x|x > 0的一个子集内增大时，y也增大.所以50>0,解得0vv 1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失 10%把几块这样的 玻璃重叠起来，设光线原来的强度为，通过 x块玻璃以后强 度为y.写出y关于x的函数关系式；通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下.解：光线经过1块玻璃

17、后强度为=0.9 ;光线经过2块玻璃后强度为？ 0.9 = 0.92 ;光线经过3块玻璃后强度为？ 0.92 = 0.93 ;光线经过x块玻璃后强度为0.9x. y = 0.9x .由题意：0.9x v 3. - 0.9x v 13.两边取以10为底的对数，xlg0.9 vlg13. Ig0.9 v 0,. x> lg13lg0.9./ Ig13lg0.9= lg31 - 2lg3 10.4 , xin = 11.通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下.拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象.假设其关系为指数函数，并给出下列说法： 此指数函数的底数为2; 在第5

18、个月时，野生水葫芦的面积就会超过302 ; 野生水葫芦从42蔓延到122只需1.5个月； 设野生水葫芦蔓延到22、32、62所需的时间分别为t1、t2、t3，则有 t1 +12 = t3 ; 野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等 于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.哪些说法是正确的？图8解：说法正确.关系为指数函数，可设y = ax .二由图知2= a1. a= 2,即底数为2. 25= 32 > 30 ,说法正确. 指数函数增长速度越来越快，说法不正确. t1 = 1, t2 = Iog23 , t3 = Iog26 ,.说法正确. 指数函数增长速度越来越快，.说法不正确.

19、课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨， 及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.答案：建立函数模型；利用函数图象性质分析问题、解 决问题.作业课本习题3.2A组1,2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意 料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅 让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高 考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主 题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材.第2课时张建国导入新思路1.国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的

20、 发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的个格子里放 上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前 一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到第64个格子.请给我 足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就 欣然同意了 .假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就 是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数 的增长差异.思路2.我们知道，对数函数y = logax ,指数函数y = ax与幕函 数y = xn在区间上都是增函数.但这三类函数的增长是有差 异的.本节我们讨论指

21、数函数、对数函数、二次函数的增长 差异.推进新新知探究提出问题在区间上判断y = Iog2x , y = 2x , y= x2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.结合函数的图象找出其交点坐标.请在图象上分别标出使不等式Iog2x v 2x v x2和Iog2xv x2 v 2x成立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样的结论？讨论结果：在区间上函数 y = Iog2x , y = 2x , y= x2均为增函数.见下表与图9.X0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y = 2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556y =

22、 x20.040.3611.963.244.846.76911.56y = Iog2x 2.3220.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766图9从图象看出y = Iog2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y = 2x的图象与y=x2的图象有交点.不等式Iog2x v 2xv x2和Iog2x v x2v 2x成立的自变量 x的取值范围分别是和U.我们在更大的范围内列表作函数图象，X012345678y=2x1248163264128256 y = XXX91625364964图10容易看出：y = 2x的图象与y = x2的图象有两

23、个交点和， 这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系， 有时2x v x2，有时x2 v 2x.但是，当自变量 x越来越大时，可以看到，y = 2x的图 象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来， 几乎有些微不足道，如图 11和下表所示.X01020304050607080 y = 2x110241.05E + 061.07E + 091.10E + 121.13E +151.15E + 181.18E + 211.21E + 24 y = XXX040090016002500360049006400 图11一般地，对于指数函数 y = ax和幕函数y = xn，通过

24、探 索可以发现，在区间上，无论 n比a大多少，尽管在x的一 定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的 增长，因此总存在一个 x0，当x>x0时，就会有ax >xn.同样地，对于对数函数y = logax和幕函数y = xn ,在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是 渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax 可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此 总存在一个 x0，当x>x0时，就会有logax vxn.x的增大，y = ax的增长y = xn的增长速度，而y因此，总会存在一个x0,综上所述，尽管对数函

25、数y = logax ,指数函数y = ax与 幕函数y = xn在区间上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着速度越来越快，会超过并远远大于=logax的增长速度则会越来越慢.当x > x0时，就会有logax v xn v ax.虽然幕函数y = xn增长 快于对数函数 y= logax增长，但它们与指数增长比起来相 差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.应用示例 例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份 0.30元，卖不掉的报纸可以以每 份0.05元的价格退回报社.在一个月里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能

26、卖出250份，但每天从报社 买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才 能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多 少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导:设摊主每天从报社买进x份，显然当x 250,400时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价-付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：可卖出400份的20天里，收入为20 X 0.30x ;可卖出250份的10天里，收入为10X 0.30 X 250:10天里多进的报刊退回给报社的收入为10 X 0.05 X.付给报社的总价为 30 X 0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份晚报

27、，显然当 x 250,400时，每月所获利润才能最大. 于是每月所获利润 y 为y = 20 X 0.30x + 10 X 0.30 X 250 + 10 X 0.05 X- 30 X0.20x = 0.5x + 625, x 250,400.因函数y在250,400上为增函数，故当 x = 400时，y 有最大值825元.图12例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂 量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线.写出服药后y与t之间的函数关系式；据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中次服药时间为上午7： 00,问

28、一天中怎样安排服药的时间效果最佳？解：依题意，得 y = 6t , 0< t < 1 , - 23t + 203, 1<t <10.设第二次服药时在次服药后t1 小时，则一23t1 + 203 =4, t1 = 4.因而第二次服药应在11: 00;设第三次服药在次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有一23t2 + 203 - 23 + 203 = 4,解得t2 = 9,故第三次服药应在16: 00;设第四次服药在次后t3小时，则此时次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，-23 + 203-23 + 203= 4,解得t3 = 13

29、.5，故第四次服药应在 20: 30.变式训练 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始 时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣 保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果 和实验表明，用f表示学生接受概念的能力f的值愈大，表示接受的能力愈强,x表示提出和讲授概念的时间，可有以 下的公式:开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些?解：当 0vx< 10 时，f =- 0.1x2 + 2.6x + 43=- 0.12+ 59.9 ,知当

30、x = 10 时，fax = f = 59;当 10vx< 16 时，f = 59;当 16v x< 30 时，f = - 3x + 107,知 f v 3X 16+ 107= 59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持 续6分钟. f = - 0.1 X 2 + 59.9 = 53.5 , f = - 3X 20 + 107 = 47v53.5 ,开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关

31、系用图13的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13的抛物线段表示.写出图13表示的市场售价与时间的函数关系P= f ;写出图13表示的种植成本与时间的函数关系式Q= g;认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？图13活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他 学生的解答，发现问题及时纠正.解：由图13可得市场售价与时间的函数关系为f = 300-1，0<t <200 , 2t - 300, 200<t <300.由图13可得种植成本与时间的函数关系为g= 1XX+100,0 < t < 300.设t时刻的纯收益为

32、h,则由题意得h= f - g.即 h=- 1200t2 + 12t + 1752, 0< t < 200, - 1200t2 + 72t - 10252, 200<t < 300.当0W t < 200时，配方整理，得 h = - 1XX+ 100,所以当t = 50时，h取得区间0,200上的最大值100;当 200<t < 300 时，配方整理，得 h=- 1XX+ 100,所以当t = 300时，h取得区间200,300上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h在区间0,300上可以取得 最大值100,此时t = 50,即从二月

33、一日开始的第 50天时， 上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.拓展提升探究内容 在函数应用中如何利用图象求解析式. 分段函数解析式的求法. 函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品的企业，批 产品A上市销售40天内全部售完，该公司对批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14、图14、图14所示.其中图14的折线表示的是国外市场的日销售量 与上市时间的关系；图 14的抛物线表示的是国内市场的日 销售量与上市时间的关系；图14的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时

34、间的关系.图14分别写出国外市场的日销售量f、国内市场的日销售量g与批产品A上市时间t的关系式；批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销 售利润之和超过6300万元？分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利 用待定系数法求解析式.在t 0,40上，有几个分界点，请同学们思考应分 为几段.回忆函数最值的求法.解：f = 2t , 0< t < 30,- 6t + 240 , 30<t < 40,g=- 320t2 + 6t .每件A产品销售利润 h= 3t , 0< t < 20, 60, 20<t < 40.该公司的日销售利润当OW t < 20时，F = 3t，先判断其单调性.设 OW t1 v t2 W 20,贝y F F= 3t1