第二章点集论

1、1 度量空间，n维欧式空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造1 度量空间，n维欧式空间1、度量空间设设 是一个集合，若对于是一个集合，若对于 中任意两个元素中任意两个元素 ,都有唯一确定都有唯一确定的实数的实数 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：的充要条件为的充要条件为对任意的对任意的 都成立都成立，则称则称 是是 之间的距离，称之间的距离，称 为为度量空间或距离空度量空间或距离空间。间。 中的元素称为点。中的元素称为点。如果如果 是度量空间，是度量空间， 是是 的一个非空子集，则的一个非空子集，则 也是一

2、个度量空间，称为也是一个度量空间，称为 的子空间的子空间。X, x yXX( , )d x y( , )0,( , )0d x yd x yxy( , )( , )( , )d x yd x zd y zz( , )d x y, x y(, )X dX(, )X dY( , )Y d(, )X d2、欧几里得空间，欧几里得距离：对对 中的任意两点，中的任意两点， 规定距离规定距离则则 称为称为n n维欧几里得空间维欧几里得空间,其中其中 称为称为欧几里得距离欧几里得距离。nR12( ,.,),nx 12(,.,)ny 1221,niiid x y,nRdd 中所有和定点中所有和定点 之距离小于

3、定数之距离小于定数 的点的全体，即集合的点的全体，即集合称为点称为点 的的 邻域邻域， 称为称为邻域的中心邻域的中心， 称为称为邻域的半径邻域的半径。3、邻域nR0P000,|,U PP d P P0P0P（3）对于 ，存在邻域性质：（1） PU P（2）对于 和 ，存在 1UP 2UP 312UPUPUP QU P ( )U QU P（4）对于 ，存在 和 ，使PQ( )U Q U P ( )U PU Q 4、点列收敛设设 为为 中一点列，中一点列， ，如果当，如果当 时有时有 ，则称点列则称点列 收敛于收敛于 ，即为，即为 nRmP0nPRn 0(,)0md P P mP0P0limmmP

4、P即：对于 的任一邻域 ，存在某个自然数 ，使得当 时，0P0()U PNmN0()mPU P0()(),1,2,.,nmiiPPmxxmin 点列收敛等价于按坐标收敛。5、点集间的距离（1）两个非空点集）两个非空点集A、B的的距离距离定义为定义为,inf( ,)P AQ Bd A Bd P Q（2）一个非空点集）一个非空点集E的的直径直径定义为定义为 sup ( ,)P EQ EEd P Q（3）如果）如果 ，则称，则称E为为有界点集有界点集。空集也是有界点集。空集也是有界点集。 E E为有界点集的为有界点集的充要条件充要条件就是存在常数就是存在常数 ，对所有，对所有 有有 这里这里0=(0

5、,0),称为称为n为空间的原点为空间的原点。KxE,0d xK（4）开区间）开区间I：12,.,|,1,2,.,niiix xxaxb in（5）区间）区间I的体积的体积 |I|：1()niiiba1、内点、外点和界点(1)如果存在如果存在 的某一邻域的某一邻域 ,使得使得 ,则称则称 为为E的的内点内点。0P0()U P0()U PE0P(2)如果如果 是是 的内点，则称的内点，则称 为为E的的外点外点。0P0PE(3)如果如果 既非既非E的内点又非的内点又非E的外点，也就是说：的外点，也就是说： 的任的任意邻域内既有属于意邻域内既有属于E的点，也有不属于的点，也有不属于E的点，则称的点，则

6、称 为为E的的界点或边界点界点或边界点。0P0P0P注注：从定义可知，从定义可知，E的内点一定属于的内点一定属于E，E的外点一定不属于的外点一定不属于E；E的界点可以的界点可以属于属于E，也可以不属于，也可以不属于E；E的内点与的内点与E的余集的外点是一致的；的余集的外点是一致的；E的界点与的界点与E的余集的界点是一致的的余集的界点是一致的。2、聚点、孤立点(1)设设E是是 中一点集，中一点集， 为为 中一定点，如果中一定点，如果 的任一邻域的任一邻域内部都含有无穷多个属于内部都含有无穷多个属于E的点，则称的点，则称 为为E的一个的一个聚点聚点。0P0P0PnRnR(2)设设E是是 中一点集，

7、中一点集， 为为 中一定点，如果中一定点，如果 属于属于E但不但不是是E的聚点，则称的聚点，则称 为为E的一个的一个孤立点孤立点。0P0P0PnRnR注：1聚点和孤立点是相对立的，但是应该注意，聚点和孤立点是相对立的，但是应该注意，E的孤立点一定属的孤立点一定属于于E，而，而E的聚点未必属于的聚点未必属于E。2E的内点必为的内点必为E的聚点，而的聚点，而E的聚点未必是的聚点未必是E的内点，还可能是的内点，还可能是E的界点的界点。3有限集无聚点有限集无聚点。4E的孤立点必为的孤立点必为E的边界点，而的边界点，而E的边界点不是的边界点不是E的聚点，就是的聚点，就是E的的孤立点。孤立点。110,1,

8、.,.2En111,.,.2En0,1E 定理定理 1：下面三个陈述是等价的：下面三个陈述是等价的：（1） 是是E的聚点；的聚点；（2） 的任一邻域内，至少含有一个属于的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于而异于 的点。的点。（3）存在）存在E中互异的点所成点列中互异的点所成点列 ，使，使0P0P0PnP0()nPPn 3、开核、边界、导集、闭包（1）E的全体内点所成的集合，称为的全体内点所成的集合，称为E的的开核开核，记为，记为E（2）E的全体界点所成的集合，称为的全体界点所成的集合，称为E的的边界边界，记为，记为E（3）E的全体聚点所成的集合，称为的全体聚点所成的集合，称为E的的导集导集，

9、记为，记为E（4） 称为称为E的的闭包闭包，记为，记为EEE4、开核、导集、闭包之间的关系 ,()EEEE1 痧痧 2,ABABABAB 3 ()ABAB定理 4 （Bolzano-Weierstrass定理）任意有界无穷点集至少有一个聚点。空集没有聚点也没有孤立点。111,.,.2En0,1E 例题 1 设设 为非空集合，求证：为非空集合，求证：（1）若）若A是孤立点集，则是孤立点集，则 （孤立点集必为有限集或可数集）（孤立点集必为有限集或可数集）（2）（3）若）若 ，则，则1ARAaA AaAaAaE为一集合，则为一集合，则 为开集为开集1、开集定义：设设 ，如果，如果E 的每一点都是的每

10、一点都是E的内点，则称的内点，则称E为为开集开集。nERE为开集的充要条件是为开集的充要条件是 ，即，即EEEE例如：（例如：（a,b) a,b)有理数点集有理数点集0U P开集性质：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。E注意：任意多个开集的交不一定是开集。例如，是开集，但 不是开集， 是开集。111,1,1,2,.nGnnn 11,1nnG 1knnG2、闭集定义：设设 ，如果，如果E 的每一个聚点都属于的每一个聚点都属于E，则称，则称E为为闭集闭集。nERE为闭集的充要条件是 例如：a,b a,b)闭集性质：(1)任意多个闭集之交仍是闭集，有限多个闭集之和仍是闭集。()EE

11、orEE注意：任意多个闭集的和不一定是闭集。例如，是闭集，但 不是闭集， 是闭集。11,1,3,4,.nFnnn10,1nnF110,1,.,.2En1knnF(2)对任何 ， 和 都是闭集。nEREE3、开集和闭集的对偶性设设E是开集，则是开集，则 是闭集；设是闭集；设E是闭集，则是闭集，则 是开集。是开集。EE4、完备集、自密集自密集自密集：设设 ，如果，如果 ，则称，则称E为为自密集自密集。nEREE另一种描述：当集合中每点都是这个集合的聚点时，这个集就是自密集另一种描述：当集合中每点都是这个集合的聚点时，这个集就是自密集。或没有孤立点的集就是自密集。或没有孤立点的集就是自密集。完备集完

12、备集：设设 ，如果，如果 ，则称，则称E为为完备集完备集。nEREE没有孤立点的闭集就是完备集，即自密闭集称为完备集没有孤立点的闭集就是完备集，即自密闭集称为完备集。例如：空集是自密集，也是完备集。例如：空集是自密集，也是完备集。a,b，以及全直线都是完备集。，以及全直线都是完备集。疏朗集疏朗集：空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E的点，则称的点，则称E为为疏朗集合或无处稠密集合疏朗集合或无处稠密集合，即即 没有内点没有内点。E5、Heine-Borel有限覆盖定理设设F是一个有界闭集，是一个有界闭集， 是一族开集，它覆盖了是一族开集，

13、它覆盖了F（即（即 ），则），则 中一定存在有限多个开集中一定存在有限多个开集 ，它，它们同样覆盖了们同样覆盖了F（即（即 ）。）。iiUiiFU12,.,mU UUmiiFU6、紧集设设M是度量空间是度量空间X中一集合，中一集合， 是是X中任一族覆盖了中任一族覆盖了M的开集，如的开集，如果必可从果必可从 中选出有限个开集仍然覆盖中选出有限个开集仍然覆盖M，则称，则称M为为X中的中的紧集紧集。性质性质:设设M是是 中的紧集，则中的紧集，则M是是 中的有界闭集。中的有界闭集。nRnR紧集一定是有界闭集，反之不然。1、直线上开集构造定理构成区间构成区间：设设G是直线上的开集，如果开区间是直线上的开

14、集，如果开区间 ，而，而且端点且端点 不属于不属于G，那么称，那么称 为为G的的构成区间构成区间。,G , , 开集构造定理开集构造定理：直线上任意一个非空开集可以表示成有限个或直线上任意一个非空开集可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的和集。可数个互不相交的构成区间的和集。即：若G是直线上的开集，则存在 使 ,1,2,.,kka bk ,iijja ba bij ,kka bG1,kkkGa b注：1这些开区间 为G的构成区间。2对于R1中的无界开集，将 也算作构成区间。,kka b(, ),( ,),(,)ba 2、闭集构造定理邻接区间：设设A是直线上的闭集，称是直线上的闭集，称A的

15、余集的余集 的构成区间的构成区间为为A的的余区间或邻接区间。余区间或邻接区间。A闭集构造：直线上的闭集直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F的余区间）所的余区间）所得到的集。得到的集。注：1去掉的那些区间称为去掉的那些区间称为F的邻接区间或是余区间。的邻接区间或是余区间。,kkkFa b 2x为闭集为闭集F的孤立点，则的孤立点，则x必为两个相邻的邻接区间的公共端点。必为两个相邻的邻接区间的公共端点。3完备集，是不含孤立点的闭集，就是没有相邻接的余区间的闭集。完备集，是不含孤立点的闭集，就是没有相邻接的余区间的闭集。3、康托三分集构造如下：将闭区间构造如下：将闭区间 三等分，去掉中间的开区间三等分，去掉中间的开区间 ，剩下两个闭区间，剩下两个闭区间 又将这两个闭区间分别三等分，去掉中间的两个开区间又将这两个闭区间分别三等分，去掉中间的两个开区间 ，如此无限进行下去，就从如此无限进行下去，就从 中去掉了可数个互不相交且没有公共端点的开区间，中去掉了可数个互不相交且没有公共端点的开区间，剩下的必为一个闭集，它至少包含个邻接区间的端点及其聚点，这个闭集称为剩下的必为一个闭集，它至少包含个邻接区间的端点及其聚点，这个闭集称为康托集，记为康托集，记为P.0,10