第二章时频分析与连续小波变换

1、小波分析导论 第二章第二章 时频分析与连续小波变换时频分析与连续小波变换 时频联姻时频联姻( (Time Meets Frequency)Time Meets Frequency)n傅里叶分析回顾傅里叶分析回顾n联合时频分析的基本原理联合时频分析的基本原理n短时傅里叶分析短时傅里叶分析:STFT:STFTn连续小波变换连续小波变换:CWT :CWT n时频分析的应用时频分析的应用n 瞬时频率瞬时频率n 基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测n本章小结本章小结一、傅里叶分析回顾一、傅里叶分析回顾n概述概述n定义定义n性质性质n实现实现n傅里叶分析可以分析信号

2、中的傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分频率成分”。 它是一个全局的分析。它是一个全局的分析。 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTILTI系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统系统- -利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。相乘运算。 傅里叶分析数字实现时常常采用傅里叶分析数字实现时常常采用FFTFFT进行快速实现。进行快速实现。 傅里叶分析概述傅里叶分析概述 傅里叶变换傅里叶变换(分析分析)的定义的定义根据信号的不同，傅里

3、叶变换有四种定义：根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义：CTFT: CTFT: 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换CFS: CFS: 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数DTFTDTFT： 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换DFSDFS： 离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数nCTFT:CTFT:连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换n适用信号适用信号: :连续时间信号连续时间信号n变换公式变换公式: :1( )()2jtx tXjed()( )jtXjx t edtnCFS: 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数n适用信号适用信号: :连续时间周期信号连续时间周期信号n变换公式变换公式:

4、: TtTjkTtjkkktTjkkktjkkdtetxTdtetxTaeaeatx)/2(0)/2(0)(1)(1)(nDTFTDTFT：离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换n适用信号适用信号: :离散时间信号离散时间信号n变换公式变换公式: :deeXnxnjj2)(21)(nnjjenxeX)()(nDFS：离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数n适用信号适用信号: :离散时间周期信号离散时间周期信号n变换公式变换公式: :NnnNjkNnnjkkNknNjkkNknjkkenxNenxNaeaeanx)/2(0)/2(011四种傅里叶变换的关系四种傅里叶变换的关系:CFS连续时间傅立叶级

5、数( )kx tA离散、非周期连续、周期DFS离散时间傅立叶级数( )kx nA 离 散 、 周 期 离 散 、 周 期连续、非周期连续、非周期CTFT连续时间傅立叶变换( )()()2()x tXjXjtxDTFT离散时间傅立叶变换)()(jeXnx连续、周期离散、非周期12()kAX jkTT21()jkNkAX eN)()(jDTFTeXnx )()(kxeXCFSjt1()nAxkN信号时域和频域特性之间关系：信号时域和频域特性之间关系：本课程中傅里叶变换的记号本课程中傅里叶变换的记号: :deftfdtetfftiti)(21)()()(连续时间傅里叶变换性质连续时间傅里叶变换性质0

6、01212121200()( )*( )1( )( )*()2()( )( )( )()FFFjtFjtFFFppf tffftfff t ftfff ttfeef tftfs fssftjf n从频率分析角度看：从频率分析角度看：傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。n从信号从信号奇异性奇异性分析角度看分析角度看: :n傅里叶变换不容易提供信号傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性局部奇异性信息：信息：n不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的奇异性（局部的变化）

7、上的奇异性（局部的变化）.然而然而, ,小波变换可以做到这一点。小波变换可以做到这一点。n傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性奇异性。 傅里叶变换的重要缺陷傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的难于获得信号的“局部变化局部变化”规律规律1( )( )( )(1)( )( )0( )1( )ppf tffdf tf tpKKff tp 定理：如果信号的傅里叶变换满足： ， 则:是有界的，并且具有 阶导数。推论:如果存在常数 及使得：， 则:具有 阶导数。傅里叶变换的衰减性与信号的傅里叶变换的衰减性与信号的全局全局正则性之间的关系：正则性之间的关

8、系：n19651965年库利和图基提出年库利和图基提出FFTFFT算法算法nFFTFFT不是一种新的傅里叶变换不是一种新的傅里叶变换, ,它仅仅是计算它仅仅是计算DFSDFS的一种快速算法的一种快速算法. .nFFTFFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用中的应用. .傅里叶变换的快速算法：傅里叶变换的快速算法：FFT二、联合时频分析二、联合时频分析n联合时频分析引入的动机：联合时频分析引入的动机：n具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见：具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见：n语音语音/ /音频信号音频信号n颜色变化的光线颜色变化的光线n雷达信

9、号雷达信号n地震信号地震信号nn1946年年,Dennis Gabor(1971年年Nobel奖获得者奖获得者) :“迄今为止，通信理论的基础一迄今为止，通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号号描述成时间的函数，一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数另一种将信号描述成频率的函数（Fourier分析）。这两种方法分析）。这两种方法都是理想化的都是理想化的。然而，我们。然而，我们每一天的经历特别是我们的听每一天的经历特别是我们的听觉却一直是用时间和频率来描觉却一直是用时间和频率来描述的。述的。”n为了分析信号中时变的频率结构，需要

10、引入为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和小波变换就是其中的代表。小波变换就是其中的代表。n短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子了不同的时频原子n不同时频原子具有不同的时频特性。不同时频原子具有不同的时频特性。时频原子时频原子n时频原子的基本概念时频原子的基本概念n线性时频变换的定义线性时频变换的定义n时频原子的时频局部化描述时频原子的时频局部化描述nHeisenbergHeisenberg测不准原理测不准原理n时频原子的时频结构时频原子的时频结构- -Heise

11、nberg-boxHeisenberg-boxn时频能量密度时频能量密度 时频原子基本概念时频原子基本概念n时频原子时频原子n具有时频局部化特性的基本信号分析单元具有时频局部化特性的基本信号分析单元n 短时傅里叶时频原子短时傅里叶时频原子n n小波时频原子小波时频原子n 特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；都是由一个基本的单元信号经过变换得到； 短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的； 小波原子是通过平移和伸缩得到的。小波原子是通过平移和伸缩得到的。,( )( )()i tutgtg tu e,1( )( )u stuttss线性时频变换线性时频变换

12、*( ),( )( ).(1)1( )( ).(2)2Tfff tt dtfd ：参数集：参数集线性时频变换的时频局部化线性时频变换的时频局部化n如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u u周围周围, ,根根据据(1)(1)式式, ,则则 仅与信号仅与信号f(t)f(t)在该邻域的值有关。在该邻域的值有关。n如果时频原子在频率上是集中于某个频率点如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围周围, ,根据根据(2)(2)式式, ,则则 仅与信号仅与信号f(t)f(t)的频谱在该邻域的值的频谱在该邻域的值有关。有关。 )(Tf)(Tf如果所选择的时频原子的能量

13、在时间上集中在某个时如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时刻点刻点, ,同时在频率上集中在某个频率点同时在频率上集中在某个频率点, ,则线性时频变则线性时频变换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个频率点上的信息频率点上的信息- -具有最高的时频分辨率。具有最高的时频分辨率。问题问题: :上述时频原子存在否上述时频原子存在否? ?“最高的时频分辨率最高的时频分辨率 ” ”n时频原子的分辨率受如下两个结论限制时频原子的分辨率受如下两个结论限制: :nHeisenberg测不准原理测不准原理n不存在同时具有时限和频限的时频原子不存在同时具

14、有时限和频限的时频原子设设 )(t频宽的频域能量分布范围时宽的时域能量分布范围均值频率的频域能量分布中心均值时间的时域能量分布中心个时频参数为：的，.)(:)()()(.)(:)()()(.)(:)(.)(:)(4)()()(, 1)(22222222tdttdttuttdtdtttuttttF的时频分辨率。定量表示的时频盒：频宽为为中心，时宽为可以用)()(),(),(tboxheisenbergut时频原子时频原子 的时频结构：时频局部化的定量描述的时频结构：时频局部化的定量描述nHeisenberg-box示例：示例：n 有关有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题：的几个值

15、得注意的问题：n根据测不准原理，根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于的面积至少要大于1/21/2；n在在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没有能量分布，有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能只是代表了该时频原子的大部分能量集中的位置和区域量集中的位置和区域。 HeisenbergHeisenberg测不准原理结论测不准原理结论 时等号成立当且仅当tiutbteaetf2)(22)(41 （得证）使得进一步推出存在使得：成立的条件，有：存在再考虑到许瓦兹不等式再由分部积

16、分考虑到不等式，有：再根据质）定理及傅里叶变换的性（时成立。定理对不失一般性，只证明该）：假定证明（)exp()(,)(2)(fb,), 0)(lim4(/1)(41)()()()(21)()(1.)()(1)(210, 0)(limWeyl22242*42*42222422422btatfCtbtfttftdttftfdttftftftftfdttfttffSchwarzParsevaldttfdtttffdfdtttffutftttttn时频不可能同时有限长时频不可能同时有限长n 尽管有了尽管有了HeisenbergHeisenberg测不准原理的限制测不准原理的限制, ,可能仍然有人认为

17、存在可能仍然有人认为存在 某个信号在时间某个信号在时间- -频率域上可以同时是有限长的频率域上可以同时是有限长的, ,但这个结论也是但这个结论也是 不成立的。不成立的。定理定理: :时频不能同时有限长时频不能同时有限长 0( )00(t)00( )0( )1, ,( )exp().2 , ( )0,()/21( )exp()0.2( )bbbnnbffff tfb bf tfi t dtc df ttcdnftfii t df t如果是紧支撑的，则不能在某区间上为 ；类似地，如果是紧支撑的，则也不能在某区间上为零。证明（前半部分）：设 的支集为则：如果时则在点处将上式两边微分 次得到：因为：

18、0000001expexp(),2exp() ()1( )exp()0.2!0bbnbnbnfitti t ditti ttf tfi t dnf 将展开成无穷级数有：这与矛盾。时频能量密度时频能量密度22*,( , ),( )( )( )uuP f uftf tt dt 它度量了信号的能量在以 为中心的时频邻域内的分布。),(un连续STFTn定义n短时傅里叶原子的时频结构n常用信号的连续STFTn连续STFT的反变换n连续STFT的性质n 能量守恒定理n 再生核方程n短时谱三、短时傅里叶变换三、短时傅里叶变换STFT(Short Time Fourier Transform)连续连续STF

19、T,( , )( ),( )( ) ()fui tSTFT uf t gtf t g tu edt,*,1( )(),( )2( ),( )( )( )( )( )( )( )3( , )( )i tuuuuufgtg tu eg tf t gtf t gt dtf tgtf tgtParsevalSTFT uf t g注意：、为短时傅里叶原子它是由一个原始的窗函数经过时间平移和频率调制而得到。、表示信号和短时傅里叶原子之间的内积。物理意义上它可用来衡量信号和短时傅里叶原子之间的“相似性”。、根据定理有：()1()( )()21( )( )( )( )2i tiutu edtfgedParse

20、valf t g t dtfgd 定理：短时谱短时谱22)()(),(),(dteutgtfuSTFTufPtifs 短时傅里叶原子的时频结构短时傅里叶原子的时频结构: : ( (为简化起见，设为简化起见，设g(t)g(t)为实偶信号为实偶信号) )： ,(),22222,22,1( )( )( )()( )()( )().2()( )( )31()( )2ui tuFi tiuuutuugtug tgtg tu eugtg tu eggeutugtdttg tdtgd 、的时频能量中心为（ ， ）：为实偶函数，关于原点对称，则以 为中心。、时间宽度与 无关、频率宽度与 无关21( )2gdn

21、短时傅里叶原子的时频结构图示：短时傅里叶原子的时频结构图示：短时傅里叶原子的时频短时傅里叶原子的时频结构在整个时频平面上结构在整个时频平面上保持不变！保持不变！ 常用信号的短时傅里叶变换常用信号的短时傅里叶变换n正弦信号正弦信号 00000()0222000( )2():( )( , )():( , )( , )( ) ()()22i tFi tiuSTFTfi tsff tef teSTFT ugeP f uSTFT uf t g t u edtg 能量在频域集中在上。短时谱：特点： 能量在频域上主要集中在，范围内，有扩散。 能量在整个时间轴上都有分布。正弦信号短时谱对应的时频区域正弦信号短

22、时谱对应的时频区域0( )(0,)STFTsf tP f u 对应的时频区域：u020202t2t0000f022f0000( )()( )()STFT ug()( , )STFT ( , )(),22(i tFi tSTFTsttf tttef ttttu eP f uug tuuttutg t （ ， ）短时谱：变换特点：能量在时域有扩散，原先集中在某一特定点上。 能量在时域集中在范围内。 在时取得最大值 （假定)0t 是在处取得最大值的偶函数）。 能量在整个频率范围内都有分布。单位冲激信号单位冲激信号0t20tt20ttu00(,0)sP f ut对应的时频区域线性调频信号线性调频信号

23、2)(iatetf推导推导 在高斯窗在高斯窗 下短时傅里叶变换。下短时傅里叶变换。 2)(iatetf222421)(tetg STFT STFT反变换反变换- -完备性完备性如果如果f(t)是能量有限信号，则：是能量有限信号，则：1( )( , ) ()2i tff tSTFT ug tu e d du dudeutguSTFTtfduutgdeuSTFTduutgtfdeuSTFTutgtfutgtfdteutgtfuSTFTtifduutgdttgtifuutgtiftif )(),(21)()(),(21)()(),(21)()()()(,)()(),(1)(, 1)(2)(22则：不

24、失一般性，如果选择积分后对两边同乘以有：根据傅里叶反变换公式的傅里叶变换，成短时傅里叶变换可以看定义：根据短时傅里叶变换的证明： STFT STFT性质性质n稳定性：稳定性：nParsevalParseval定理定理duduSTFTdttff22),(21)( duduSTFTduduSTFTuSTFTduddteutgtfuSTFTdttfdudeutguSTFTdttftfdttfffftiftif2*2),(21),(),(21)()( ),(21)()(),(21)()()(证明：时频能量密度的体现时频能量密度的体现 STFT STFT的冗余性的冗余性: :重建核方程重建核方程n n上

25、面的性质表明:并不是所有的能量有限的二维信号都是某个一维能量有限信号的短时傅里叶变换! 称为重建核其中：重建核方程的充分必要条件是：使得存在令 00,000000222,),(.),(),(21),(),(),()(),(uufgguuKduduuKuuuSTFTuRLfRL能量有限信号能量有限信号 能量有限二维信号能量有限二维信号STFT 模糊函数与重建核模糊函数与重建核 n模糊函数定义n模糊函数沿时间轴和频率轴的衰减性可以定义 信号的时频结构-比Heisenberg box更精确n模糊函数在雷达信号设计中具有重要用途 ( , )() ()221() ()222jjAgg tg tedtgg

26、ed 00()()20000( , ,)(,)iu uK u uAg uue 重建核和模糊函数的关系重建核和模糊函数的关系离散短时傅里叶变换离散短时傅里叶变换,1f,01100 1 2n exp()2nSTFT , , exp()12n , exp()m lNm lnNNfmlg nNf nNilgng nmNilm lf gf n g nmNilf nSTFT m l g nmNN窗口：周期为 ，能量为 的对称信号。信号：周期为 的周期信号。离散短时傅里叶原子：离散短时傅里叶变换：离散短时傅里叶反变换：连续小波变换连续小波变换n连续小波正变换连续小波正变换n连续小波反变换连续小波反变换n连续

27、小波变换性质连续小波变换性质n 时移不变性时移不变性n 尺度变换性尺度变换性n 微分性微分性 n 再生核方程再生核方程n 能量守恒定理能量守恒定理n尺度谱尺度谱n小波原子的时频结构小波原子的时频结构 n解析小波及解析小波变换解析小波及解析小波变换n小波脊小波脊n连续小波变换的定义：连续小波变换的定义：dtsutstfttfsuCWTsuf)(1)()(),(),(*, Notes:平移因子）后得到的。和平移（尺度因子做伸缩也称为母小波是对基本小波原子小波时频原子:):()()(1)() 1 (,ustsutstsu( (2)2)尺度因子尺度因子s s的作用是对母小波做伸缩，选择不同的的作用是对

28、母小波做伸缩，选择不同的s s会改变波会改变波形的宽窄，但不会改变波形的形状。尺度因子形的宽窄，但不会改变波形的形状。尺度因子s s越大，波形越大，波形越宽，可以用于分析持续时间长的低频信号。越宽，可以用于分析持续时间长的低频信号。. 0)(:2.0)(:1)()3(dttttt“波动”特性的邻域内的能量在时间上集中在“小”特性：满足两个特性：母小波( (4)4)小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的奇小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的奇异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽小波。异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽小波。 2222412exp132)(tttn墨西哥草帽小波

29、的波形及其傅里叶变换：墨西哥草帽小波的波形及其傅里叶变换：基于墨西哥草帽小波的连续小波变换：基于墨西哥草帽小波的连续小波变换：奇异性检测奇异性检测(5)小波也可以是复小波，并且一般采用复解析小波。小波也可以是复小波，并且一般采用复解析小波。采用复解析小波常用来做时频分析，如检测信号采用复解析小波常用来做时频分析，如检测信号的瞬时频率。采用复解析小波进行的小波变换称的瞬时频率。采用复解析小波进行的小波变换称为解析小波变换为解析小波变换(AWT:Analytic Wavelet Transform). 22212241Gabor wavelet: exp()exp(),12ttj t （6 6）连

30、续小波变换的滤波器解释）连续小波变换的滤波器解释: : )(1)()(*)()(1)(),(*ststuttfdtsutstfsuCWTssf其中，)(tf)(1)(*ststs)(),(ufsuCWTsfS变化时可以看成是带宽不断变化的一组带通滤波器。变化时可以看成是带宽不断变化的一组带通滤波器。的函数。卷积积分后是所代表的变量，注：卷积的积分变量是）（注：udtsutstfstsdtstustfdttutfdttutfufsuCWTsssf)(1)()(1t()(1)()()()()()()(),(*s*(7)连续的含义（三重连续）连续的含义（三重连续）： 信号信号是连续的；是连续的； 尺

31、度因子尺度因子是连续的；是连续的； 位移因子位移因子 是连续的。是连续的。(8)计算机实现连续小波变换时运算量很大计算机实现连续小波变换时运算量很大 用计算机处理时较慢用计算机处理时较慢, ,这往往限制了其在实时信号处理中的应用。这往往限制了其在实时信号处理中的应用。连续小波变换的计算连续小波变换的计算计算连续时间小波变换的计算连续时间小波变换的4 4个步骤：个步骤：1 1、选取一个小波，然后将其和待分析信号从起点开始、选取一个小波，然后将其和待分析信号从起点开始 的一部分进行相乘积分。的一部分进行相乘积分。 2 2、计算相关系数、计算相关系数c c。3 3、将小波向右移，重复、将小波向右移，

32、重复1 1和和2 2的步骤直到分析完整个信号。的步骤直到分析完整个信号。4 4、将小波进行尺度伸缩后再重复、将小波进行尺度伸缩后再重复1 1，2 2，3 3步骤，直至完成步骤，直至完成所有尺度的分析。所有尺度的分析。连续小波变换的计算连续小波变换的计算n可以采用模拟器件来实现连续小波变换。可以采用模拟器件来实现连续小波变换。n连续小波变换的数值计算连续小波变换的数值计算dtsuttfssuCWTf)()(1),(*n位移的离散化：位移的离散化：在上式中令在上式中令: ,: ,则有则有: :()(, )() ()ssfssmTmn TCWTnT sf mTss,sstnT ukTn在实际计算时在

33、实际计算时, ,尺度参数尺度参数s s也要进行离散化也要进行离散化, ,常见离散化方法是令常见离散化方法是令: : mjssjjfvjaTnmmTfaanCWTaas1),(2,1可以用FFT来计算。n连续小波反变换连续小波反变换-连续小波变换的完备性问题连续小波变换的完备性问题 0202)(1),(1)()(,)( )(sdsdusutssuCWTCtftfdCtf有：则对任意能量有限信号且满足：是能量有限的实信号并设*()*2020*1( )( )()( , )( (.)*)( )( )()1( )( )(),11( )( , )()1(., )*)( )1( )( )(FsFufsFsf

34、fsttssssCWT u sfufssttsssstudsb tCWT u sduCsssdsCWTstCsbfssC 关于证明：令再令：则有：20202220)()f( )( )()( )()( ),( )f( )( )f( )dssssdsbsCstsbdC 考虑到是实信号，必然有。做变量替换后有：（从而命题得证。）n有关该定理的说明有关该定理的说明: :n该定理的证明过程利用了傅里叶分析的结果。该定理的证明过程利用了傅里叶分析的结果。n 称为称为小波容许条件。小波容许条件。 02)(dCn在该定理证明过程中假设在该定理证明过程中假设 是与频率是与频率 无关的有限值，要使该假设成立，必然

35、要求小波具有零均无关的有限值，要使该假设成立，必然要求小波具有零均值。值。 02)( dC如果如果 ，则容许条件成立。，则容许条件成立。 dttt1, 0n尺度函数 t 0lim,202122Cthendsdssn墨西哥草帽小波对应的尺度函数及其傅里叶变换：墨西哥草帽小波对应的尺度函数及其傅里叶变换：低通特性低通特性n含有尺度函数的连续小波变换重建公式：)()(.,1)(*)(.,1)(000020tsLfsCsdstsCWTCtfthensssf)(*1),(),(),()(,1)(:*ufsutstfsuLfandttststSupposessss 连续小波变换性质：连续小波变换性质： 1

36、 1、时移不变性：时移不变性：),()(),()(suCWTtxsuCWTtxxCWTxCWT 则：若注意：注意：(1)(1)该性质在小波用于模式识别中的特征提取过程中该性质在小波用于模式识别中的特征提取过程中 十分重要十分重要(2)(2)并不是所有小波变换都具有时移不变性并不是所有小波变换都具有时移不变性 DWT(DWT(离散小波变换离散小波变换) )不具有时移不变性。不具有时移不变性。 DWT(DWT(离散小波变换离散小波变换) )不具有平移不变性不具有平移不变性( (示例示例) )：2 2、尺度变换性质、尺度变换性质),(1)()(11)()(1),(,)()(1),(),(1),()(

37、)(),()(*suCWTdtsuttxsdtsuttxssuCWTttdtsuttxssuCWTsuCWTsuCWTtxtysuCWTtxxyyxyCWTxCWT 则：令证明：则：如果该性质指出：当信号在时间轴作伸该性质指出：当信号在时间轴作伸缩时，其小波变换在时间轴和尺度缩时，其小波变换在时间轴和尺度轴上要作相同比例的伸缩，但小波轴上要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变变换的波形不变- -小波被称为小波被称为“数数学显微镜学显微镜”得名的由来。得名的由来。3 3、微分性质、微分性质*0*0( )( )( , ),( ),( , )( , )( , )1( )()1()( )lim()1

38、11lim()()( )()liCWTxyxyttdx tx tCWT u sy tCWT u sCWT u sdtuCWT u sdx ttudtdtssx ttx ttudttsstutux ttdtx tdttssss 如果令则：0(, )( , )m( , )()xxtxCWT ut sCWT u stCWT u su 得证4 4、连续小波变换的重建核方程：冗余性、连续小波变换的重建核方程：冗余性称为重建核。其中：重建核方程)(),(1)()(1),(),(),()s ,u(0, 000s ,u*,u,00000200ttcdtttcsusuKdususuKsuCWTsdsCWTsus

39、suff说明：说明：(1)重建核方程表明连续小波变换具有冗余性重建核方程表明连续小波变换具有冗余性-某一点的小波变换某一点的小波变换值可以通过值可以通过 平面其余点上的小波变换值按重建核方程恢复。平面其余点上的小波变换值按重建核方程恢复。su(2)(2)(3)(3)重建核方程表明：并不是任意的二维函数重建核方程表明：并不是任意的二维函数 都可以作为一个信号的连续小波变换。都可以作为一个信号的连续小波变换。),( suFK)()(00,ttsusu和反映的是反映的是 的相关性。的相关性。00ssuuK当 时，此时u-s平面内各点的小波系数才互不相关，此时的小波变换没有冗余。此条件实际上表明不同尺

40、度和位移处的小波是正交的。(5)(5)能量守恒定理：能量守恒定理： 0222),(1)(sdsdusuCWTCdttff尺度谱和归一化尺度谱尺度谱和归一化尺度谱ssuCWTsuCWTramScaff22),(),(: )log(归一化的尺度谱：尺度谱尺度谱和归一化尺度谱：描述信号能量在时间-尺度平面的分布。尺度谱的时间尺度谱的时间- -尺度表示和时间尺度表示和时间- -频率表示频率表示假定频率和尺度间满足如下关系：假定频率和尺度间满足如下关系：s，其中，其中 是母小波的中心频率是母小波的中心频率则：则：2( , )( ,)wfP f uCWT u小波时频原子的时频结构小波时频原子的时频结构频率

41、方差：时间方差：均值频率：均值时间：的四个时频参数：母小波ttt*)(频率方差：时间方差：均值频率：均值时间：的四个时频参数：小波时频原子tttsu*,)(,( )( )u stt通过研究小波原子和母小波的时频参数间的关系来揭示小波原子的时频结构。2222,2,)()()(1)()(tsutdsutdtsutsdtttRRRsusu 小波原子的时频结构小波原子的时频结构( (续续) )usttudttsttdttusttdtsutstttdttttRRRsuRsu*22222222,2,*)()()(1)()()(11)(1)()(tsdtttttsdttustusttdtsutsustttd

42、ttttttRRsuRsuRaa22*22*,22*,2,2*,)()()()()()(1)(1)()(1)()()(1小波原子的时频结构小波原子的时频结构( (续续) )22222,1( )( )()()( )u su sRRRtutututtdtdtdtssss注：n在频域中有：222,)()()(dessRuisussdsssdssdRRRsusu*22222,2,*)()( )( 11)( )( 1)()(1sdssdsssdsssdRRRRsusu*22*22*222*2,2*,)( )()( 1.1)()( )(1)( 1)( )()( 1)()()(1小波原子的时频结构小波原子的

43、时频结构( (续续) )(,tsutss*对应的时频窗(Heisenberg-box)的特点：(1)用于确定时频窗的四个参数都与尺度参数s有关。(2)当s大于1且增大时，时频窗的时间长度增加 ， 而时频窗的频率长度减少 (3)时频窗的面积为： tstst41422时频窗面积与尺度和位移参数无关，但与选定的母小波有关。小波原子的时频结构小波原子的时频结构( (续续) )(4)低频：时频窗时间宽度大，频率宽度小低频：时频窗时间宽度大，频率宽度小 高频：时频窗时间宽度小，频率宽度大高频：时频窗时间宽度小，频率宽度大解析小波和解析小波变换解析小波和解析小波变换解析信号：解析信号： Analytic S

44、ignal解析小波解析小波: Analytic Wavelets解析小波变换解析小波变换: Analytic Wavelet Transformsn解析信号解析信号:n定义定义:一个信号是解析的是指其傅里叶变换的值在负频一个信号是解析的是指其傅里叶变换的值在负频率处全部为零率处全部为零(没有负的频率成份没有负的频率成份)。n实信号实信号f(t)对应的解析信号对应的解析信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为:)(tfa)()();()(0, 00),(2)(aFaFaftfftfff其中，)(exp()(cos)(00tjatftatfan解析小波解析小波n可以通过对一个实偶窗函数可以通过对一个实偶

45、窗函数g(t)进行频率调制得到进行频率调制得到n 1.:),ti (exp)2t(exp)(1/)exp()()(22224/12其中小波：例如MorletGabortitgtn解析小波变换解析小波变换( (Analytic Wavelets)Analytic Wavelets)n采用解析小波进行的小波变换称为解析小波变换采用解析小波进行的小波变换称为解析小波变换: :n采用解析小波变换主要是可以同时得到信号的瞬时幅频特性采用解析小波变换主要是可以同时得到信号的瞬时幅频特性和相频特性和相频特性. . .)(1)(,),(*,dtsutstffsuCWTsufn有关解析小波变换有如下结论有关解析

46、小波变换有如下结论: :n信号信号f(t)f(t)的解析小波变换可以由该信号的解析信的解析小波变换可以由该信号的解析信号对应的解析小波变换确定号对应的解析小波变换确定: :),(21),(suCWTsuCWTaff利用解析小波变换计算实信号的解析信号利用解析小波变换计算实信号的解析信号n如果如果f(t)f(t)是实信号是实信号, ,并且并且 , ,则有则有: :n n 02)( dC 02)(),(Re2)(sdsduutsuCWTalCtfsf 0202)(),(21)(),(1)(?sdsduutsuCWTCsdsduutsuCWTCtfsfsfaan常用信号的解析小波变换常用信号的解析小

47、波变换( (GaborGabor小波作为解析小波小波作为解析小波):): 000222022222000( )exp()( , )()exp()1( , )()1()( ,),1( , )( , )()( (1)( , )ffWfsWf taitCWT u sa sg sitCWT u sa g sstuusssP f uCWT u sa g sa gsP f u 解析小波变换归一化尺度谱为：考虑到的时频能量中心为则有：由上式可见在处取得最大值。n 。注意时频中心位置为处。的最大值位置出现在频平面上度谱在时的条件下，归一化的尺在的归一化尺度谱为：线性调频信号),(2)(14)2(41exp(4

48、14),()exp()(4422442221422222suauusaasusaasssuCWTiattff时频分析应用时频分析应用: 瞬时频率检测瞬时频率检测 瞬时频率瞬时频率解析信号可以分解成模和复相位的形式解析信号可以分解成模和复相位的形式: 瞬时频率定义为复相位的导数瞬时频率定义为复相位的导数: )()()(tiaetatf)()(ttn常用信号及其瞬时频率常用信号及其瞬时频率n单频正弦信号单频正弦信号0)(00)()()()()cos()()(00ttfetatfttatfatia的瞬时频率为：解析信号常用信号及其瞬时频率常用信号及其瞬时频率( (续续) )多分量信号多分量信号: 有

49、两个频率成分。不能揭示出原信号中含瞬时频率为：解析信号:2)()2cos()(coscos)(212212121tetatftatatftia可见可见: :含有多个频率分量的信号含有多个频率分量的信号( (多分量信号多分量信号) )的瞬时频率的瞬时频率 不能客观反映原始信号中的频率分布情况。不能客观反映原始信号中的频率分布情况。解决办法解决办法: :可以先通过短时傅里叶变换和小波变换分离不可以先通过短时傅里叶变换和小波变换分离不同频率成分同频率成分, ,然后再求瞬时频率。然后再求瞬时频率。n瞬时频率检测的两个应用瞬时频率检测的两个应用: :n 通信中的频率调制通信中的频率调制: :n 音频处理

50、中的加性声音模型音频处理中的加性声音模型: :);()(),(cos)(0tkmttatfKkKkkkkttatftf11)(cos)()()(?)(),(ttakk变化缓慢基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测n短时傅里叶脊短时傅里叶脊n小波脊小波脊短时傅里叶脊和小波脊用于瞬时频率检测理论基础：短时傅里叶脊和小波脊用于瞬时频率检测理论基础：1/2, , ,1 1( )2 2( )( / )( )()exp()( )( )cos ( ),( )exp( ( )( ( ( )( , )2( , )ss uss ug tg tsg t sgtg tui tf

51、ta ttsf ga uiuug suuu设为单位能量的定义在， 区间上的实偶函数。构造如下的三参数时频原子：则信号的短时傅里叶变换为：其中称为校正项。.)(2()()(:),(:. )(sup:, 1)()(:,)()(sup,)()(:. )( sup),(1 , 22/2, 22/2,1 ,)(2,2,1 ,usguauasthenuiftsthenuauasifuatasuauaswhereguasutsutaausaa?证明证明:dtutitgeutadttiutgtitaIIIdttiutgtititadttiutgttagfsutisssus)(exp)()(21)exp()()

52、(exp)(21)()()()exp()()(exp)()(exp(21)exp()()(cos)(,)(,其中：:)()(1的形式分别讨论）将内积结果展成 II)(sup)(),(2)()()(sup)(),(2)()()( ,2 ,2htttutuuthtttutauautaTaylorutuhutuh其中）（其中级数展开有：根据dtututitgttdtttiuitttguadtttiuittguaIuusss)()(exp()()(21)(2exp()(exp()()()(2exp()(exp()()()()( i2exp222）（从而：级数展开表示：附近用）在（和将Taylorutu

53、tuta)()2)(4)()( )(exp)(2)()()(exp)(:1)(),()(21)(2exp(2,2,1 ,-22aasuasuguuiuasIusgsdtuittgttttttiTaylor从而有：再考虑到其中级数展开有：根据级数进一步估算误差：展开成）将Taylortti)(2exp(32,12,223,22( )1( )exp( )( )1( )( )( )11( )( )( )( ).( )asasssa utg titudta usttg t dtsa uttg t dtttg t dta uss其中： ,1,2,2,1( )(),s( )()( )242( )1( )e

54、xp( )( )( ( )sup(00)I( )()( )exp ( ( )( )2aaassuIa us a uIgua utg titudta usg sugusIa uiuug su有：（ ）其中，又由于：假定且 （ ）故有： ,1,1,2,2( )( , )( , )sup2aaasuuug其中：)()(2122)()(10),(1)(1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,22/12/1uauasnsgsdttgtsdttgstnstgstgaaaaannnnnnsns的表达式有：和，再结合取有：易得对任意的再考虑到的上界：估算1 ,a的上界：和估算， 22,a整个命题得证。，则有：并假定再考

55、虑到有：考虑到，. )(sup)(sup)()(1211)()()(sup)(sup)()(sup, )(sup)(sup 22/ 22/2 2/2/ 22/2 2/2/tstsuauasuauasttuatasttsutsutsutstsutasutst短时傅里叶脊短时傅里叶脊：STFT Ridgesn根据上述的理论，再做如下的假设： (1) ( )( )( )(1,)a ttstgs 和在大小为 的区间上有较小的变化，(2)其中对则校正误差可以忽略，并有：22f, ,STFT u,( )( ), ( )( )s uuf guuuuu 对每个 短时谱（ ， ）在处取得最大。相应的时频平面上的

56、点（）称为脊点。 ( , )( )exp ( ( )( (0)( , )2( )u2( ,)( )(0)ffsSTFT ua uiuuguuSTFT uua us g在脊点处有：通过短时傅里叶脊可以测瞬时频率和瞬时振幅：脊点位置处的时间 频率关系可以给出瞬时频率：（ ）进而有瞬时振幅：多分量信号的短时傅里叶脊（多分量信号的短时傅里叶脊（STFT RidgesSTFT Ridges）suuuusguuuiusguasuuiusguasuSTFTttattatff)()(1)()(,)(exp()()(2)(exp()()(2),()()(cos)()(cos)()(21212221112211有

57、：任意的要能区分，必然要求对为：忽略校正项其短时傅里叶变换设有如下多分量信号：短时傅里叶脊用于瞬时频率检测中窗长的选择短时傅里叶脊用于瞬时频率检测中窗长的选择: :n 22/2/212( )(1) sup1sup( )1( )(2)( )( )kkt ust usks a tsta uuus 校正项小需满足的条件：且显然，窗需要越短越好。多分量信号要能区分开需满足的条件：显然，窗需要越长越好。解决办法：折衷(Tradeoff)22121222212( )cos()cos()s( )( )22( )( )21f tabtctabtttbtcbtcssusubscsb 窗长 的选择问题：由上要求可

58、见，当时可以找到合适的窗长 。窗长选择示例：窗长选择示例：n短时傅里叶脊是短时谱的局部极大值点。短时傅里叶脊是短时谱的局部极大值点。n短时傅里叶脊在变换允许的时频分辨率范围内可以短时傅里叶脊在变换允许的时频分辨率范围内可以描述信号的瞬时频率。描述信号的瞬时频率。n变换允许的分辨率由变换允许的分辨率由HeisenbergHeisenberg盒描述。盒描述。n对多分量信号对多分量信号, ,如果要用短时傅里叶脊来检测这两如果要用短时傅里叶脊来检测这两个信号的瞬时频率，则需满足如下条件：个信号的瞬时频率，则需满足如下条件： 短时傅里叶脊：短时傅里叶脊：STFT RidgesSTFT Ridges12(

59、 )( )uus此时才能用短时傅里叶变换把原始的两信号分离。小波脊：小波脊：Wavelet Ridgesn小波时频原子（三参数小波小波时频原子（三参数小波）：）：, , ,( )( )exp(),( )1( )()( )exp()( )()exp()u ss us utg ti tg ttutgti usstugtsgi tss 其中为的带宽将此小波进行平移和伸缩后有如下的时频原子：其中：（）n解析小波变换：解析小波变换： )exp(,),(,uigffsuCWTussuf,( )( )cos ( )( , )( )exp( )( ( ( )( , )2( , ).( , )( )( )( )

60、/ .fu sf ta ttsCWT u sa uiug suuuua ttus 信号的连续解析小波变换为：其中是误差项可以忽略的条件是：(1)和在的时间支撑区间上变化较小；(2)n小波脊小波脊:归一化尺度谱的极值点归一化尺度谱的极值点2222( , )1( )( )( 1)( , ) (/ )4( , )( )0( , )( )( ,( )ffsCWTu ssuau gusugCWTu susuu注：归一化尺度谱的极大值点：如果忽略，且假定在处取得最大值，则：在处取得最大值。称此时对应的点为小波脊。21( , )( , ):2( , )( )(0)( )( , )( , )fWswwwCWT