54知识讲解_抛物线的方程与性质_基础

1、抛物线的方程与性质抛物线的方程与性质【学习目标】【学习目标】1掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.3能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题.4. 进一步体会数形结合的思想方法.【要点梳理】【要点梳理】要点一、抛物线的定义要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点f和一条定直线l（l不经过点f）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点f叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线要点二、抛物线的标准方程要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导标准方程的推导如图，以过 f 且垂直于 l 的直线为 x 轴,垂足为 k.以 f,k的中点 o

2、为坐标原点建立直角坐标系xoy.设|kf|=p(p0)，那么焦点 f 的坐标为(pp,0)，准线 l 的方程为x .22设点 m（x,y）是抛物线上任意一点，点 m 到 l 的距离为 d.由抛物线的定义，抛物线就是集合p m | mf | d.| mf |(x (x p2p) y2,d | x |,22p2p) y2| x |.222将上式两边平方并化简，得y 2px(p 0).方程叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是(是x p,0)它的准线方程2p.2抛物线标准方程的四种形式：抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式y2

3、 2px，y2 2px，x2 2py，x2 2py(p 0)。要点诠释：要点诠释：只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上， 且开口方向与一次项的系数的正负一致， 比如抛物线x 20y的一次项为20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）2抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4 倍， 比如抛物线x 20y的一次项20y的系数为20，故其焦点坐标是(0,5)。一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线2y kx2k 0时开口向右k 0时开口向左k(,0)4k(0,)4kx 4ky 4x ky2k 0时开口向上k

4、 0时开口向下从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。 用待定系数法求抛物线的标准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型） ，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。要点三、抛物线的简单几何性质：要点三、抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程抛物线标准方程y 2px(p 0)的几何性质的几何性质范围：范围：x x 0，y yr，抛物线 y

5、2=2px（p0）在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点m 的坐标（x，y）的横坐标满足不等式 x0；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：对称性：关于 x 轴对称抛物线 y2=2px（p0）关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：顶点：坐标原点抛物线 y2=2px（p0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0） 。离心率：离心率：e 1.抛物线 y2=2px（p0）上的点m 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。抛物线的通径

6、抛物线的通径2通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。因为通过抛物线 y2=2px（p0）的焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 p, p，2 p,p，所以抛物线的通径长为 2p。这就是抛物线标准方程中 2p 的一种几何意义。另一方面，由通径2的定义我们还可以看出，p 刻画了抛物线开口的大小，p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄抛物线标准方程几何性质的对比抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程顶点范围对称轴焦点离心率准线方程焦半径要点诠释：要点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准

7、方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离； p0 恰恰说明定义中的焦点f 不在准线x0，yry2=2px（p0）y2=2px （p0） x2=2py（p0）x2=2py （p0）o（0，0）x0，yry0，xry0，xrx 轴y 轴 pf,02pf,02e=1p f0,2p f0,2pppy y 222pppp| mf | x0| mf | x0| mf | y0| mf | y02222x x p2l上这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典型例题】【典型例题】类型一：抛物线的定义类型一：抛物线

8、的定义例例 1.1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为 x 轴，求抛物线的方程。【解析】设 m（x，y）为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，得(x3) (y3) | y|2212x x3612所求抛物线的方程为y x x36两边平方，整理得y 【总结升华】当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方程 .举一反三：举一反三：【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点(-2，3)；【答案】：x2设4y3y299，y2 x；2p x 22x244，x2y。y33y2=2px，以(-2，3)代入，得设 x2=2py，以(-2，3)代入，得2p（2）焦点在直

9、线 3x-4y-12=0 上；【答案】：若焦点为（4，0） ，则 y2=16x若焦点为（0，-3） ，则 x2=-12y（3）准线过点(2，3)；【答案】：准线为 x=2，则 y2= -8x2准线为y=3，则x= -12y（4）焦点在y轴上，抛物线上一点m(m,3)到焦点的距离等于 5。【答案】：设抛物线方程为x2=-2py（p0） ，则点 m(m,-3)到准线的距离为 5，即p=4，x2=-8yp(3) 5，2（x3) y 1相外切，例例 2.2. 若动圆p与定圆c:且与直线l : x 2相切， 求动圆圆心p的轨迹方程.【解析】解法一：解法一：设p(x, y),动圆半径r，动圆与直线l切于点

10、n，圆心c(3,0)，则| pc | r 1,即| pc | pn |1依题意点p在直线l的左侧，故| pn | 2 x(x3) y (2 x)1.化简得y 12x,即为所求.解法二：解法二：设p(x, y),作l:x 3，过p作pn l于n，延长pn交l于n，依题意有| pc | pn |1, | pc | pn |1| pn|,22222由抛物线定义可知，p点轨迹是以o(0,0)为顶点，c(3,0)为焦点，l:x 3为准线的抛物线，故y 12x为所求.【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐

11、含条件，防止重、漏解。举一反三：举一反三：【变式 1】平面上动点 p 到定点 f（1，0）的距离比 p 到 y 轴的距离大 1，求动点 p 的轨迹方程。解法一：解法一：设 p 点的坐标为（x，y） ，则有(x1)2 y2| x|1，两边平方并化简得 y2=2x+2|x|。y 224x,0,x 0,x 0,即点 p 的轨迹方程为 y2=4x（x0）或 y=0（x0） 。解法二：解法二：由题意，动点 p 到定点 f（1，0）的距离比到 y 轴的距离大 1，由于点 f（1，0）到 y 轴的距离为 1，故当 x0 时，直线 y=0 上的点适合条件；当 x0 时，原命题等价于点p 到点 f（1，0）与到

12、直线 x=1 的距离相等，故点 p 在以 f 为焦点，x=1 为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4x。故所求动点 p 的轨迹方程为 y2=4x（x0）或 y=1（x0） 。【变式 2】若点 p 到定点 f（4，0）的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，求点 p 的轨迹方程。【答案】动点 p 的轨迹方程为 y2=16x类型二：抛物线的标准方程类型二：抛物线的标准方程例例 3 3已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点m( 3,2 3)，求它的标准方程。【解析】抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点m( 3,2 3)，可设它的标准方程为 x2=2py（p0

13、）。点 m 在抛物线上，2( 3) 2p(2 3)，即p 3。4因此所求方程是x 23y2【总结升华】求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向， 选择适当的方程形式，准确求出焦参数 p.举一反三：举一反三：【变式】求过点(3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：【答案】点(3,2)在第二象限，抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为y 2px（p 0） ，过点(3,2)，2 2p(3)，p 22422，y x，332当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为x 2py（p 0） ，过点(3,2)，3 2p2，p 2992，x y，422所求的抛

14、物线的方程为y 49x或x2y，3219对应的准线方程分别是x ，y 。38类型三：抛物线的几何性质类型三：抛物线的几何性质【高清课堂：【高清课堂：双曲线的方程 358821 例 1】12x的焦点坐标、准线方程；4（2）已知抛物线的焦点为f(0,2),写出其标准方程；例例 4. 4. （1）写出抛物线y （3）已知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.【解析】 （1）抛物线y 12，准线方程为x的标准方程为x2 4y，因为2p=4，所以焦点坐标为（0，1）4y 1.p=2， 所以p 4， 从而所求抛物线的标准方程为x2 8y.233

15、（3）由已知得p 3，所以所求抛物线标准方程为y2 6x，焦点坐标为( ,0)，准线方程为x .22p【总结升华】讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量p , 2p的 区别与联2（2） 因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上， 且系.举一反三：举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是y 6x，求它的焦点坐标和准线方程【答案】因为 p=3,所以焦点坐标是( ,0)准线方程是x 23232例例 5 5已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点m（m，3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线的方程和准线方程。【解析】解法一：解法一：因为顶点在原点，对称轴是y 轴，点 m（m，3）位于第三或第四象限故设抛物线方程为 x2=2py（p0），则焦点f(0,m（m，3）在抛物线上且|mf|=5，p)；2m2 6pp 4故，解得，p22m 2 6m (32) 5m 2 6，抛物线方程为 x2=8y，准线方程为 y=2。解法二：解法二：如图所示：设抛物方程为x2=2py（p0），则焦点f(0,p)，准线2l : y p，作 mnl，垂足为 n，2则|mn|=|mf|=5，而| mn |33p，