第二章向量范数与矩阵范数

1、第二章 线性方程组的敏度分析向量范数与矩阵范数线性方程组的敏度分析2.1 向量范数与矩阵范数12.1.1 向量范数向量范数定义2.1.1 一个从Rn到R的非负函数叫做Rn上的向量范数。如果它满足：（1）正定性：对,nR x有0,x而且00,xx（2）齐次性：对有.xx（3）三角不等式：对有.x+ yyx注：性质（2）（3）可以合并为：对,nRR x, ynR x和,R,nRx y.xyyxp-范数(又称为Hlder范数)112,1pppppnpxxxx其中p=1,2, 是最常用的.即112122222121maxnnkk nxxxxxxx xxx分别称为1-范数、2-范数和-范数（或一致范数）

2、。很显然，单位向量的p-范数都等于1。例1 试求向量Tx)3 , 2, 1 ( 的三种常用p-范数。解：11222221236;31214;312max ,3.312 xxx例2 若x,y是线性相关且222xyyx证明：既然x,y是线性相关且222222() ()2 =.TTTTxyxyx xy yx yxyyyxx0,Tx y 0,Tx y 则有则x,y的夹角为0。故22Tx yyx于是例例3 向量范数是定义在Rn上的连续实函数. 证明证明 由范数的定义性质可知:,xy+ yxyyxyxyxyyxxxyx1111max()nnnkkkkkkkkkk nkkkxyxyxy eeexy而其中ek

3、是单位向量.(1,2, ).kkxy knxy于是lim.xy yx又因定理定理1 1 设设 和和 是定义在是定义在Rn上的两个范数上的两个范数, ,则存在正数则存在正数C C1 1和和C C2 2, ,使对使对nR x12.CCxxx(即任两范数都等价.)证明:令单位球面集合|1,nSRxxx都是定义在Rn上的连续函数.故在有界闭集合S上必取得最小值C1和最小值C2,即对一切非0向量x有12CCxxxx即12.CCxxx证毕由于,向量范数p-范数的等价关系:21221,.nnnxxxxxxxxx定理2 设( ),knRx则( )lim0kkxx的充分必要条件是( )lim0,1,2, .ki

4、ikinxx证明: 由定理1知:存在正数C1和C2使( )( )( )12kkkCCxxxxxx必要性必要性.设对0,0,K 当kK时,有( )1.kCxx从而( )( )( )11max/.kkkiii nCxx xxxx充分性充分性. 设对0,0,K 当kK时,有( )2/.kCxx从而( )( )2.kkCxxxx,nR x都有2.1.2 矩阵范数定义2 非负函数:,n nRR叫做n nR上的矩阵范数矩阵范数,如果(1)正定性: 对,n nR A0,A有且0.A0A(2)齐次性: 对,n nR A,R和有.AA(3)三角不等式: 对,n nRA B有.ABAB(4)相容性: 对,n nR

5、A B有.ABA B事实上,n nR是一个n2的线性空间.这是因为,如果令,1,.Ti jiji jnEe e则,n ni jaRA都可表示为,11.nni ji jijaAE因此: (1) 任意两个矩阵范数都是等价的; (2) 矩阵序列的范数收敛等价于其元素收敛.即当( )( ),kn nki jRaA( )( ),lim0lim, ,1, .kki ji jkkaai jnAA,n nnMVVRRAxAxxA则称矩阵范数 和向量范数 是相容相容的。 MVMV定义3 若矩阵范数 和向量范数 满足定理3 设是Rn上的一个向量范数。则非负函数1max,n nRxAAxA是定义在Rnn上的一个矩阵

6、范数。由该定义给出的矩阵范数也称为从属于向量范数从属于向量范数的矩阵范数的矩阵范数，也称为由向量范数诱导出的算子范数算子范数。 显然，单位矩阵的算子范数等于1。矩阵的p-范数即是由向量p-范数诱导出的算子范数：1max,pn nppRxAAxA定理4 矩阵的p范数有如下计算公式：,11111,11112maxmaxmaxmaxmax,()().ni jjj nj ninTi jii ni njTTaa AeAA eAA AA AA矩阵1-范数亦称为列范数矩阵-范数亦称为行范数矩阵2-范数亦称为谱范数例2 计算下列矩阵的三种p范数022023002G解 1max0,4,77;Gmax4,5,25

7、;G20002597,det, ()0822513220217TTTG GIG GG G2259717.42434.1743.2G定义定义4 设,n nAC则称()( )maxAA为A的谱半径。这里( ) A表示A的谱集谱集（即A的特征值全体）定理 6 设,n nAC则有（1）对C nn上的任意矩阵范数，有( );AA（2）对给定的 0 ,存在C nn上一个算子范数,使得( ).AA定理 7 设,n nAC则lim( )1.kkA0A定理 8 设n nC是上的一个矩阵范数,且1,I假定1,An nAC满足则I-A可逆,且有11.()1IAA2.2 线性方程组的敏度分析问题提出: 设 x 满足非

8、奇异线性方程组,.n nnRRAxb Abx +x 满足线性扰动方程组()(),.n nnRRAA xxbbAb其中, A 称为矩阵A的扰动,b称为向量b的扰动.问题1: A ,b 和x 的关系是怎样的? A 和b 大小对x 的影响是怎样的? 问题2: 决定这种影响的原因是什么?在以下的讨论中,假定A 和A +A 是非奇异的. 即原方程组和扰动方程组的解 x 和 x +x 都是唯一存在的. 问题1: A ,b 和x 的关系是怎样的? A 和b 大小对x 的影响是怎样的? 扰动方程组可写成AxA xAbbxx代入,Axb得A xAbxx整理,得 1111 xAAbAxAbAxIAA两边取范数得1

9、111111 1 1xbA xAIAAAbA xAAAbA xAA问题2: 决定这种影响的原因是什么?111AxbA xAA已得出两边除以x11 1bAAAbAAA111bA xxAxxxAA111bA xAAxxAAAA11 1bAAAAbAAAA 大小直接影响解的相对误差1AA定理2.2.1 设.是Rnn上的一个满足条件I=1的矩阵范数.并假设ARnn非奇异, bRn非零;再假定A Rnn满足 A-1A1.若 x 和 x+ x 分别是线性方程组Axb和bbAAxx的解,则( ),1( )AAbxAbAxAA其中1( ).AAA当AA较小时,有( )( )1( )AAAAA,从而有( ).A

10、bxAbAx定义定义1 1 称数 为线性方程组 的条件数条件数.1( )AAAAxb由定理1知，条件数在一定程度上刻划了扰动方程组解的影响程度。当条件数很大时，就说方程组是病态病态的；反之，称方程组是良态良态的。条件数是用矩阵范数定义的。使用不同的范数，对应的条件数的大小可能有所区别，但条件数“大”或“小”的本质是不会变的。常用的条件数有：1111( ),AAA1( ).AAA1222( ),AAA显然212221121( )( )( ),1( )( )( ),1( )( )( ).AAnAnAAnAnAAnAn例5 求2阶矩阵2.00021.99981.99982.0002A条件数( )A解

11、 1222.00021.999811.99982.00022.00021.99982.00021.999810000 1.99982.000216A因为所以有1( )4250010000.AAA111()( ).1( )AAAAAAAAAA证明111111()()AAAIAAAA A11111111()() () ()AAAAAIAA AIAAAAA11111()( )11( )AAAAAAAAAAAAAA11,AAn nR推论2.2.1 设是上的一个满足条件1I的矩阵范数,设n nAR非奇异.而且n nAR满足则A +A 也是非奇异的,且有定理2.2.2 设n nAR非奇异的,则21222211min:,( )AAAAAAA奇异即在谱范数下,一个矩阵的条件的倒数恰好等于该矩阵与全体奇异矩阵所成集合的相对距离.证明 只需证明2121min: AAAA奇异即可. 由于1221A