判断线性系统习题

1、1判断线性系统如果)()(),()(2211nxTnynxTny有)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT则系统为线性系统。)(nx)(nyT 例1. 判断下列系统是否为线性系统。5)(3)()();()()();()()();()()(22nxnydnxnycnxnybnnxnya解：(a)()(),()()()()(222111nxTnnxnynxTnnxnynnxny）)()()()()()()()(2211221122112211nxTanxTanyanyannxannxanxanxaT故为线性系统。操作：乘 n（b)()(),()()()()(222212112

2、nxTnxnynxTnxnynxny）)()()()()()()()(221122112222112211nxTanxTanyanyanxanxanxanxaT故为线性系统。操作：2nn )()(),()()()()(222212112nxTnxnynxTnxnynxny）)()(2)()()()()()(212122222121222112211nxnxaanxanxanxanxanxanxaT故不是线性系统。操作：平方。(c)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT可见：)()()()(2222112211nxanxanxTanxTa(d)。加即，系统操作为乘）53)(

3、5)(3(),(5)(3)(5)(3)(222111nxTnxnynxTnxnynxny5)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT故不是线性系统。)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT可见：22211122115)(35)(3)()(anxaanxanxTanxTa 如果 有 ，则系统为移（时）不变系统)()(nynxT)()(mnymnxT二. 判断移不变系统.例2 判断系统 是否是移不变系统。其中a和b均为常数bnaxny)()(解：)()()()()()(mnybmnaxmnxTnybnaxnxT故为移不变系统。例3 判断系统 是否是移不变系

4、统。)1 . 02sin()()(nnxny解：)1 . 02sin()()()()1 . 02sin()()(系统操作nmnxmnxTnynnxnxT故不是移不变系统。又：1 . 0)(2sin)()(函数操作mnmnxmny显然)()(mnymnxT);1()()()();()()(nxnxnybnnxnya例4. 判断下列系统是否为移不变系统。解：系统操作)()()()()(mnnxmnxTnynnxnxT故不是移不变系统。又：函数操作)()()(mnxmnmny显然)()(mnymnxT（a）) 1()()()() 1()()() 1()()(mnxmnxmnxTnynxnxnxTnx

5、nxny故是移不变系统。又：) 1()()(mnxmnxmny显然)()(mnymnxT（b)一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这完全由边界条件决定。例如：差分方程（c) 边界条件 时，既不是线性的也不是移不变的。三. 判断线性移不变系统.)() 1()(nxnayny（a) 边界条件 时，是线性的但不是移不变的。0)0(y（b) 边界条件 时，是线性移不变的。0) 1(y1)0(y的情况）解：（0) 1(yb)()(1nnx令1)0() 1()0(11ayyaayy) 1 ()0() 1 (11211)2() 1 ()2(aayy.nannayny)() 1()(11所以：)

6、()(1nuanyn)() 1()(nxnayny) 1()(2nnx又令0) 1() 1()0(22ayy则：.所以：) 1()(12nuanyn1)0()0() 1 (22ayyaayy) 1 () 1 ()2(22122) 1() 1()(nannayny可见 是移一位的关系， 亦是移一位的关系。因此是移不变系统。)()(21nxnx)()(21nyny)()()()()(111nxTnuanynnxn由上述分析可知：)() 1()() 1()(2122nxTnuanynnxn) 1()()(3nnnx又令：代入差分方程，得：1) 10()0() 1()0(33ayy1)0() 1 ()

7、0() 1 (33aayyaaayy233) 1 ()2() 1 ()2(2333)2() 3()2() 3(aaayy.13)(nnaany所以：)()()()()(2113nxnxTnuanuanynn)()()()()(21213nxTnxTnynyny因此为线性系统。（c）的证明见教科书例1-19(p.32)四. 判断因果系统。 如果一个系统的某个时刻的输出，只决定于某个时刻的输入和过去的输入，与未来的输入没有关系，换言之，因果系统的输出不能领先于输入，亦即其输出不能无中生有，故称之为因果。即 则有0, 0)(nnnx0, 0)(nnny且)(),.1(),()(knxnxnxfny（b）由于 领先于 ，故为非因果系统。 例5 判断下列系统是否为因果系统。)2()()()(nxnxnya) 1()() 1()(nxnxnyb)()()(kxnycnk)()()(nxnyd（a) 为因果系统，由定义