数列极限的几种计算方

1、数列极限的几种计算方法10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的 重要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线，它描述了变量在运动过程中的变化趋势， 是从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的必备推理工具.同时，数列极限 又是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例， 对数列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结 .二计算方法1定义法设4、为数列，a为任一常数，若对任给的；0,总存在N>0,使得当n>N时, 有a. -a vj则称数列a.收敛于a,或称数列la

2、j以为极限a .注1 一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限 值的相关证明，对于如何用数列极限定义证明数列极限问题，常用的基本方法有：适当放大法，条件放大法.例题1用定义法证明数列极限lim字 3Fn -3分析由于3n2n2 -33-39n -3 .n(1)因此，对任给的:0,只要9 < ；,便有n耗-3"即当9：；时,左边的式子成立.又由于（1）式是在n_3的条件下成立的，故应取n9N =max3,-.9 证明 任给；0,取N二max3,9.根据分析，当n N时3n1 2n2 -33 v名成立.于是此题得证.2利用数列极限的四则运算法则计算数列极限设极

3、限lim an与lim bn均存在，则n11ntoo(1) lim an 二 bn = lim an 二 lim bn;n* nnsc(2) lim anbn 二 lim an lim bn;n11 F n 11 n-c 11(3) lim can = clim an;nf nCan<bn(4)limn厂lim an 亠 J(limbn HO)；lim bn in :注2数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况，而不能推广到无限个数列或不定个数的数列上去例题2求极限2n25n - 6lim 厂 n n2 3n 4分析 1由于n； :,所以有0，n1-2 > 0.于是给分子分母同

4、时除以nn2，再利用数列极限四则运算法计算即可=nim：2nnn 5n -6 lim 厂 nr n 3n 41 12 56 nn.( 1 1 ) lim 2+5汇一6x 2 n n / =71Olim 11+3 汉丄+4 汉 n y Jnn j3利用数列的一些特征计算数列极限注3此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算出数列极限方法只适用于 些特殊的数列，不具有一般性.111 1 "例题3计算极限lim +.nY(1汉2 2汉3 3汉4(n 1)汇n丿f n 1、1分析观察数列，可以看出数列极限为lim送一'，通项a=1y 严(i W(n 1)x n1 1 1由 1，所以括

5、号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极(n -1) n n -1 n限.lim'丄+丄+nTc J x 22 31n(=lim i1 一1 丄一1f223n-1= lim=1.n n4利用夹逼准则计算数列极限设lim an,lim bn均存在，且im an = A,”m bn = A，若数列c.满足ajMn乞bn，则有”吓=A.注4利用夹逼准则求极限的关键是：将原数列适当地放大和缩小，使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等，则原数列的极限值存在且等于新数列的极限值例题4计算数列极限分析括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关键是找到极限值相等的数

6、列an与bn,进而可以用夹逼准则来计算数列极限.1 1 1_ + _ + . +2+ 2Jn 2+ 3Jn « n j且 lim 二 lim 二 1,n2 nn_j:1计n1limlim ,n2 n1n21二 1.根据夹逼准则，有5利用 单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a) 如果数列an单调增加且有上界，即存在数M,使得an乞M n =1,2.那么lim an存在且不大于M.n丿：(b) 如果数列an单调递减且下界，即存在数m,使得an _ m n =1,2，那么lim an存un i-在且不小于m.注5递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而单调有界准则”是判别递

7、推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给 数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.例题5计算数列极限为=一 2, x2 = 2亠2 ,xn 2 xn,求lim xn'n j:分析(1)通过观察可以看出x<: X2Xn,即数列xn单调增加；(2)X1：2,X2厂匚：一厂2=2，,Xn=$2xn:= 2,即数列Xn有上界.所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设lim xa，然后计算出常数a即为数列极限.解由单调有界准则知，数列极限存在，设lim人=a,n_c所以给等式两边取极限得lim xn = lim 2 xn二,n 厂n 也即 a2 a,解出a

8、 =2或a =1.又由于Xn0,所以取a =2.,证明数列&,厲收、 1 1 1Yn例题 6 设 X1 =2, Y1,XnXnYn,-敛，且有相同的极限.分析 因数列Xn与数列 Yn之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等.1 1解 */ Xn0, Yn0 一二Yn2 I Xn4Ynd 丿又；Xn=、Xn-1 Yn 4 J冷1人二Xn数列仇单调递减，且有0 ： X.：为二1f 1 ”<1F 1+ 1 IlXn4Yn J 丿2lYnJYnJ丿YnJ.数列yn单调增加,M 11Yn2且有'Y1 "：

9、Yn，21于是 2 = Y<： g Yn ”： Xn：X1 h.所以数列Xn单调递减有下界，数列 Yn单调增加有上界；由单调有界准则知两个数列的极限均存在.设 lim Xn =a,lim yn =b.n 厂n5:于是有aab,mb,求出a = b.即两个数列有相等的极限6利用多项式型极限性质求得数列极限多项式型极限：aok丄k4a°n+ + an +ak . ao .Iim 匚口，k=l.i gn 亦 亠 亠b/n b 0:,k I例题7求极限lim 3 _n 8n_scn2解 由上面的性质可知此题的极限属于k = I型所以lim 3n-=3.7利用数列与子列的关系计算数列极限

10、定理 若数列xn收敛于a，则它的任何子列Xnk也收敛于a ,即 lim xn =a= lim xn a.nni k注6此定理经常被用来判断一个数列的发散，即若数列有两个子列极限 不相等，则 数列必定发散.例题8证明数列sin匸发散.4证明 取入二4k, m=8k 2.则子列xn收敛于0,而子列人严收敛于1， 所以 由上面定理及注意的可知数列sin 发散.48利用柯西收敛原理计算数列极限定义 数列xn，若对任意给的;0,存在N>0,使得当n,m>N时，成立Xn - 绻 £,则称数列:Xn 是一个基本数列.柯西收敛原理 数列:Xn 收敛的充分必要条件是：数列:Xn /是基本数

11、列.例题9证明数列& =型邺警.啤，n_1收敛.2 2 2 2证明- ；.0, NO对- n, p.0,当n_N时，有Xn 井 一 xn=sin( n 1) sin(n 2) sin(n p) 2n122n P1 22n 1 2n 2P2n p11所以，取N =log2()，则由数列；收敛的柯西准则知，z数列Cxn 是收敛的.9利用压缩性条件计算数列极限定理数列%!满足条件：Xn* -X兰 k 人人丄，0 V k V1, n = 2,3，则数列:Xn 收敛.1 1例题10已知数列a1 =2® =2，a3 =2 十，证明数列务极限存在，并求22 +丄2此极限.15解 由假设知a

12、n彳=2 ,且an - 2,易证2 _ an - -,于是an2an 一 an2 +丄 _(2 + 丄)=an an anananan -4 an ,即数列an满足压缩性条件，所以数列极限存在.假设极限为I，即，则由递推公式得i=2+|，解之，得到l .2或l -2(舍去)，所以lim an、2 .n_ic10利用两个重要极限计算数列极限(a)sinxlim1.x少xn(b)二 e.注7使用此种方法，关键是将数列经过变形化成必要的形式，而且此种方法使用的很普遍，特别是第二个极限要着重掌握并灵活运用例题11求极限lim x xs in .xsin丄，立刻想到用重要极限，但是首先要对原式进行变x分

13、析由于原式中出现形，得到我们需要的形式，再进行求解.sin兀 丿JT解 lim . x sin = lim _I旳XT处JxX因为 _ 0 x-:Jx利用重要极限得JI sin 原式=limx =0.XT叫/x兀x例题8求极限nm1 1 Xx解(nm1n 12n "1分析 利用重要极限，关键是要极限符合1 :型.=e.11应用函数极限与数列极限关系求极限函数极限与数列极限关系是若 lim f (x) = A ,则 lim 焉=lim f (n) = A.(1 1 丫例题9求数列极限lim 1 + + .f n n2 丿分析 这是数列极限，利用函数极限与数列极限的关系，要先得找到数列所

14、对应 的函数，再求函数极限，进而得到数列极限解 数列极限对应的函数极限为lim 1 4，对1 1 4，用公式a eblnaX X 丿I X X 丿得X X而 limln 1 1 丄=1xx x X2于是lim 11nn12利用等价无穷小替换法求极限注8应用这个关系可以用求函数极限的方法求某些函数的极限，其关键是找相 应的函数.常见的一些等价无穷小量：当x > 0时，1 2 sin x x, tan x x,arcsin x x,arctan x x,1 -cosx x ,2ln(1 x) x,eX -1 x, ： x -1 xln ： ,(1 x)" ： x定理 设函数f,g,

15、h在uo（xo）上有定义，且有f ( x) g(x)(x> ox ).(1) 若 lim f (x)h(x) = A,则 lim g(x)h(x) = A;(2) 若 lim 卫凶=B,则 lim 兰= B;Tof(x)7g(x)1 1 sin (1 - cos)例题10求极限limn_sc于是 lim sin x(1-进而limn5 :例题11求极限lim0tan x - sin x3sin x分析 先将数列极限转换成函数极限，然后再利用上面的等价变换sin x x,1 - cosx - x2 求解.2解 令原极限中的3n特别的 在利用等价无穷小量代换求极限时，只有对所求极限式中相乘或

16、相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代 =x，则数列极限所对应的函数极限为lim sinx（1；COsx）2x x 沁=lim具=丄，x x32sin (1 - cos) nn分析 对这道题，如果用当X" 0时，si nxx,ta nxx,则会得到错误的结果0.1解事实上当x >0时，(tan-sinx)2x3所以limx 0tanx - sin xsinx 3二 limX013利用定积分定义求数列极限应用定积分定义求数列的极限就是把数列的通项看作是某个连续函数在某个区间上的积分和，然后通过计算定积分的值来求解数列的极限.关键是利用lim

17、丄、f丄n'' n i410 f x dx.例题12设an".11 1 1 1+ + + . + -2 丄 c22 丄 c22n 2 n 3n2 ,求极限lim a nnn11 1 1分析于是利用定积分定可将数列化为 务=丄+ +'n 1+丄 1+(2)2 1+C)2innn 丿义，在区间0,11中加入n个分点，将区间分割成n等分，令O = X1 ：X2 ：Xn =1,且i1x-，其中区间长度 乜=丄；然后数列an求极限就是黎曼和求极限，而黎曼和求 nn极限就是用到定积分定义，所以可将极限转换成定积分进行计算.1 1 n I2 . 2 2 n 1 n 212r

18、r、1111n1+ +.+n11 + 1 2 < n2 21+()2nn 21+()2n丿11+(丄)2< nJnn令f x = 2，由分析可得1 X2111 d01 X2Xnman m二f xi xi=1兀= arcta nx =一.0414利用泰勒展式求解数列极限下面是一些常用函数的泰勒展式：23nx X * x xx / 、1.e =1+xrn(x),2!3!n!n 1 / e%rn(x):(n 十1)!(0,1).35x x 2.sin x = x - 3!5!2n 3x2n 1n x、r2n 2 (x), 2n 1 !r2n 2(x)sin(rx(0,1).(2n +3

19、J2242n3.cosx=1x x1 n r2n ,x),2!4!'(2n)!恥"2n 2xr2n 1 (x)cosCxn 1：),=(0,1).(2 n+2J1234n n4.1 -x x-x x-1 xrn(x),1 xn*皿円廿二,二(0,1).其中，上面的rn(x)是泰勒余项且lim rn(x) =0.x2例题 13 求 limcosx exTx4分析 这是0型的极限，可以用洛必达法则计算0，但是计算量非常大；用泰勒展式可以大大减小计算量，不易出错，计算方便.解利用泰勒公式limx )0cosx e24f1 -Ho(x4) -1 I -2!4!二 limx02 x4

20、x丄2!l 2 丿2+ o(x4)144112x o(x )124x15利用级数理论和级数收敛的必要条件求数列极限qQ级数收敛的必要条件：若级数un收敛，则lim un二0. n#F应用这个结论求某些数列的极限方法是把给定的数列通项看作是某个级数的通 项，然后用级数的敛散性判别法，判定该级数收敛，此时数列的极限必为零级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个数列，有时为求方便可将数列 极限看做某个级数的部分和，这样可以使得计算更加简捷，更高效的得出结果例题 14 求 lim 1-.n+2 n+3 2n 丿分析 我们知道形如an =1 -ln n的数列极限值是欧拉常数，有23 nlim ac（

21、 c是欧拉常数）.所以此题可以利用这一结论进行计算.n_:1 1 1 1解 l i m nF（ n+1n+2n+3 2n 丿=lim In 2n -In n '令 a2n - ；n -ann .由分析可知上式=lim 11卜卜1 一 IV - 1 - nYfl2 32n.丿 12 3 门丄an：“，：n是当n时的无穷小量=lim ln 2n Un a2nMn n 亠 nn .=lim ln 2 a?nn 5:=ln2.16用Stolz定理求解数列极限Stolz定理：设数列xn与数列yn，数列yn是单调增加的正无穷大量，且lim xn1 Xn =l（ l可以是有限量，二，与-：）， n

22、厂 yn 1 ynXn lim =l. n_- yn证明 首先考虑l =0的情况.x x由 lim 亠 n =0,可知-；.0, N, 0, - n N,: n 厂 yn 1-ynXn Xn 名Wn - yn_L）由于数列yn是正无穷大量,显然 可以要求yN,0,于是Xn - xn, xn 人二 +Xn Xn_2 + ' + xn1 XN,:;（yn 一 yn）；（yn）一 yn） ；（yn 一 yn）亠 亠：（y叫 i 一 y） = ；（yn 一 y叫），因为X,Xn - Xn,% - yN 知 . + Ynyn - YnYnYn'固定N,，又可以取到N >汕,可n&g

23、t; N : < z,从而yn - Yn,YnXn -Xn,Yn Yn,Yn - Yn,Yn当a是非零有限数时，令Xn =Xn -ayn,于是FFXn XnXn - 人 /limlima 二 0.n厂Yn Yn“厂Yn 一 Yn从而由lim $=0,得到n性ynXnXlim 一 = lim a 二 a. ynnC yn对于a "a的情况，首先N , 一 n N :Xn Xn4* Yn 一 Yn于是Xn也单调增加，且从Xn - Xn Yn - Yn可知Xn是正无穷大量.将前面的结论应用到Yn，得到Xnlim一血nn二 limn厂Yn - Yn 4Xn Xn/因而对于a - _：的

24、情况，证明方法和上面的类同例题15a12a2 3a3 亠亠 nan设lim an = a,求极限lim2解 令 Xn = a! 2a2 3a3 亠亠 na, y* = n，由.Xn limn厂yn Xn J.- yn=lim -n 52nq / 2（n 门nana-limn- 2n -12，于是得到a1 - 2a2 3a3 v nan例题16求极限limn l :kk k “r, k123 - nnk+1（k为自然数）.解令 Xn -1k 2k3kn k,ynlimnyn yndnkk +-n"=nm（k+1）nk -C2+nk4 +得到1k +2k limn > -3knkk

25、+1n例题17利用Stolz定理，证明2 2 2 2135(2 n 1)4limzn 厂n33证明令 Xn =12 32 5(2n 1)2,yn 二 n3,由2Xn -焉(2n1)limlim 3324n 4n 124n +4n +1 =lim 厂j 3n 3n 1n 厂 yn 一 ynn 厂 n n 1=lim22n 厂(n n 1)nn(n -1) (n -1)特别地，(1)在s阮定理中'若帆y”_二，不能得出的结论.=n ,limn 厂 yn 1 -ynn十n= lim(j)(nH1"n_ j:n - n -1但是 lim$=-1n=1,( n = 2k +1 ),即极

26、限lim 不存在.F ynxn 1- xn(2)在Stolz定理中若limFyn 十一 yn不存在，不能得出lim冷不存在的结论F yn如取 xn =1-2 3-4 (-1)njn,ynnn -1不存在，但是Xn 1 - Xn-1n I I1 n2 2 n - n _1limlimi yn 1 yn n -lim 如二 lim 1一2 3一4 2(1)宀诃即 lim 鱼 7n八 yn1 八nn yn17利用Stiring公式求极限Stiring 公式：12n,0"肿1.例题181 11 FI2 3n丿丿3 n 1 nexp n -解 xn 二. n2n23 2 4一 I 一 I 12

27、3. nTexpi n 丨+丄+耸+丄】5 I 23 n丿丿nW+1) 色、牙7n e面彳11 -n、2 二11n1-.n卫e面111 -lnne 2 3 nnG于是lim=矩论弋卞）.其中c为欧拉常数.nm打al i丿18利用无穷小量与无穷大量的关系求解极限(1) 1若 lim f (x)二：，则 lim0.f (x)(2)1 若 lim f (x) =0 且 f(x) = O，贝U lim f (x)例题19求下列极限(1)1 lim 2 nr ： n1(2) lim - T X 1:,故lim 丄=0 .n1(1)由 lim n2nSC(2)由 lim(x -1) = 0 ,故 lim-

28、='19变量替换法求解极限2 -1例题20求极限nm厂但是可注意到分析 当n，-时，分子分母都趋于,不能直接用法则4n =22 ： i2n ,所以作变量替换可以求解.lim =4n _1 n2 一 1 ,. 1l i m n丨 i-m2厂 22-1 r 2n -1令 t = 2n ,贝q 原式=lim 41lim ： 10 .Ft2-1Ylt+1 丿20利用拉格朗日中值定理求解极限定理 若函数f(x)满足下面条件：(1)函数f (x)在闭区间a,b上连续；x -sin x(2)函数f(x)在开区间(a,b)内可导；上式可变形为：徑二 f (a =(b a),(0 ：1). b -a则 在(a,b)内至少存在一点，使得f)= f(b)f (a) b a例题21求解极限limx sin x e e解 令f (x) =e lim x "0 a 1 ; (5)im.a 0 a 0 ; (6) lim xa ln x = 0 a 0 ;，应用拉格朗日中值定理ex -esin% = f (x) - f (sin x)二