高二数学双曲线复习

1、双曲线知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距说明：双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同当|MF1|MF2|2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）

2、建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的. 以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）设|F1F2|2c（c0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（c，0），F2（c，0）（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：PM|MF1MF2|2a. （3）代数方程（4）化简方程（其中c2a2+b2）3、两种双曲线性质的比较焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线几何条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离

3、）标准方程1（a>0，b>0）1（a>0，b>0）图形范围|x|a|y|a对称性x轴，y轴，原点顶点坐标（±a，0）（0，±a）实轴虚轴x轴，实轴长2ay轴，虚轴长2by轴，实轴长2ax轴，虚轴长2b焦点坐标（±c，0）c（0，±c）c离心率e， e >1渐近线y±xy±x与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线共轭的双曲线为等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为重难点突破1.注意定义中“陷阱”问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支 ，

4、的轨迹是双曲线的右支.其方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为 点拨：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴

5、、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCPOxy依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】1.设P为双

6、曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B。2.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，选C3. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A）（B）（C）（D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知， 题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组解析

7、 解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析 抛物线的焦点为，设双曲线方

8、程为，双曲线方程为6.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x > 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围例3 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决解析(方法1)由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为(方法2) ，双曲线上存在一点P使，等价于 (方法3)设，由焦半径公式得，的最大值为【名师指引】（1）解

9、法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键【新题导练】7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 解析当时，当时，或8. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）A B2 C或2 D不存在解析设双曲线的左准线与x轴交于点D,则，题型2 与渐近线有关的问题例4若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟

10、通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程【新题导练】9. 双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D. 解析选C10.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B基础巩固训练1. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 （A） （B） （C） （D）解析椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A 2.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的方

11、程是（）A B C D 解析由 和得，选A3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为( ) A B C D解析 ，选D4.设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为( C )A B1C2D不确定解析 C. 设，5.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A). (B). (C). (D).解析 ，选B6.曲线与曲线的（ ）A焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对解析 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程的曲线为

12、焦点在y轴的双曲线，故选A综合提高训练7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程 解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，双曲线的方程为8.已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;解析,.的一条渐进线方程为 ，又 由得9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得