高二上期末知识点归纳

1、基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)【变形】：（当a = b时，）【注意】： ，2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”*.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：（，）； 最值定理（积定和最小），若积，则当时和有最小值；（和定积最大），若和，则当是积有最大值.集合与简易逻辑一集合的有关概念1集合定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。表示方法列举法：将集合

2、中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如a,b,c描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P=xP(x).图示法：用文氏图表示题中不同的集合。分类：有限集、无限集、空集。性质 确定性：必居其一， 互异性：不写1，1，2，3而是1，2，3，集合中元素互不相同， 无序性：1，2，3=3，2，12常用数集 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集（或N+） 有理数集Q3元素与集合的关系：4集合与集合的关系：子集：若对任意都有或对任意都有 则A是B的子集。 记作： 真子集：若，且存在，则A是B的真子集。 记作：B或“” AB，BC AC空集：不含任何元素的集合，用表示，对任何集合A有，若则A

3、 注：5子集的个数：若，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n -1个和2n -2个。二集合的运算1有关概念交集： 并集：全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示。补集：三含有绝对值不等式1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离）2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（2）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（3）不等式同解变形原理：即，3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不

4、等式的形式。四一元二次不等式1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系。2、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。3、解一元二次不等式的步骤：(1)将不等式化为标准形式或 (2)解方程(3)据二次函数的图象写出二次不等式的解集。4、简单分式不等式的解法 5、简单的高次不等式的解法：用数轴标根法解。五、逻辑联结词与四种命题（一）逻辑联结词四种命题1命题：可以判断真假的语句叫做命题2逻辑联结词：“或（）”、“且（）”、“非（）”这些词叫做逻辑联结词。或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非

5、：对一个命题的否定3简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。4表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s来表示简单的命题，复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p”5真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。pq非pP或qP且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假（二）四种命题1一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式为：互逆原命题若p则q逆命题若q则p否命题若则逆否命题若则互 为为互 否逆逆 否互否互否互 逆原命题：若p则q（）

6、逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p2四种命题的关系：3一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。（4）逆命题为真，否命题一定为真。（三）几点说明1逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，2对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论3真值表 P或q：“一真为真”， P且q：“一假为假”4互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。六、充

7、要条件（一）充分条件、必要条件和充要条件1充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。2必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。3充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。（二）充要条件的判断1若成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。2若且BA，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。3若成立则A、B互为充要条件。证明A是B的充要条件，分两步：（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；（2）必要性：把B当作已知条件，结合

8、命题的前提条件推出A。(三)给定两个命题，p、q, 可以考虑集合A=xx满足p,B=xx满足q,则有1 若AB，则p 是q的充分条件。2 若AB，则p 是q的必要条件。3 若A=B，则p 是q的充要条件。 记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。圆锥曲线的方程与性质【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2

9、）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1三、椭圆的性质（以为例）1、对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，。 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 因为，所以的取值范

10、围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。5、椭圆的第二定义： 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0e1）的点的轨迹为椭圆（）。焦点在x轴上：（ab0）准线方程：焦点在y轴上：（ab0）准线方程：6、椭圆的内外部（1）点在椭圆的内部 （2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长=离心率

11、准线方程【双曲线】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫

12、做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（，其中|=2c）三、双曲线的性质四、 弦长公式若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。【抛物线】一、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。2、 抛物线的性质图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点（0,0）离心率焦点三、相关定义1、弦长公式：2、焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+， (2)，p2(3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p圆锥曲线的性质对比椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距

13、离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a.点集：MMF1-MF2.=±2a, F2F22a.点集：MMF=点M到直线的距离.图形方程标准方程(>0)(a>0,b>0)范围a£x£a，b£y£b|x| ³ a，yÎRx³0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a