文科圆锥曲线专题练习及问题详解

1、文科圆锥曲线1.设F1F2是椭圆2E：Xa2b21(a b 0)的左、右焦点,P为直线x3a上一占I*八 '、：2F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()1 2(A) 2(B) 3(C)【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思【解析】 F2PF1是底角为30°的等腰三角形，-PF2A 60° , |PF2| | F1F2| 2c , |AF2|=c ,(D) 16x的准线交于 代B两点,2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在 x轴上，C与抛物线y2AB4 3 ；则C的实轴长为()(A) .2(B) 2、2(C)(D)【命题意图

2、】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为：x 4，设等轴双曲线方程为：X2 y2 a2，将x 4代入等轴双曲线方程解得 y =16 a2 ,T | AB | = 4.3，二 2.16 a2 = 4.3，解得 a =2 , C的实轴长为4，故选C.2 23已知双曲线C1 :笃爲1(a 0,b 0)的离心率为2.若抛物线C2：x2 2py(p 0)的焦点到双曲线G的渐近线的距a b离为2，则抛物线C2的方程为(A) x2(B) x216 322(C) x 8y (D) x 16y考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a, b , c

3、的关系可知b 3a，此题应注意C2的焦点在y轴上，即(0, p/2 )至煩线y.3x的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。4.椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为2 x212 x2y (A)(B)116121282222xy1xy ,(C)(D)184124【命题意图】 本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c，从而得到椭圆的方程。2【解析】因为2c 4 c 2，由一条准线方程为 x4可得该椭圆的焦点在 x轴上县4a2 4c 8，所c以b2 a2 c2 8 4 4。故选答案C5已知Fi、

4、F2为双曲线C:x2 y2 2的左、右焦点，点 P在C上，|PFi| 2| PF2 |，则cos FfF?1 334（A） 一（ B） -（C） （ D）-4545【命题意图】 本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。 首先运用定义得到两个焦 半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知,a 近 b, c 2，设 |PFi| 2x,|PF2| x，则 |PF| |PF>| x 2a 22，故|PF1| 4 2,| PF2 | 2 2，F1F2 4，利用余弦定理可得cos F| PF2PF12 PF22 F1F222PF1 PF2(42)

5、2 (2 2)2 422 22 4,26.如图，中心均为原点 0的双曲线与椭圆有公共焦点，M , N是双曲线的两顶点。 若M ,0, N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2 C. 3 D. 2【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系【解析】设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为2a，由M，O, N将椭圆长轴四等分，则 2a 2 2a，即a 2a， cc ea又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为 e ， e ，2 .aa e a7已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点0，并且经过点 M（2, y。）。

6、若点M到该抛物线焦点的距离为 3，则 |OM |（ ）A、2 2B、2、3C、4D、2、5解析设抛物线方程为y2=2px（p>0）,则焦点坐标为（,0），准线方程为x=pM在抛物线上，M到焦点的距离等于到准 线的距离，即（2-p）2 y （2 p）23 2 2解得：p 1, yo 2 2点M（2,.2），根据两点距离公式 有：|OM | 22 （2 2）2 2 3点评本题旨在考查抛物线的定义：|MF|=d,（M 为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离）.8.对于常数m、n，mn0 ”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的（A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必

7、要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】方程mx22ny的曲线表示椭圆，常数常数m,n的取值为0,0,所以，由mn 0得不到程n,mx2 ny21的曲线表示椭圆,因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn 0，【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数m, n的取值情况属于中档题.2 29.椭圆 务 告 1（a b 0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1, F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, a b则此椭圆的离心率为 A. 14B于C. D忌2【解析】本题着重考查等比中项的性质，以

8、及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：AF1a c，F1F22c，F1Bac.又已知AF1，F1F2 ，2 2 2F1B成等比数列，故（a c）（a c） （2c），即a c222 c4c，则 a 5c .故 e - a.即椭圆的离心率为【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关a, c的方程，然后化为有关 a,c的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e的方程,从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴， 短轴长及其标准方程的求解等2 210.已知双曲线C务-£ =1的焦距为

9、10，点P （ 2,1 ）在C的渐近线上，则 C的方程为a b2A. x202-y =152B.52 y202 2=1 C. x - y =180 202D. x202-；0=1【解析】设双曲线C :2x r - a2y =1 孑1的半焦距为c,则 2c10,c 5.又QC的渐近线为yb -x点P(2,1 )在C的渐近线上，1b-g?，即 a 2ba22a又c2a2b2 ,a2 . 5；b. 5x,C的方程为-y =1.205【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型2x11.已知双曲线a2y-=i5的右焦点为3,0 ），则

10、该双曲线的离心率等于3 .1414分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率e C即可。a23解答：根据焦点坐标（3,0）知c 3，由双曲线的简单几何性质知a2 5 9，所以a 2，因此e - 故选C.2二、填空题2 212.椭圆 笃 1（a为定值，且a 5）的的左焦点为F，直线x m与椭圆相交于点 A、B， FAB的周长的 a 52最大值是12，则该椭圆的离心率是。【答案】一，322C 2解析根据椭圆定义知：4a=12,得a=3 , 又 a c 5 c 2, ea 3点评本题考查对椭圆概念的掌握程度 突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念2 2 _13.）在平面直角坐标系 xOy

11、中，若双曲线 冷1的离心率为.5，则m的值为 .【答案】2。m m 42 2 _ 【解析】 由21 得 a= m, b=.m24, c= . m m24。m m 4c Jm m24-e= _ =.a . m4m 4=0，解得 m=2。14右图是抛物线形拱桥，当水面在I时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），设丨与抛物线的交点为 A B，根据题意，知 A（ -2，-2），B（ 2，-2 ）.设抛物线的解析式为 y2ax则有2 a 2 2抛物线的解析式为y水位下降1米，则y-3，此时有x 6或x , 6 .此时

12、水面宽为2.6 米.15.设P为直线y x与双曲线3a1（a 0,b 0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e【答案】:v = x梵 a* F i 川h232工二J fy4 又咼垂盲于工轴，所以型口二匸则住匚吐凤耳4V = Dv 4【考点罡位】璋题考查了収曲线的煌点“离心率，考查了两臬直线垂直的条件，考查了右程 思想.2x16.已知双曲线C1 :2a2丫71（a 0,b0）与双曲线 C2 :b22y161有相同的渐近线，且Ci的右焦点为F（5,0）,则 a【解析】双曲线的2 2 1渐近线为y 2x，而笃16a22 y b21的渐近线为bx ,aK所以有-a2 , b

13、2a ,又双曲线2y1的右焦点为（-5,0），所以c又c2b2a2 4a225a ,所以a21, a1,b1'J8亠J*1'1 *1jf f *V/,错误!未找到引用三、解答题17.已知椭圆错误 味找到引用源。（a>b>0 ），点P （错误!未找到引用源。源。）在椭圆上。（I）求椭圆的离心率。（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若 Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ的斜率的值。【解析】(I)点Pa,?a)在椭圆上2e2 1 £ 3a2812 12-aa2521222a ba(n )设 Q(a cos , bsin )(0);则 A(a,O)

14、AQAO2a (1 cos)2b2 sin223cos 16cos 5cos直线OQ的斜率kOQ a cos18.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 G :0)的左焦点为F, 1,0)，且点P(0,1)在G上.(1)求椭圆G的方程;(2)设直线I同时与椭圆 G和抛物线C2 :4x相切，求直线【答案】【解析】(1 )因为椭圆C1的左焦点为F1( 1,0)，所以c 1，点P(0,1)代入椭圆2 2 1a2 古 1，得孑 1, 即b 1,所以a2 b2 c2x22所以椭圆C1的方程为y221.(2)直线I的斜率显然存在，设直线I的方程为y kx2x 2彳y 12' ，消去y并整理得y kx

15、 m(12、 22k )x24kmx 2m 2因为直线l与椭圆&相切，所以2 216k2m24(12 22k2)(2m22) 0，整理得2k m 10y2 4x ，消去y并整理得y kx m2(2 km4)x因为直线l与抛物线C2相切，所以(2 km4)22 24k m 0，整理得km 1综合，解得k所以直线l的方程为y匸2x或y2x -.2。219.【2102高考北京文19】(本小题共14分)已知椭圆C:2X2 +a2y2 =1 ( a> b > 0) b2的一个顶点为 A (2,0)，离心率为 ,直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同2的两点M,N(I)求椭圆的方程()当

16、厶AMN的面积为二10时，求3k的值【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。解：(1 )由题意得a2解得b - 2 .所以椭圆C的方程为a22. 22a b cy(2 )由 X2k(x2y21)2 2 2 2得(1 2k )x 4k x 2k 40.1设点 M,N 的坐标分别为(X1,yj ,(X2,y2)，则 y1 k(x1 1), yk(X21), X1 X24 k21 2k2，2k2 41 2k2所以 |MN|=(X2 X1)2 (y2 %)2=、(1 k2)(X1 X2)2 4

17、曲2=2、(1 k2)(4 6k2)1 2 k2_|k| 11 | k| J4 6k所以 AMN的面积为S |MN | d厂2 1 2k2由因为点A(2,0)到直线y k(X 1)的距离d1 2k2103，解得k 1.20.【2012高考湖南文21】(本小题满分13分)在直角坐标系xOy 中,已知中心在原点，离心率为-的椭圆2E的一个焦点为圆C: X2+y 2-4x+2=0的圆心(I)求椭圆E的方程【答案】【解析】(I)由x2y2 4x 20,得(x 2)2 y 2.故圆C的圆心为点(2,0),从而可设椭圆E的方程为2再1(a b 0),其焦距为2c，由题设知bc 2,e-a2c 4,b2a2

18、 c212.故椭圆E的方程为:2 2x y16 121.21.【2012高考陕西文20】(本小题满分13分)2已知椭圆G :y41，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率。(1 )求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点，点 A，B分别在椭圆G和C?上,uuuOBuuu2OA，求直线AB的方程。2X- 142y【解析】(I)由已知可设椭圆 C2的方程为 a其离心率为4，故7上，则a2 2y x故椭圆C2的方程为1671.(n)解法一： A, B两点的坐标分别为xa, yA , xb,yB ，y轴上,因此可设直线AB的方程为ykx .又由解得2x 2kx代入 y42 2kx代入164muuuu 2AB 2OA , 得 xB解法二:由AB1中,1中,24xA，即1，故直线AB的方程为A, B两点的坐标分别为2OA 及（I）知，