数值积分与数值微分

1、数值积分数值积分与数值微分与数值微分1 1 引引 言言一、数值积分的必要性一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分本章主要讨论如下形式的一元函数积分badxxffI)()( )( )( )( )baI ff x dxF bF a在微积分里，按在微积分里，按Newton-Leibniz公式公式求定积分求定积分 f x F x F x f x实际问题实际问题2 sinf xx这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数0 x 48x dxxdxxfL48024802)(cos1)(1 Whats the Original function?!Its so complex that w

2、e can not get it.类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数:2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx3222xx)322ln(21693216332412222xxxxxx f x f xx1423454.5688.5原来通过原函数来原来通过原函数来计算积分有它的局计算积分有它的局限性。那限性。那怎么办呢？怎么办呢？呵呵呵呵这就需要积这就需要积分的数值方法来帮分的数值方法来帮忙啦。忙啦。二、数值积分的基本思想二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义、定积分的几何意义badxxffI)()(abxyo f

3、x2、数值积分的理论依据、数值积分的理论依据 f x依据依据积分中值定理积分中值定理, 对于连续函数对于连续函数 ,在在 内存在一点内存在一点 ,使得使得, a b)()()()(fabdxxffIba称称 为为 在区间在区间 上的平均高度上的平均高度. f, a b ?f f x3、求积公式的构造、求积公式的构造 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：可得一点求积公式如下：左矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：右矩形公式： Iff aba 2abIffba Iff bbaxyOab f x

4、f a左矩形公式：左矩形公式： Iff abaxyOab f x2abf2ab中矩形公式：中矩形公式： 2abIffbaxyOab f x f b右矩形公式：右矩形公式： Iff bba 若取若取 两点，并令两点，并令 ，则可得梯形，则可得梯形公式（两点求积公式）公式（两点求积公式）, a b 2f af bf 2f af bIfbaxyOab f x f a f b则可得则可得Simpson公式公式(三点求积公式三点求积公式), ,2aba b c 46f af cf bf 若取三点，若取三点， 并令并令 46f af cf bIfba 一般地一般地 ，取区间，取区间 内内 个点个点, a

5、b1n ,0,1,2,.,ixin ,0,1,.,if xin f处的高度处的高度通过通过加权平均加权平均的方法近似地得出平均高度的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为这类求积方法称为机械求积机械求积:)()()(0ibaniixfabdxxf 或写成或写成: :数值积分公式数值积分公式求积系数求积系数 求积节点求积节点 )()(0kbankkxfAdxxf记记0( )()nnkkkIfA f x0( )( )( )( )(),nbnkkakR fI fIff x dxA f x称称为数值为数值求积公式求积公式称为求积公称为求积公式余项式余项(误误差差).（1）（2）构造或确定一个求积公式，

6、要解决的问题包括构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:(i) 确定求积系数确定求积系数 和求积节点和求积节点 kAkx；(iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析求积公式的误差估计和收敛性分析.(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准；确定衡量求积公式好坏的标准； 称求积公式称求积公式 具有具有m次代数精度次代数精度,如如果它满足如下两个条件果它满足如下两个条件:定义：定义： 0( )()nnkkkIfA f x(i) 对所有次数对所有次数m次的多项式次的多项式 ,有有)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR(ii)存在存在m+1次多项式次多项式 ,使得使得)(1xPm0)()()(111

7、mnmmPIPIPR三、求积公式的代数精度三、求积公式的代数精度上述定义中的条件上述定义中的条件(i),(ii)等价于等价于:1( )()0miiR x( )()()()0,(0)kkkniR xI xIxkm注：梯形公式与中矩形公式都只具有注：梯形公式与中矩形公式都只具有1次代数精度。次代数精度。一般的，一般的，若要使求积公式（若要使求积公式（1 1）具有）具有m m次代数精度，则只要次代数精度，则只要使求积公式对使求积公式对f (x) = 1，x，x2，, xm 都准确成立，即都准确成立，即02201101211nkknkkknmmmkkkAbaA xbaA xbam2 2 插值型求积公式

8、插值型求积公式一、定义一、定义在积分区间在积分区间 上，上， ,a b取取 个节点个节点1n,0,1,2,.,ix in作作 的的 次代数插值多项式次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）（拉格朗日插值公式）: f xnnjjjnxfxlxL0)()()(则有则有)()()(xRxLxfnn其中，其中，)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn为插值余项。为插值余项。10( )()nnjjwxxx于是有：于是有：0( )( )( )( )()( )bbbnnaaanbbjjnaajf x dxL x dxR x dxlx dx f xR x dx 取取0( )()( )nbbjjaajf x

9、dxf xlx dxAk0()()nbijaijiijxxAdxxx由由 节点节点 决定，决定，与与 无关。无关。 f x称为称为插值插值型求积公型求积公式式二、截断误差与代数精度二、截断误差与代数精度1、截断误差、截断误差0(1)0()( )()( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxkakR ff x dxA f xf xLxdxfxxdxn2、代数精度、代数精度0( )nkkkA f x( )bkkaAl x dx推论推论 求积系数求积系数 满足满足:0nkkAba 形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精次代数精度度 该该公式为公式为插值型插值型（即：（即

10、： ）定理定理kA3 Newton-Cotes3 Newton-Cotes公式公式一、一、Cotes系数系数取取节点为节点为等距分布等距分布：,0,1,.,ib axa ih hinn 由此构造的插值型求积公式称为由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式公式,此此时时求积系数：求积系数：0()()nxjixj iijxxAdxxx令令htax 00()()( 1)()()!()!n innijj itj hbah dttj dtij hn i niCotes系数系数( ) niC二、二、Newton-Cotes公式公式1、定义：、定义：记记( )00,( 1)()!()!n i

11、nnnikk iCtkdti ni n则则( )(),0,1,2,niiAba Cin求积公式变为求积公式变为( )0( )()( )nbniiaif x dxbaCf x称上式为称上式为n阶阶闭型闭型Newton-Cotes求积公式。求积公式。( )00,( 1)()!()!n innnikk iCtkdti ni n注意注意:由式由式确定的确定的Cotes系数只与系数只与 和和 有关有关,in 与与 和积分区间和积分区间 f x, a b无关，无关， 且且满足满足: ()021nnkkC 1nnknkCC2、截断误差、截断误差Newton-Cotes公式的误差为公式的误差为:),(,)()

12、()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnban与与x有关有关3、代数精度、代数精度作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，具有具有 次代数精度，次代数精度，n阶阶Newton-Cotes公式至少公式至少n而实际的代数精度是否可以进一步而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？提高呢？定理定理当阶数当阶数 为偶数时为偶数时,nNewton-Cotes公式公式至少至少具有具有次代数精度。次代数精度。1n 证明证明:只需验证当只需验证当 为偶数时为偶数时,Newton-Cotes公式对公式对的余项为零。的余项为零。n 1nf xx由于由于 ,所以所

13、以 1nf xx 11 !nfxn即得即得 nnjndtjthfR002)()(引进变换引进变换 ,因为因为 为偶数为偶数,故故 为整数为整数,2ntu2nn于是有于是有 2202)2()(nnnjndujnuhfR据此可断定据此可断定 ,因为上述被积函数是个奇函数因为上述被积函数是个奇函数. 0R f4、数值稳定性、数值稳定性现在讨论现在讨论舍入误差舍入误差对计算结果产生的影响对计算结果产生的影响.设用公式设用公式 njjnjnxfCabfI0)()()()(近似计算积分近似计算积分badxxffI)()(时时, 其中计算函数值其中计算函数值 有误差有误差则在则在 的计算中的计算中,由由 引

14、起的误差为引起的误差为jf x0,1,2,.jjn没有误差没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑中间计算过程中的舍入误差也不考虑, njC计算计算( )nIfj，而，而njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()()()()()(如果如果 都是正数都是正数,并设并设 njC0max|jj n 则有则有)(|)(|0)(abCabenjnjn故故 是有界的是有界的,nejba7n n njC即由即由 引起的误差受到控制引起的误差受到控制,的的 倍倍,不超过不超过保证了保证了数值计算的稳定性数值计算的稳定性。将出现将出现负数负数,而当而当 时时,njnj

15、C0)(|将随将随 增大增大,因而因而不能保证数值稳定性不能保证数值稳定性.故高阶公式不宜采用故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种有实用价值的仅仅是几种低阶的求低阶的求积公式积公式.三、几种常用的低阶求积公式三、几种常用的低阶求积公式(1)(1)0111,22CCn = 1:( ) ( )( )2bab af x dxf af b梯形公式梯形公式() ()()2!bxafR fxa x b dx/* 令令 x = a+th, h = b a, 用中用中值定理值定理 */31( ), , ,121bah fa bh 代数精度代数精度 = 1n = 2:(2)(2)(2)012121,636

16、CCC2( ) ( ) 4 ()( )6ba bab af x dxf aff bSimpson 公式公式代数精度代数精度 = 35(4)1 ( ) ,( , ) ,902baR fh fa bh n = 4: Cotes 公式公式 7(6)8( )945R fh f 01234( )7 ()32 ( ) 12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf x代数精度代数精度 = 5,4kbaxakh h这里这里四、复化求积公式四、复化求积公式 高次插值有高次插值有Runge 现象，怎么办？现象，怎么办？可采用分段低次插值来解决可采用分段低次插值来解决高阶高阶New

17、ton-Cotes公式会出现公式会出现数值不稳定数值不稳定。而而低阶低阶Newton-Cotes公式公式有时又不能满足精度要求有时又不能满足精度要求，怎么办？，怎么办？可将积分区间可将积分区间 分成若干小分成若干小区间，在每个小区间上用区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。低阶求积公式计算，然后求和。, a b 复化梯形公式：复化梯形公式：,(0,., )ibahxaihinn在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1iixx111( ) ( )(),0,.,12iixiiiixxxf x dxf xf xin11( )2()( )2nkihf af xf b110( ) (

18、)()2nbiiaihf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12niniiifhhR ffbanhba fa b /*中值定理中值定理*/ 复化梯形公式积分法复化梯形公式积分法 复化复化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk)()(4)(6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4fhabfR 复化复化Simpson公式积分法公式积分法 复化复化 Cotes公式：公

19、式：,(0,., )kbahxak hknn)(7)(32)(12)(32)(790)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk101)(7)(32)(12)(32)(790)(432141nkkkkkkbaxfxfxfxfxfhdxxf= Cn),(, )(4945)(2)6(6bafhabfR 收敛速度与误差估计：收敛速度与误差估计：定义：定义：若一个积分公式的误差满足若一个积分公式的误差满足 ，0limphR fCh 且且 ，则，则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。0C 246() ,() ,()nnnTO hSO hCO h例例:利用数据表利用数据表

20、kxkf x01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464计算积分计算积分1*2041Idxx解：解：这个问题有明显的答案这个问题有明显的答案*104arctg |3.1415926.Ix取取n = 8用复化梯形公用复化梯形公式式 1872432852212832412812)0(21818fffffffffT= 3.138988494取取n=4 用辛卜生公式用辛卜生公式 1874432854212834412814)0(61414fffffffffS= 3.141592502运算量基运算量基

21、本相同本相同复化梯形公式的误差估计复化梯形公式的误差估计给定精度给定精度 ，如何取，如何取 ?n例如：要求例如：要求 ，如何判断，如何判断 n = ？ |nTI1、误差先验估计式、误差先验估计式)()(12)()(2fabhfTfIfRn 2max( )a x bMfx 记记则则 222)(12)()(12Mabhfabh)()(122 fabhfR ?21()12nkkhfh 22( )( )( )1212bahhfx dxf bf a 上例中若要求上例中若要求 ，则，则6| 10nI T226| |(1)(0)|10126nhhR fff0.00244949h 即：取即：取 n = 409

22、通常采取将区间通常采取将区间不断对分不断对分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 时，时，T512 = 3.14159202S4 = 3.141592502注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时2211 ( )( ) 1224nnhRff bf aR f214nnITIT)(141)(31222nnnnnTTTTTI可用来判断迭代可用来判断迭代是否停止。是否停止。2、误差后验估计式、误差后验估计式复化复化Simpson公式的误差估计公式的误差估计1、误差先验估计式、误差先验估计式2、误差后验估计式、误差后验估计式)(2180)4(4fhabSIfRn4(

23、3)(3)1( )( )1802hfbfa )(141)(1512222nnnnnSSSSSI复化复化Cotes公式的误差估计公式的误差估计1、误差先验估计式、误差先验估计式),(, )(4945)(2)6(6bafhabCIfRn2、误差后验估计式、误差后验估计式6(5)(5)2( )( )9454hfbfa )(141)(6312322nnnnnCCCCCI四、龙贝格积分四、龙贝格积分例例:计算计算21410 xdx若取若取 = 10 6 ，则利用复化求积公式进行计算时，须将区间对分则利用复化求积公式进行计算时，须将区间对分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202考察考察

24、412 nnTITI若由若由 来计算来计算 I 效果是否好些？效果是否好些？224414 133nnnnTTITT844133TT= 3.141592502 = S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 求积求积公式公式 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T 理查德森理查德森外推法外推法利用利用低低阶公式产生阶公式产生高高精度

25、的结果。精度的结果。由由Taylor展开得到：展开得到： i 与与 h 无关无关现将现将 对分，得：对分，得：h0h 0Th 230123.ThIhhh230123.2222hhhhTI设对于某一设对于某一 ， 有公式有公式 近似计算某一未知值近似计算某一未知值 。I如何将公式精度由如何将公式精度由 提高到提高到 ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：230021122( )( )( ).21hTT hT hIhh34212( ).T hIhh211222( )( )21hTT h1212( ).mmmThIhh1122( )( )21mhmmmTTh O h2O

26、h计算步骤：计算步骤：1取取 ，计算，计算0hba00( )( )2hTf af b2对对k = 1, 2, 计算下列各步计算下列各步12( )(1)00001121222kkkkkihiTTfah3收敛控制收敛控制(0)(0)1kkTT(0)(0)1(0)kkkTTT若若或或则输出积分值则输出积分值 ，否则转否则转2 2。 )0(kTNewton-Cotes公式采用公式采用等距节点作为求积节点代等距节点作为求积节点代数精度至多可达到数精度至多可达到 。（ 为偶数）为偶数）1nn那么，在节点个数一定的情那么，在节点个数一定的情况下，是否可以在况下，是否可以在 上自上自由选择节点的位置，使求积由

27、选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高公式的精度提得更高 ？, a b例例 ：求形如求形如100111( )()( )f x dxA f xA f x的两点求积公式。的两点求积公式。 （1）用梯形公式（即以用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1为节点的插值型为节点的插值型 求积公式）立即可得求积公式）立即可得 。11( )( 1)(1)f x dxff只具有只具有1 次代数次代数精确度！精确度！（2）若对求积公式中的四个待定系数若对求积公式中的四个待定系数A0, A1, x0, x1适当选取，适当选取，使求积公式对使求积公式对f (x) = 1，x，x2，x3都准确成立，则都准确成立，

28、则0101,A A x x需满足如下方程组：需满足如下方程组：0122001 12233001 13344001 1121314AAbaA xAxbaA xAxbaA xAxbaxyo f x11AB0 x1x五、高斯型积分五、高斯型积分0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x具有具有2n+1次代数精度的插值型求积公式次代数精度的插值型求积公式节点称为节点称为Gauss 点点称为称为Gauss 型求积公式。型求积公式。注：注：Gauss型求积公式型求积公式是代数精度最高的是代数精度最高的插值型求积公式插值型求积公式 . 事实上，对于插值型求积公式事实上，对于插值型求积公式0(

29、 ) ( )()nbkkakx f x dxA f x其代数精度最高可达到其代数精度最高可达到2n+1次次(Gauss型求积公式型求积公式）。）。考虑考虑2n+2次多项式次多项式 ，10( )()nnjjwxxx21( )nwx其中，其中，21( )( )0bnax wx dx210()0nknkkA wx而而故故22110( )( )()nbnknkakx wx dxA wx高斯型求积公式的构造高斯型求积公式的构造将节点将节点 以及系数以及系数 都作为待定系数。都作为待定系数。0.nxx0.nAA并令求积公式对并令求积公式对 精确成立精确成立 2211, ,.,nf xx xx可得非线性方程

30、组可得非线性方程组1、待定系数法、待定系数法0220212222012122nkknkkknnnnkkkAbaA xbaA xban求解该方程组即可得求解该方程组即可得相应的求积节点与求相应的求积节点与求积系数。积系数。例：例：求求 的的 2 点点 Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：解：设设 ，应有，应有 3 次代数精度。次代数精度。 101100)()()(xfAxfAdxxfx令上述公式对令上述公式对f (x) = 1, x, x2, x3 精确成立可得精确成立可得 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02

31、899. 08212. 01010 AAxx不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。定理：定理： x0 xn 为为 Gauss 点点 与任意次数与任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 P (x) （带权）正交（带权）正交。nkkxxxw0)()(证明：证明： “” x0 xn 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数的次数不大于不大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立：nkkkmk

32、bamxwxPAdxxwxPx0)()()()()(= 00 求求 Gauss 点点 求求w(x)2、正交多项式法、正交多项式法不大于不大于 的多项式的多项式 精确成立，即证明：精确成立，即证明：“”要证明要证明 为为 Gauss 点，点， 即要证公式对任意次数即要证公式对任意次数设设)()()()(xrxqxwxPmbababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()(0nkkkxrA0)(nkkmkxPA0)( nkkmkbamxPAdxxPx0)()()(0,.,nxx21n mPx 正交多项式族正交多项式族 0, 1, , n, 有性质：任意次数不大有性质：任意次

33、数不大于于n 的多项式的多项式 P(x) 必与必与 n+1 正交。正交。若取若取 w(x) 为其中的为其中的 n+1，则，则 n+1的根的根就是就是 Gauss 点。点。53 a0)(10 dxaxx0),(10 1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910 cb即：即：22105( )921xxxStep 1：构造正交多项式构造正交多项式 2设设cbxxxaxxx 2210)(,)(, 1)( 再解上例：再解上例： 101100)()()(xfAxfAdxxfxStep 2：求求 2 = 0 的的 2 个根，即为个根，即为 Gauss 点点

34、 x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入代入 f (x) = 1, x 以求解以求解 A0 ，A1解解线性线性方程组，方程组，简单。简单。结果与前一方法相同：结果与前一方法相同：2776. 0,3891. 0,2899. 0,8212. 01010 AAxx 利用此公式计算利用此公式计算 的值的值 10dxexx2555. 1 10dxexx2899. 08212. 0102776. 03891. 010eeeAeAxx 注：注：构造正交多项式也可以利用构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推拟合中介绍过的递推式进行。式进行。 几种常用的几种常用

35、的Gauss型型求积公式：求积公式： Gauss-Legendre 求积公式：求积公式：1)( x 定义在定义在 1, 1上，上，21( )(1)2!kkkkkdPxxkdx满足：满足：2210(,)klkklP PklxPP 10, 1 ，递推公式：，递推公式：11(1)(21)kkkkPkxPkP其中，求积节点为其中，求积节点为 Pn+1 的根（求积系数通过解线性方程组的根（求积系数通过解线性方程组得到）。得到）。Legendre多项式：多项式：110( )()nkkkf x dxA f xGauss-Legendre 公式：公式：区间区间a,b上的上的Gauss-Legendre 公式：

36、公式：110( )222222bankkkbababaf x dxftdtbababaAft其中，其中， 为为 n+1次次Legendre多项式多项式Pn+1 的根。的根。kt Gauss-Chebyshev 求积公式：求积公式：211)(xx 定义在定义在 1, 1上，上，) arccos( cos)(xkxTk Tn+1 的根为：的根为： 2212cosnkxkk = 0, , n以此为节点构造公式以此为节点构造公式12100( )()()11nnkkkkkf xdxA f xf xnx称为称为 Gauss-Chebyshev 公式公式。注意到积分端点注意到积分端点 1 可能是积分可能是积

37、分的的奇点奇点，用普通，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。公式可能避免此问题的发生。Chebyshev多项式：多项式：(3) Gauss-Hermite 求积公式：求积公式：以以n+1次次Hermite 多项式的零点多项式的零点为求积节点构造的公式为求积节点构造的公式20( )()nxkkkef x dxA f x称为称为 Gauss-Hermite 求积公式求积公式。Hermite 多项式：多项式：222( )( 1)(),(,)(0,1, 2,),( )nnxxnnxdHxeexdxnxe (4) Gauss- Laguerre 求积公式：求积公式：以以n+1次次Laguerre 多项式的零点多项式的零点为求积节点构造的公式为求积节点构造的公式00( )()nxkkkef x dxA f x称为称为 Gauss- Laguerre 求积公式求积公式。Laguerre多项式：多项式：( )(),0,(0,1, 2,),( )nxnxnnxdL xex exdxnxe（5）第二类第二类Gauss-Chebyshev求积公式：求积公式：以以Un+1 的零点作的零点作为求积节点构造的