第一章、4第四节、函数的极限

1、第四节第四节 函数的极限函数的极限 一、函数极限的定义一、函数极限的定义 二、函数极限的性质二、函数极限的性质 三、小结三、小结 练习题练习题 从数列极限到函数极限的过渡从数列极限到函数极限的过渡 数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn Nnnnx limanfn )(lim 当自变量当自变量 n 取正整数无限增大时，函数取正整数无限增大时，函数 f (n) 无限无限接近常数接近常数 a 对于一般函数对于一般函数 y = f (x) ，自变量的变化过程除上，自变量的变化过程除上述情形外，还有以下几种变化过程：述情形外，还有以下几种变化过程：1. 取正实数而无限增大。取正实数而无限增大。 记

2、为记为 x称为称为 x 趋于正无穷大。趋于正无穷大。一、函数极限的定义一、函数极限的定义 axnnlim., 0, 0 axNnNn恒有恒有时时使使 对于一般函数对于一般函数 y = f (x) ，自变量的变化过程除上，自变量的变化过程除上述情形外，还有以下几种变化过程：述情形外，还有以下几种变化过程：1. 取正实数而无限增大。取正实数而无限增大。 记为记为 x称为称为 x 趋于正无穷大。趋于正无穷大。2. 取负实数而无限减小。取负实数而无限减小。 记为记为 x称为称为 x 趋于负无穷大。趋于负无穷大。3. 取实数而同时趋于正、负无限增大取实数而同时趋于正、负无限增大 ( |x| 无限增大）无

3、限增大）记为记为 x称为称为 x 趋于无穷大。趋于无穷大。4. 取实数而趋于某个有限值取实数而趋于某个有限值记为记为0 xx .0 x.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数

4、的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自

5、变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限;0)(0)(任意小任意小表示表示 xfxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,|无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.) .(的

6、过程的过程表示表示类似于类似于 nNn定定义义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim 只要在数列极限定义中，将只要在数列极限定义中，将 n 换为换为 | x | ，N 换为换为 X 即为上述定义即为上述定义1。 :.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形:Axfx)(lim:1定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定定义义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axf

7、x)(lim)(xfy 3、几何解释、几何解释: A AX X图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当)(,xfyXxXx A.2,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线 Ay xAxfx )(limxxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故)(,)(lim:xfycycxfx 是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义,|0sin| xx要要,|1 x只要只要,1| x即即.的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线例例2. 0)21(l

8、im xx证明证明证证xx)21(0)21( x 2, 0 ,2lnln X取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0)21( x.0)21(limxx故,|0)21( | x要要,2 x只要只要,ln2ln x即即,2lnln x),1( 设设xay xay)1( ) 1( a注意：注意：xx)21(lim xx 2limxx2lim 不存在。不存在。;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 2 2、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限定义定义 恒

9、有恒有时时使当使当,0, 0, 00 xx Axfxx)(lim0 Axf)(2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo,0邻域时邻域时的去心的去心在在当当 xx注意注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,小的正数均可比后找到一个并非唯一从图象上看一般说来，一般说来， 越小，越小， 也越小。也越小。图形完全落在图形完全落在函数函数)(xfy ,为中心线为中心线以直线以直线Ay .2 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 定义定义 Axfxx)(lim0恒有恒有时时使当使当,0, 0

10、, 00 xx Axf)(例例1. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给,| 1| x只只要要,10时时当当 x函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx, 取取例例2.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明证证0)(xxAxf , 0 任给任给,|00 xxx只只要要00 xxxx ,)( Axf要使要使00|xxx ,|00 xxx 即即,0 x 取取,|00时时当当 xx,0 xx就有就有.lim00 xxxx ？在上述极限过程中，要保证在上述极限过程中，要

11、保证 x 0。,0时时而而当当 x |00 xx不能保证不能保证 x 0问题：问题：例例2.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明证证0)(xxAxf , 0 任给任给,|00 xxx只只要要00 xxxx ,)( Axf要使要使00|xxx ,|00 xxx 即即0 x00|xxx x0 x002x,min00 xx 取取,|00时时当当 xx,|)(0 xxAxf有有问题：如何保证问题：如何保证 x 0 ?.lim00 xxxx （1）用定义证明）用定义证明Axfxx )(lim0的关键步骤的关键步骤将将 | f (x) A | 适当化简，变形或放大，使之出现适当化简，变形或放大

12、，使之出现下面的形式：下面的形式： axxkAxf|)(0再从中解出再从中解出,10kxxa 然后取然后取.1ka （2）有时为了同时保证几个不等式成立，）有时为了同时保证几个不等式成立， 常常常常要在几个常数中取最小者。要在几个常数中取最小者。例例3.4lim:22 xx证明证明证证4)(2 xAxf, 0 任给任给,2|2| xx 只只要要)2( )2( xx,)( Axf要使要使,2 x 取取,|2|0时时当当 x,42 x就就有有.4lim20 xxx？ 的选取仅与的选取仅与 有关有关，与自变量与自变量 x 无关无关。问题：问题：例例3.4lim:22 xx证明证明证证4)(2 xAx

13、f)2( )2( xx又又 x 2， 不妨设不妨设 1 x 3，请思考：为什么能这样？请思考：为什么能这样？为什么要这样？为什么要这样？则有则有42 x)2( )2( xx5|2| x|2|5 x ,5|2| x1 x 3| x 2 | 0的情形证明的情形证明, 0)(lim0 Axfxx因为因为, 03 A 所以对于所以对于, 0 则必则必有有时时当当,|00 xx3|)(| Axf3)(3AAxfAA . 0 ).0)(0)(,),(, 00 xfxfxUx或或时时当当则则 ).0(0),0)(0)( AAxfxf或或则则或或4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列

14、极限的关系),),(:3000中或可以是设在过程定义xxxaaxaxxfxfAxfnax当是数列若定理)()(,)(lim: 3则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列., )(axnaxnn )(, )(, )(, )(,)(21xfxfxfxfxfnn为函数为函数即即.时的子列时的子列当当ax .)(lim,Axfnn 则有则有时的一个子列时的一个子列的条件是它的任何子序列：函数极限存在的充要定理4.极限存在且相等.1sinlim0不存在例：证明xx证明：1nxn取2141nxn0, 0limnnnxx0, 0limnnnxx0sinlimsinlimnxnnn11lim214sinlim

15、sinlimnnnnnx.1sinlim0不存在故xx三、小结三、小结极限的统一定义极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx , 0)(lim从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻 Axf(见下表见下表).)( Axf恒恒有有0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxXNn Xx Xx Xx )(xf Axf)(N思考题思考题1.01sinlim0 xxx证证明明解答解答:01sin)( xxAxf|