第一章1.21.2.1第一课时排列与排列数公式

1、第第一一章章1.21.21.2.11.2.1第一第一课时课时排列排列与排与排列数列数公式公式把握热点把握热点考向考向应用创新演练应用创新演练考点一考点一考点二考点二考点三考点三理解教材理解教材新知新知知识点一知识点一知识点二知识点二返回返回返回返回第一课时排列与排列数公式第一课时排列与排列数公式12.1排列排列返回返回返回返回 1在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念师生三人站成一排，校长奖学金的男女同学合影留念师生三人站成一排，校长站在中间站在中间返回返回问题问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？：男生在左边和女生

2、在左边是相同的排法吗？提示：提示：不是不是问题问题2：有几种排法？：有几种排法？提示：提示：2种，男种，男师师女，女女，女师师男男返回返回 2从甲、乙、丙三名同学中选出从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动名同学参加下午的活动 问题问题3：安排这项活动需分几步？分别是什么？：安排这项活动需分几步？分别是什么？ 提示：提示：分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学的同学 问题问题4：有几种排法？：有几种排法？ 提示：提示：上午有上午有3种，下

3、午有种，下午有2种，因此共有种，因此共有326种排法种排法 问题问题5：甲乙和乙甲是相同的排法吗？：甲乙和乙甲是相同的排法吗？ 提示：提示：不是甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲不是甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午下午返回返回 (1)一般地，从一般地，从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取m(mn)个元素，按个元素，按照照 排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的一个排列元素的一个排列 (2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 ，且元素的且元素的 也相同也相同.一定的顺序一定的顺序完全相同完全相同排列顺

4、序排列顺序返回返回 两个同学从写有数字两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数的卡片中选取卡片进行组数字游戏字游戏 问题问题1：从这：从这4个数字中选出个数字中选出2个能构成多少个无重复数个能构成多少个无重复数字的两位数？字的两位数？ 提示：提示：4312个个返回返回 问题问题2：从这：从这4个数字中选出个数字中选出3个能构成多少个无重复数个能构成多少个无重复数字的三位数？字的三位数？ 提示：提示：43224个个 问题问题3：从：从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素排成一个元素排成一列，共有多少种不同的排法？列，共有多少种不同的排法？ 提示：提示：n(n1)

5、(n2)(nm1)种种 返回返回排列数定排列数定义及表示义及表示从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有个元素的所有 ，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号个元素的排列数，用符号A表示表示排列数排列数公式公式 阶乘式阶乘式 (n，mN，mn)特殊情况特殊情况 ， ,0！排列的个数排列的个数n(n1)(n2)(nm1)n！11返回返回 1对于排列定义的理解对于排列定义的理解 (1)排列的定义包括两个方面：一是从排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列中取出元素；二是按一定顺序排列 (2)两个排列

6、相同的条件：元素相同；元素的排两个排列相同的条件：元素相同；元素的排列顺序相同列顺序相同返回返回 2排列与排列数的区别排列与排列数的区别 “排列排列”是指从是指从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取m(mn)个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数按照一定的顺序排成一列，不是数 “排列数排列数”是指从是指从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元个元素的所有排列的个数，是一个数符号素的所有排列的个数，是一个数符号A只表示排列数，只表示排列数，而不表示具体的排列而不表示具体的排列返回返回返回返回 例例1判断下列问题是否为排列问题判断下列问题是否为排列问题 (1)选选2个小组分

7、别去植树和种菜；个小组分别去植树和种菜； (2)选选2个小组种菜；个小组种菜； (3)选选10人组成一个学习小组；人组成一个学习小组； (4)从从1,2,3,4,5中任取两个数相除；中任取两个数相除； (5)10个车站，站与站间的车票个车站，站与站间的车票 思路点拨思路点拨解决本题的关键是要明确排列的定义，解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若有关，则是排看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若有关，则是排列问题，否则就不是列问题，否则就不是返回返回 精解详析精解详析(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题是排列问题

8、(2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题不存在顺序问题，不是排列问题 (4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题 (5)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题顺序的，是排列问题返回返回 一点通一点通判断是不是排列问题，要抓住排列的本质判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：取出的元素无重复，取出的元素必须按顺序排特征：取出的元素无重复，取出的元素必须按顺序排列元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键列元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键返回返回1下列叙述正确的是下列叙述

9、正确的是 ()A排列和排列数是同一个概念排列和排列数是同一个概念B排列和排列数有时是同一个概念排列和排列数有时是同一个概念C排列与排列数没有关系排列与排列数没有关系D排列数是对排列在排列数是对排列在“数数”的角度的反应的角度的反应答案：答案：D返回返回2判断下列问题是否为排列问题判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格机票价格(假设来回的票价相同假设来回的票价相同)；(2)选选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(3)某班某班40名学生在假期相互通信名学生在假期相互

10、通信返回返回解：解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)A给给B写信与写信与B给给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题属于排列问题.返回返回 例例2写出下列问题的所有排列：写出下列问题的所有排列： (1)从从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，

11、共四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？有多少个不同的两位数？ (2)由由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出位数？试全部列出 思路点拨思路点拨(1)直接列举数字；直接列举数字； (2)先画出树形图，再结合图形写出先画出树形图，再结合图形写出返回返回 精解详析精解详析(1)所有两位数是所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有，共有12个不同的两位数个不同的两位数 (2)画出树形图，如图所示画出树形图，如图所示返回返回 由上面的树形图知，所有的四位数为：由上面的树

12、形图知，所有的四位数为： 1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共，共24个四位数个四位数返回返回 一点通一点通在排列个数不多的情况下，树形图是一种在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式在操作中先将元素按一定顺序排出，比较有效的表示方式在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素

13、在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列不重不漏，然后按树形图写出排列返回返回3A，B，C三名同学照相留念，呈三名同学照相留念，呈“一一”字形排队，所有字形排队，所有排列的方法种数为排列的方法种数为 ()A3B4C6 D12解析：解析：列举如下：列举如下：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.答案：答案：C返回返回4同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从

14、中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有配方式有 ()A6种种 B9种种C11种种 D23种种返回返回共有共有9种不同的分配方式种不同的分配方式解析：法一：解析：法一：设四张贺卡分别为设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，由题意知，某人某人(不妨设为不妨设为A卡的供卡人卡的供卡人)取卡的情况有取卡的情况有3种，据此将种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行取卡分步进行用树状图表示，如图用树状图表示，如图返回返回法二：法二：让让A，B，C，D四人依次拿一张

15、别人送出的贺年卡，四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第一步，则可以分三步：第一步，A先拿，有先拿，有3种不同的方法；第种不同的方法；第二步，让被二步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同种不同的取法；第三、四步，剩下的两个人都各有的取法；第三、四步，剩下的两个人都各有1种取法由种取法由分步乘法计数原理知，四张贺年卡不同的分配方式有分步乘法计数原理知，四张贺年卡不同的分配方式有33119种种答案：答案：B返回返回 思路点拨思路点拨(1)逆用排列数公式的乘积形式；逆用排列数公式的乘积形式；(2)(3)正用排列数公式即可正用排列数公式即可返回返回返回返回返回返回 一点通一点通 (1)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算这样做往往会减少运注意先提取公因式化简，然后计算这样做往往会减少运算量算量 (2)连续正整数连续正整数(因式因式)的乘积可以写成某个排列数的乘积可以写成某个排列数A，其，其中最大的数是排列元素的总个数中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的，而因式的个数是取出的元素个数元素个数m.返回返回答案答案：6返回返回解析：解析：原式原式5543443348.答案：答案：D返回返回返回返回答案：答案：D返回返回