通信原理—随机过程4讲(新)

1、统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47上节课内容回顾上节课内容回顾熟悉确知信号和熟悉确知信号和随机信号的性质；随机信号的性质；掌握掌握随机变量的数字特征；随机变量的数字特征；本节课内容本节课内容掌握掌握随机过程、平稳随机过程、随机过程各态历随机过程、平稳随机过程、随机过程各态历经性的基本概念；经性的基本概念；掌握掌握平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的性质、计算与分析；性质、计算与分析；1统计特性和数字特征高斯随机

2、过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47随 机 过 程u随机过程的基本概念随机过程的基本概念u统计特性和数字特征统计特性和数字特征u平稳随机过程平稳随机过程u高斯随机过程高斯随机过程u随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统u窄带随机过程窄带随机过程u正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 2统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47随机过程的

3、基本概念u确定性过程确定性过程p其变化过程可以用一个或几个其变化过程可以用一个或几个时间时间t t的的确定函数来描述确定函数来描述u随机过程随机过程p其变化过程不可能用一个或几个时间其变化过程不可能用一个或几个时间t t的确定函数来描的确定函数来描述。述。通信过程是信号和噪声通过通信系统通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，点看，随机信号和噪声统称为随机过随机信号和噪声统称为随机过程程3统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平

4、稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47随机过程的基本概念u随机过程的定义：设随机过程的定义：设 是随机试验。是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作实现），记作 ，所有可能出现的结果的总，所有可能出现的结果的总体体 就构成一随机过程，就构成一随机过程，记作记作 。u简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程(1, 2,)kSk )(txi)(,),(),(21txtxtxn)(t4统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线

5、性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47随机过程的基本概念x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk一个样本一个随机变量5统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47随机过程的基本概念u随机过程随机过程(t)具有两个基本特征具有两个基本特征：p (t)是时间是时间t的函数；的函数；p在某一观察时刻在某一观察时刻t1，样本的取值，样本的取值(t1

6、)是是一个随机变量。因此，我们又可以把随一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。量。p可见，随机过程具有可见，随机过程具有随机变量随机变量和和时间函时间函数数的特点。的特点。6统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47一维分布函数：一维分布函数：一维概率密度函数：一维概率密度函数：二维分布函数：二维分布函数：二维概率密度函数：二维概率密度函数：随机过程的随机过程的统计特性用统计特性用分布函数、

7、分布函数、概率密度函概率密度函数或数字特数或数字特征来描述。征来描述。统计特性7统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47数字特征分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程的统计特性机过程的统计特性在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，概率密度函数，用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。特性，更简

8、单直观。8统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47111111),()(dxtxfxtEdxtxfxtEta),()()(1数学期望（均值）数学期望（均值）方差方差数字特征方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻在时刻t对于均值对于均值a(t)的偏离程度。的偏离程度。均值和方差是对均值和方差是对随机变量求积分随机变量求积分或求和或求和均值均值和方差和方差是时是时间的函数间的函数9统计特性和数字特

9、征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47数字特征相关函数相关函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数和相关函数R(t1, t2)来表示。来表示。协方差函数协方差函数同一随机过程同一随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自协方差函数自协方差函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互协方差函数互协方差函数10统计特性和数字特

10、征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47)()(),(),(212121tatattRttB相关函数相关函数同一随机过程同一随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自相关函数自相关函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互相关函数互相关函数数字特征11统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47 过程是慢变化，过程是慢变化

11、， 过程是快变化，它们大致有相过程是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于 来说，相关性强；对于来说，相关性强；对于 来说，相关性强弱来说，相关性强弱 数字特征)(t)(t)(t相关函数相关函数)(t)(t)(t12统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47u 例例 设随机过程设随机过程 可表示成可表示成 ，式中，式中 是一个离是一个离散随机变量，散随机变量， 且且 ，试求，试求 及及 。(

12、) t( )2cos(2)tt(0)1/ 2P(/2)1/2P(1)E(0,1)R13统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47u解：在解：在t=1t=1时，时， 的数学期望的数学期望u在在 ， 时时 的自相关函数的自相关函数( ) t10t 21t ( )t14统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47数字特征【例例】

13、已知已知X和和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为差分别为2和和6，试求，试求 的均值、方差和自相关函数。的均值、方差和自相关函数。11( )cossinZ tXwtYwt独立概念相关概念X和Y不相关X和Y线性相关15统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47数字特征【例例】 已知已知X和和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为差分别为2和和6，试求，试求 的均

14、值、方差和自相关函数。的均值、方差和自相关函数。11( )cossinZ tXwtYwt16统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47【例例】 已知已知X和和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为差分别为2和和6，试求，试求 的均值、方差和自相关函数。的均值、方差和自相关函数。11( )cossinZ tXwtYwt17统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程

15、小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47平稳随机过程平稳随机过程 是指它的统计特性不随时间的推移而变化。是指它的统计特性不随时间的推移而变化。),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn则称则称 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf)(t平稳随机过程如果如果任意非零值任意非零值21tt一维概率密度函数一维概率密度函数二维概率密度函数二维概率密度函数18统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过

16、线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47均值均值adxxfxtE1111)()(自相关函数自相关函数)();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR )(),(11RttR平稳随机过程19统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47设有一个二阶矩随机过程设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值为常数，它的均值为常数，自相关函数仅是自相关函数

17、仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。或广义平稳随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。)(t平稳随机过程平稳平稳随机随机过程过程均值为常数均值为常数自相关函数自相关函数只与时间间隔有关只与时间间隔有关与时间起点无关与时间起点无关如何判别随机过程是平稳的？20统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47u 例例 已知已知x(t)x

18、(t)与与y(t)y(t)是统计独立的是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为为 。求乘积。求乘积 的自相关函数。的自相关函数。u解：根据自相关函数的定义有解：根据自相关函数的定义有( )( )xyRR、( )( ) ( )z tx t y t1211221212( ,) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )zxyR t tE x t y t x ty tE x t x tE y t y tRR21统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加

19、窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47x(t)是平稳随机过程是平稳随机过程 的任意一个实现，它的的任意一个实现，它的 时间均值时间均值 和和时间相关函数时间相关函数 分别为分别为2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR)(t如果平稳随机过程依概率如果平稳随机过程依概率1使下式成立：使下式成立： aa )()(RR 则称该平稳随机过程具有则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性各态历经性22统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念

20、正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47各态历经性已知已知均匀分布均匀分布 (t)是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？宽平稳随机过程23统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47各态历经性各态历经性24统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47

21、 “各态历经各态历经”的含义：的含义：随机过程中的任一实现都随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均统计平均”化化为为“时间平均时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。，使实际测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经性的随机过程必定是平稳具有各态历经性的随机过程必定

22、是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。一般均能满足各态历经条件。各态历经性判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件25统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:472.6 随机过程例：设随机过程例：设随机过程 式中，式中，a、0 皆为常数，皆为常数，是在是在（0,20,2

23、）上均匀）上均匀分布的随机变量。分布的随机变量。试问：试问： (1(1) ) X(t)是否是平稳随机过程？为什么？是否是平稳随机过程？为什么？ (2) (2) X(t)是否具有遍历性？是否具有遍历性？)cos()(0 tatX26统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:472.6 随机过程解：解：(1) (1) 随机变量随机变量的概率密度为的概率密度为因而，过程因而，过程X(t)X(t)的均值、自相关函数和均方值分别为的均值、自相关函数和均方值分别为所以，所以

24、，X(t)X(t)是宽平稳随机过程。是宽平稳随机过程。其他,020,21)(fXmtaptxtXE0d21)cos(d)()()(200)(cos2d21)22cos(cos2)22cos(cos2)(cos()cos()()(),(),(0220000200020021XXXRatataEatataEtXtXEttRttR20)0()()()(222aRtXEtXEtXDX27统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:472.6 随机过程 (2)(2)因为因为

25、对照（对照（1 1）和（）和（2 2）的结果可知，）的结果可知，X(t)X(t)具有宽遍历性。具有宽遍历性。0sincoslimd )cos(21lim)(000TTattaTmtXETTTTX0200cos2d)(cos)cos(21lim)()(),(attataTtXtXEttRTTTX28统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47设设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数为实平稳随机过程，则它的自相关函数)(t)()()(ttER具有下列主要性质：具有

26、下列主要性质：（1）（2）（3） 的偶函数 （4） 的上界( )R （5）平稳随机过程自相关函数的性质( ) t ( ) t 方差， 的交流功率( ) t 的平均功率 的直流功率( ) t 29统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47u 例例 设一平稳随机过程设一平稳随机过程X(t)X(t)的自相关函数的自相关函数为为 ，求其均值和方差。，求其均值和方差。u解：由自相关函数的性质可得：解：由自相关函数的性质可得：u u 所以均值为：所以均值为：u 方差为：

27、方差为：24( )251XR24(0)( )252910RE Xt2( )t)25REX （(t)5E X 2(0)( )29524RR 30统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为，它的功率谱密度为TFPTTf2)(lim)(我们可以把我们可以把f(t)看成是平稳随机过程看成是平稳随机过程(t)中

28、的任一实中的任一实现，因而现，因而每一实现每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。的功率谱密度也可用上式来表示。由于由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做过程的功率谱密度应看做是任一实现的是任一实现的功率谱的统计平均功率谱的统计平均，即，即 平稳随机过程的功率谱密度31统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子

29、技术系电子技术系2021/11/2510:47功率信号功率信号f(t)及其截短函数及其截短函数f (t)Otf T(t)tOT2T2平稳随机过程的功率谱密度32统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47的平均功率的平均功率S则可表示成则可表示成)(t平稳随机过程的功率谱密度功率谱的统功率谱的统计平均计平均33统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2021/11/2510:47u确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密确知的非周期功率信号的自相