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文档简介
1、学习必备欢迎下载第 17 课时二次函数的应用一【 基础学问梳理 】(一)、二次函数与一元二次方程:二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax 2bxc0 的实数根,它们都由根的判别式打算;抛物线与 x 轴有个交点时, b 24ac0 ,此时,一元二次方程有 实数根抛物线与 x 轴有个交点时, b 24ac0 ,此时,一元二次方程有 实数根抛物线与轴有个交点时, b 24ac0 ,此时,一元二次方程有实数根【留意:如抛物线与x 轴的两个交点为 a ( x1, 0) b ( x2 , 0),就抛物线对称轴式为直线x, 两交点间的距离ab=】(二)、用二次函数解
2、决最值问题:二次函数yax2bxc 通过配方可得ya xb 24acb2,此抛物线关于直线x 对2a4a称,顶点坐标为(, ) .( 1)当 a0 时,抛物线开口向,有最( 填“高”或“低”)点,当x时,y 有最( “大”或“小”)值是;( 2)当 a0 时,抛物线开口向,有最( 填“高”或“低”)点,当x时,y 有最( “大”或“小”)值是【基础诊断 】1. 2021 云南 抛物线 y=x2 2x+3 的对称轴是,顶点坐标是当 x 时,y 有最值,是 .2. 有一个抛物线形桥拱,其最大高度为16 米,跨度为 40 米,现在它的示意图放在平面直角坐标系中,就此抛物线的解析式为3. 矩形周长为1
3、6cm,它的一边长为xcm ,面积为ycm 2 ,就 y 与 x 之间函数关系为 x =.时, y 最大, y 最大 =.4. 某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平面为x 轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线yx24 x (单位:米)的一部分,就水喷出的最大高度是()a 4 米b. 3 米c. 2 米d.1 米第 2 题第 4 题【精典例题 】例 1 (20xx 年山东泰安)如图, abc 中, acb=90 °, a=30 °, ab=16 点 p 是斜边 ab 上一点过点 p 作 pq ab ,垂足为 p,交边 ac (或边 cb )
4、于点 q,设 ap=x, apq 的面积为 y,就 y 与 x 之间的函数图象大致为()abcd例 2 ( 2021 .武汉)九( 1)班数学爱好小组经过市场调查,整理出某种商品在第x( 1x90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间 x(天)1x 5050x90售价(元 /件)x+4090每天销量(件)200 2x已知该商品的进价为每件30 元,设销售该商品的每天利润为y 元( 1)求出 y 与 x 的函数关系式;( 2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?( 3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800 元?请直接写出结果例 3已知边长为 4 的正方形截
5、去一个角后成为五边形abcde (如图),其中 af=2 , bf=1 试在 ab 上求一点 p,使矩形 pndm 有最大面积【自测训练 】a 基础训练一、挑选题(每道题有四个选项,只有一个选项是正确的.)1. 已知二次函数 ykx 27 x7 的图象和 x 轴有两个交点,就k 的取值范畴是()7a. kb.47kc.47k且 k047d.k且 k042( 2021.资阳)如图是二次函数yax 2bxc 的部分图象,由图象可知不等式ax2bxc0 的解集是()a 1x5b x5c x1且 x5d x1 或 x53. 依据以下表格中二次函数2yaxbxc 的自变量 x 与函数值 y 的对应值,判
6、定方程ax2bxc0( a0, a,b,c 为常数)的一个解 x 的范畴是()2yaxx6.176.186.196.20bxc0.030.010.020.04a 6x6.17b 6.17x6.18c 6.18x6.19d 6.19x6.204.( 2021.菏泽)如图, rt abc 中, ac=bc=2 ,正方形 cdef 的顶点 d、f 分别在 ac 、bc 边上, c、d两点不重合,设 cd 的长度为 x, abc 与正方形 cdef 重叠部分的面积为y,就以下图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是()a. bcd二、填空题1.( 2021.安徽省)某厂今年一月份新产品的研发资金为a
7、元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x,就该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于 x 的函数关系式为 y=2. 如下列图,矩形 abcd 中, ab=6 , bc=8 , p 是线段 bc 上一点( p 不与 b 重合), m 是 db 上一点, 且 bp=dm ,设 bp= x , mbp 的面积为 y ,就 y 与 x 之间的函数关系式为.3. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发觉铅球行进高度y m 与水平距离 x m 之间的关系为y1x12243 由此可知铅球推出的距离是 m .4. 如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳
8、子的地方距地面高都是2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1 米的小明距较近的那棵树0.5 米时,头部刚好接触到绳子,就绳子的最低点距地面的距离为 米三、解答题1. 某商场购进一批单价为4 元的日用品如按每件5 元的价格销售,每月能卖出3 万件;如按每件6 元的价格销售,每月能卖出2 万件,假定每月销售件数y (件)与价格x (元 /件)之间满意一次函数关系( 1)试求 y 与 x 之间的函数关系式;( 2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?2.( 2021 辽宁盘锦) 如图,在一个矩形空地 abc d 上修建一个矩形花坛 ampq ,要求点 m 在 ab 上
9、,点q 在 ad 上,点 p 在对角线 bd 上如 ab 6m,ad 4m,设 am 的长为 xm ,矩形 ampq 的面积为 s 平方米 (1) 求 s 与 x 的函数关系式;(2) 当 x 为何值时, s 有最大值?恳求出最大值3. 如下列图,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形)矩形的四个顶点分别在菱形 四条边上,菱形 abcd 的边长 ab=4 米, abc=60° 设 ae= x 米( 0 x 4),矩形 efgh 的面积为 s米 2 ( 1)求 s 与 x 的函数关系式;( 2)学校预备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草已知红色花草的价格为20
10、 元/米 2, 黄色花草的价格为40 元/米 2当 x 为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?b 提升训练一、挑选题(每道题有四个选项,只有一个选项是正确的.)1. 二次函数2yaxbxc ( a 、 b 、 c 为常数且 a0 )中的 x 与 y 的部分对应值如下表:x-3-2-1012345y1250-3-4-30512给出了结论:( 1)二次函数2yax1bxc 有最小值,最小值为3 ;( 2)当-2x 2 时 , y0 ;( 3)二次函数y ax 2bxc 的图象与 x 轴有两个交点,且它们分别在y 轴两侧就其中正确结论的个数是()a 3b 2c 1d
11、02. 如图( 1)所示, e 为矩形 abcd 的边 ad 上一点,动点 p、q 同时从点 b 动身,点 p 沿折线 be ed dc 运动到点 c 时停止, 点 q 沿 bc 运动到点 c 时停止, 它们运动的速度都是1cm/秒设 p、q 同发 t 秒时, bpq 的面积为 y cm2已知 y 与 t 的函数关系图象如图( 2)(曲线 om 为抛物线的一部分) ,就以下结论: ad=be=5 ; cos abe=其中正确结论的个数是3 ;当 0t55 时,y= 25t2 ;当 t29秒时, abe qbp;4a. 1 个b .2 个c. 3 个d . 4 个二、填空题1. 如图,在平面直角
12、坐标系中,抛物线yax3 与 y 轴交于点 a,过点 a 与 x 轴平行的直线交抛物线就 bc 的长值为.y1 x232于点 b、c,2. 正方形 abcd 的边长为 4, m 、n 分别是 bc、 cd 上的两个动点, 且始终保持 am mn 当 bm=时,四边形 abcn 的面积最大3. 如图,在 abc 中, b=90°, ab=12mm , bc=24mm , 动点 p 从点 a 开头沿边 ab 向 b 以 2mm/s 的速度移动(不与点 b 重合),动点 q 从点 b 开头沿边 bc 向 c以 4mm/s 的速度移动(不与点c 重合)假如 p、q 分别从a 、 b 同时动身
13、,那么经过秒,四边形 apqc 的面积最小三解答题:y=ax +bx+c1. ( 20xx 年山东泰安)二次函数2的图象经过点( 1,4),且与直线 y=x+1 相交于 a 、b两点(如图) , a 点在 y 轴上,过点 b 作 bc x 轴,垂足为点c( 3, 0)( 1)求二次函数的表达式;( 2)点 n 是二次函数图象上一点(点n 在 ab 上方),过 n 作 np x 轴,垂足为点 p,交 ab 于点 m , 求 mn 的最大值;( 3)在( 2)的条件下, 点 n 在何位置时, bm 与 nc 相互垂直平分?并求出全部满意条件的n 点的坐标2.( 2021.兰州)如图,抛物线y=2x
14、 +mx+n与 x 轴交于 a 、b 两点,与 y 轴交于点 c,抛物线的对称轴交 x 轴于点 d ,已知 a ( 1, 0), c(0, 2)( 1)求抛物线的表达式;( 2)在抛物线的对称轴上是否存在点p,使 pcd 是以 cd 为腰的等腰三角形?假如存在,直接写出p点的坐标;假如不存在,请说明理由;( 3)点 e 时线段 bc 上的一个动点,过点e 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点f,当点 e 运动到什么位置时,四边形 cdbf 的面积最大?求出四边形cdbf 的最大面积及此时e 点的坐标【08 14 济南】对于考察多各学问点的综合题,以重点考察(核心考察)为依据分类选取;1( 08 济
15、南 23 题)已知:如图,直线y= 3 x 43 与 x 轴相交于点a,与直线 y=3 x 相交于点 p.( 1)求点 p 的坐标 .( 2)请判定 opa 的外形并说明理由 .( 3)动点 e 从原点 o 动身,以每秒 1 个单位的速度沿着 op a 的路线向点 a 匀速运动( e 不与点 o、a 重合),过点 e 分别作 efx 轴于 f, eb y 轴于 b ,设运动 t 秒时,矩形 ebof 与 opa 重叠部分的面积为 s.求: s 与 t 之间的函数关系式 .当 t 为何值时, s 最大,并求出 s 的最大值 .2.( 08 济南 24 题)已知:抛物线y=ax2bx c( a0)
16、 ,顶点 c( 1, 3),与 x 轴交于 a 、b 两点,a ( 1, 0) .( 1)求这条抛物线的解析式.( 2)如图,以 ab 为直径作圆,与抛物线交于点d ,与抛物线对称轴交于点e,依次连接 a 、d、b、e, 点 p 为线段 ab 上一个动点( p 与 a 、b 两点不重合) ,过点 p 作 pm ae 于 m , pn db 于 n ,请判定pmpnbead是否为定值?如是,恳求出此定值;如不是,请说明理由.( 3)在( 2)的条件下,如点s 是线段 ep 上一点,过点s 作 fg ep, fg分别与边 ae 、be 相交于点 f,g(f 与 a 、e 不重合, g 与 e、b
17、不重合),请判定 papbef是否成立 .如成立,请给出证明;如不成立,请说明理由.eg309 济南 24 题已知:抛物线yaxbxc a 0的对称轴为 x1 ,与 x 轴交于 a、b 两点,与 y 轴交2于点 c,其中 a( 3, 0), c( 0, 2 )( 1)求这条抛物线的函数表达式( 2)已知在对称轴上存在一点p,使得pbc 的周长最小恳求出点p 的坐标( 3)如点 d 是线段 oc 上的一个动点 不与点 o、点 c 重合 过点 d 作 depc 交 x 轴于点 e连接 pd 、pe设 cd 的长为 m,pde 的面积为 s求 s 与 m 之间的函数关系式试说明s 是否存在最大值,如
18、存在,恳求出最大值;如不存在,请说明理由yaobxc2第 24 题图4. 10 济南 24 题如下列图,抛物线yx2 x3 与 x 轴交于 a、b 两点,直线 bd 的函数表达式为y3 x33 ,抛物线的对称轴l 与直线 bd 交于点 c、与 x 轴交于点 e求 a、b、c 三个点的坐标点 p 为线段 ab 上的一个动点(与点a、点 b 不重合),以点 a 为圆心、以 ap 为半径的圆弧与线段ac 交于点 m,以点 b 为圆心、以 bp 为半径的圆弧与线段bc 交于点 n,分别连接 an、bm、mn 求证: an=bm在点 p 运动的过程中,四边形amnb 的面积有最大值仍是有最小值?并求出该
19、最大值或最小值.ydlcmnxaoepb第 24 题图5. 11 济南 13 题 竖直向上发射的小球的高度hm 关于运动时间 ts 的函数表达式为 h=at2+bt,其图象如下列图,如小球在发射后第2 秒与第 6 秒时的高度相等,就以下时刻中小球的高度最高的是()a 第 3 秒b 第 3.5 秒c第 4.2 秒d 第 6.5 秒7 12 济南 21 题如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式h/mo26t/s为 y=ax2+bx. 小强骑自行车从拱梁一端o 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面oc,当小强骑自行车行驶10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同,就小强骑自行车通过拱梁部分的桥面
20、oc 共需秒.yocx6 11 济南 27 题如图,矩形 oabc 中,点 o 为原点,点 a 的坐标为 0,8,点 c 的坐标为 6, 0.抛物线y4 x 29bxc 经过 a、c 两点,与 ab 边交于点 d.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点 p 为线段 bc 上一个动点(不与点c 重合),点 q 为线段 ac 上一个动点, aq=cp,连接 pq, 设 cp=m, cpq 的面积为 s.求 s关于 m 的函数表达式,并求出m 为何值时, s 取得最大值;当 s 最大时,在抛物线y4 x29bxc的对称轴 l 上如存在点f,使 fdq 为直角三角形,请直 接写出全部符合条件的点f
21、的坐标;如不存在,请说明理由.yyladbadb qpocxocx备用图8( 12 济南 28 题) 如图 1,抛物线 y ax2 bx 3 与 x 轴相交于点 a( 3, 0), b( 1,0),与 y 轴相交于点 c. o1 为 abc 的外接圆,交抛物线于另一点d .( 1)求抛物线的解析式;( 2)求 cos cab 的值和 o1 的半径;( 3)如图 2,抛物线的顶点为p,连接 bp,cp, bd, m 为弦 bd 的中点 . 如点 n 在坐标平面内,满意 bmn bpc,请直接写出全部符合条件的点n 的坐标 .29.( 13 济南 15 题)如图,二次函数yaxbxc 的图象经过点( 1, -2 ),与x 轴交点的横坐标分别为x1, x2,且1 以下结论正确的是x1 0, 1yx2 2,a. a0b. abc0 1o12 xcb 1 2ad 4acb 8a2 2第 15 题图11.(14 济南 15 题)二次函数的图象如图,对称轴为yx1如关于
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