《近世代数》考试卷

1、xx 师范大学05 级近世代数考试卷(xx学年第二学期 )考试类别考试使用学生数理学院数学xx 级 初阳综合理科xx 级考试时间150分钟出卷时间xx 年6月 10日说明 ：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。一、选择题 ( 每小题 2 分，共 20 分 )1设 A a，b，c ，在下列运算表所给出的A 的代数运算中， 不满足结合律的是()。a b ca b ca b ca b ca a a aa a b ca c b ba a b cA b a a aB b a b cC b a a cD b b c ac a a ac a b cc b c cc c a b2设 A，B 是两个集

2、合， 且， ，那么，| 2A×B | ()。| A |4|B |3A 12B 48C 64D813设S 是一个半群，那么，在下列关于半群S 的叙述中，正确的是()。A S 必定有左单位元eL 或者有右单位元eRB S 中消去律必定成立C如果 S 是一个交换半群，那么，S 一定存在单位元D如果 S 至少有两个不同的左单位元，那么，S 必定没有右单位元4设 G1，G2 是两个循环群，且G1 (a)，G2 (b)，那么，下列结论成立的是()。A 必存在G1 到 G2 的同态映射fB 必存在G1 到 G2 的同态满射fC必存在G1 到 G2 的同态单射fD 必存在G1 到 G2 的同构映射f

3、大学数学5设 G 是一个群， H1， H2 是 G 的两个子群，在下列各式中一定成立的是 ()。H H1BH H H1H2A H121 2H H1H2DH H H1CH121 16设 G 是一个有限群，H 是 G 的一个不变子群，在下列叙述中，正确的是 ()。A 1a， b G，有 aba HB a H，bG，有 aba1 HCa G，bH ，有 aba1 HD如果 aH bH，则 ab1 b1a7设 R 是一个环， a，b R，n Z ，在下列等式恒成立的是()。A n(ab) (na)b a(nb)B (a b)2 a2 2ab b2C (ab)2 a2b2D (a b)( ab) a2

4、b28设 Z 15是以 15 为模的剩余类环， 那么，Z 15的子环共有 () 个。A 2B 4C 6D159设 R 是一个环， X 是环 R 的一个非空子集， X 表示由子集 X 生成的子环， ( X )表示由子集 X 生成的理想，那么，下列集合之间的关系一定成立的是()。AX(X)BX(X)CX(X)DX (X)10设 R 是一个环， I 是 R 的一个理想，在下列关于环的叙述中，正确的是()。A 如果 I 是 R 的一个素理想，则I 必定是 R 的一个极大理想B 如果 I 是 R 的一个极大理想，则I 必定是 R 的一个素理想C如果 R 是一个无零因子环，则零理想0 是 R 的一个素理想

5、D如果 R 是一个无零因子环，则零理想0 是 R 的一个极大理想大学数学二、填空题( 空格 2 分，共 24 分。答题时请写清题号)1设集合 A a，b，c ，记 A× A 为 A 与 A 的积集合， 2A 为 A 的幂集合。那么， A× A， 2A。2设 A 1 ， 2，3， 4 ，S 1 分类 S 所确定的等价关系 E，2 ， 3 ， 4 ，那么，由集合A 的(写成 A× A 的子集的形式)。3设 G 是一个不可交换群，那么，G 最少含有个元素，试给出一个你所熟悉的最小的不可交换群：。4设 3 次对称群 S3(1) ， (12)， (13)， (23)， (1

6、23) ， (132) ，子群 H (1) ， (23) ，那么， S3 的两个左陪集(12)H 与(13)H 的积 (12) H(13) H，且求 S3 关于子群 H 的左陪集分解。5记以 30 为模的剩余类加群 Z 30 0 ， 1 ， 2 ， ， 29 ，以 10为模的剩余类加群Z10 0， 1 ，2 ， ， 9 ，作群同态映射：f： Z30 Z10， k2k，k Z 30，那么，同态映射f 的象 Im f ，f 的同态核 Ker f 。6设 R 是一个环， a R，记 (a) 为由元素a 生成的主理想。当R 是一个有单位元的环时， 则 (a)；当 R 是交换环时，则 (a)；7设 R

7、是一个环， I，K 是 R 的两个理想， 那么， (IK ) / I。三、计算题( 每小题 8 分，共 16 分 。要求写出计算的过程或计算的理由)1在 7 次对称群 S7 中计算：(1) 将 (1357) 1 (345) (1357) 表示成若干个互不相交的循环置换之积；(2)设 k 是一个自然数，计算：(1357) 1 (345) (1357) k。大学数学2设 Z12 为以 12 为模的剩余类环，(1) 求出 Z12 的所有理想；(2) 试给出 Z 12 的所有极大理想与素理想。四、证明题( 每小题 10 分，共 40 分 )1设 G1， G2 是两个群，记GG1× G2 (

8、a， b) | aG1， bG2 ，规定 G 的代数运算“”：(a，b)(c， d) (ac， bd)，(a， b)， (c， d)G。(1) 验证 G 关于代数运算“”作成一个群；(2)如果 G1，G2 分别为 m，n 阶的循环群，证明G 是 mn 阶的循环群。2设 G 是一个群， H 是 G 的一个不变子群，规定商集合G / H 的运算：(aH)(bH)( ab)H，aH ，bH G / H，证明：以上所规定的代数运算是合理的，即与代表元的取法无关。3设Z p a b p | a， b Z ， p 为某个固定的素数 ，验证 Z p 关于数的加法与乘法作成一个整环。4设 R x 为实数域 R 上的一元多项环， p(x)为 R x上的一个不可约多项式。(1) 证明：由多项式 p(x)生成的理想 (p(x) 是 R x上的一个极大理想。(2)