《一维定态问题》ppt课件

1、第三章第三章 一维定态问题一维定态问题1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱2 2 线性谐振子线性谐振子3 3 一维势散射问题一维势散射问题n在继续论述量子力学根本原理之前，先用在继续论述量子力学根本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程来处置一类简单的问题方程来处置一类简单的问题一维一维定态问题。其益处有四：定态问题。其益处有四：n1 1有助于详细了解已学过的根本原理；有助于详细了解已学过的根本原理；n2 2有助于进一步阐明其他根本原理；有助于进一步阐明其他根本原理；n3 3处置一维问题，数学简单，从而能对结果进展处置一维问题，数学简单，从而能对结果进展细致讨论，

2、量子细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；维问题中展现出来；n4 4一维问题还是处置各种复杂问题的根底。一维问题还是处置各种复杂问题的根底。1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱n一一维运动一一维运动n二一维无限深势阱二一维无限深势阱n三宇称三宇称n四讨论四讨论一一 一维运动一维运动所谓一维运所谓一维运动就是指在动就是指在某一方向上某一方向上的运动。的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。假设势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。假设势可写成：V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)V(x,y,z) = V1(x) + V2(

3、y) + V3(z)方式，那么方式，那么 S- S-方程可在直角坐标系中分别变量。方程可在直角坐标系中分别变量。令令(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez E = Ex + Ey + Ez于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger 方程为：方程为：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyY

4、yVdydxXExXxVdxdzyx ),(),(),(222zyxEzyxzyxV ),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 设设：)()()(),zZyYxXzyx （等等式式两两边边除除以以 )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzV

5、dzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE )()()(),(zZyYxXzyx 令令：二一维无限深势阱二一维无限深势阱n求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： n1 1列出各势域的一维列出各势域的一维SS方程方程n2 2解方程解方程n3 3运用波函数规范条件定解运用波函数规范条件定解n4 4定归一化系数定归一化系数 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII1 1列出各势域的列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可简化为：简化为： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(222

6、2222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域，用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为I(x),II(x) I(x),II(x) 和和III (x)III (x)。那么方程为：。那么方程为： 2 2 xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxdd

7、xddxd 3 3运用波函数规范条件运用波函数规范条件xIeC 1 从物理思索，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理思索，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是(-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 则则解解为为：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立；2 2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C2=

8、0C2=0。运用规范条件运用规范条件 3 3。延续：。延续： 2 2波函数导数延续：波函数导数延续：在边境在边境 x = -a x = -a，势有无穷腾跃，波函数微商不延续。这是由于：，势有无穷腾跃，波函数微商不延续。这是由于：假设假设I(-a) = II(-a)I(-a) = II(-a)， 那么有，那么有，0 = A cos(-a + 0 = A cos(-a + )与上面波函数延续条件导出的结果与上面波函数延续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0 A sin(-a + )= 0 矛盾，矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷腾跃处不延续。二者不能同时成立。所以波函数导数在

9、有无穷腾跃处不延续。, 0)sin()()( aAaaIII1 1波函数延续：波函数延续： .0),sin(,0IIIIIIxA . 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII 0)sin(0)sin( aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina 0sin0cosa 两种情况：两种情况：1cos00sin. 则则I由由4 4式式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE

10、 22222222222 所所以以xanAxAIIn sinsin 22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n讨论讨论 00sin00000 xAEnII ，时时：当当xakAxakAknIIk sinsin 时时：当当形状不存在形状不存在描写同一形状描写同一形状所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即),2,1( n于是：于是： ,2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或22228)2(anEn 于是波于是波函数：函数： xanAxanAxAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(0211sin20cos. 则则II由

11、由3 3式式0cos a ),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所所以以类似类似 I I 中关于中关于 n = n = m m 的讨论可知：的讨论可知：),2,1 ,0( n 0sin0cosa )3(0sin)cos( a 奇奇数数。的的偶偶数数mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 综合综合 I I 、II II 结果，最后得：结果，最后得：对应对应 m = 2 nm = 2 n对应对应 m = 2n+1m = 2n+1 axxaAaxaEm|sin|02, 22222 第第一一激激

12、发发态态： axxaAaxaEm|23cos|089, 33223 第二激发态：第二激发态：能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。 axxaAaxaEm|2cos|08,11221 基基态态： -a 0 a1 -a 0 a|1|2 -a 0 a2 -a 0 a|2|2 -a 0 a3 -a 0 a|3 |2由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，围，在无限远处， = 0 = 0 。这样的形状，称为束缚态。一维有限运。这样的形状，称为束

13、缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。动能量本征值是分立能级，组成分立谱。4 4由归一化条件定系数由归一化条件定系数 A AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos|12sin|2222 （取取实实数数）得得：aAaA11|2 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解SS方程的普通步骤如下：方程的普通步骤如下：n一、列出各势域上的一、列出各势域上的SS方程；方程；n二、求解二、求解SS方程；方程；n三、利用波函数的规范条件单值、有限、三、利用波函

14、数的规范条件单值、有限、延续定延续定未知数和能量本征值；未知数和能量本征值；n四、由归一化条件定出最后一个待定系数四、由归一化条件定出最后一个待定系数归一化系归一化系数。数。三宇称三宇称),(),(trtrrr 1 1空间反射：空间矢量反向的操作。空间反射：空间矢量反向的操作。2 2此时假设有：此时假设有： ),(),(trtr 称波函数具有正宇称或偶宇称；称波函数具有正宇称或偶宇称；),(),(trtr 称波函数具有负宇称或奇宇称；称波函数具有负宇称或奇宇称；),(),(trtr 3 3假设在空间反射下，假设在空间反射下，),(),(trtr 那么波函数没有确定的宇称。那么波函数没有确定的宇

15、称。四讨论四讨论一维无限深一维无限深势阱中粒子势阱中粒子的形状的形状,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征值值为为：2n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。，态不存在，无意义。而而n = k, k=1,2,. xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin 可见，可见，n n取负整数与正整数描写同一形状。取负整数与正整数描写同一形状。1 1n = 1, n = 1, 基态，基态，与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子动摇性的表

16、这是微观粒子动摇性的表现，由于现，由于“静止的波是没静止的波是没有意义的。有意义的。aEn 822 4 4nn* *(x) = n(x) (x) = n(x) 即波函数是实函数。即波函数是实函数。 .|,2cos1;|,2sin1;|0)(),(/axoddnxeanaaxevennxeanaaxextxtiEtiEtiEnnnnn 5 5定定 态态 波波 函函 数数 偶偶宇宇称称当当奇奇宇宇称称当当)()()()()()(oddnxxevennxxnnnn 3 3波函数宇称波函数宇称 , 3 , 2 , 1|)(2sin1|0/naxeaxanaaxtiEn 亦亦可可合合并并写写成成：例题1

17、 一粒子在一维势场axaxxxU，0 00)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的详细方式为 1 )()()()(2 0111222xExxUxdxdmx 2 )()(2 0 22222xExdxdmax 3 )()()()(2 333222xExxUxdxdmax由于(1)、(3)方程中，由于 )(xU，要等式成立，必需 0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 0)(2)(22222xmEdxxd令 222mEk，得 0)()(22222xkdxxd其解为 kx

18、BkxAxcossin)(2根据波函数的规范条件确定系数A，B，由延续性条件，得 )0()0(12 )()(32aa0 B0sinkaA), 3 , 2 , 1( 0sin0nnkakaA xanAxsin)(2 由归一化条件1)(2dxx得 1sin022axdxanAxanaxaAsin2)(22222mEk), 3 , 2 , 1( 22222nnmaEn可见E是量子化的。 对应于 nE的归一化的定态波函数为 axaxaxxeanatxtEinn , , 0 0 ,sin2),(例题2例题2作作 业业n周世勋：周世勋：第二章第二章n2.3、 2.4、 2.82 2 线性谐振子线性谐振子一

19、引言一引言1何谓谐振子何谓谐振子2为什么研讨线性谐振子为什么研讨线性谐振子二线性谐振子二线性谐振子1方程的建立方程的建立2求解求解3运用规范条件运用规范条件4厄密多项式厄密多项式5求归一化系数求归一化系数6讨论讨论三实例三实例一引言一引言1 1何谓谐振子何谓谐振子2221xV dxdVF 因因为为量子力学中的线性谐振量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描画子就是指在该式所描画的势场中运动的粒子。的势场中运动的粒子。 kxxkxdtxd 其其中中0222在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒的粒子，受弹性力子，受弹性力F = - kxF = - kx作用，由牛作用，由牛顿第二定律可以

20、写出运动方程为：顿第二定律可以写出运动方程为：其解为其解为 x = Asin( t + ) x = Asin( t + )。这种运动称为。这种运动称为简谐振动，简谐振动， 作这种运动的粒子叫谐振子。作这种运动的粒子叫谐振子。假设取假设取V0 = 0V0 = 0，即平衡位置处于即平衡位置处于势势 V = 0 V = 0 点，点，那么那么kxdxV 所所以以0221Vkx 02221Vx 2 k因因：2 2为什么研讨线性谐振子为什么研讨线性谐振子n自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核外表振动以及辐

21、射场动，例如分子振动、晶格振动、原子核外表振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成假设干彼此独立的一维简谐振动。的振动等往往都可以分解成假设干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研讨，无论在实际上还是在运用上都是很重要的。研讨，无论在实际上还是在运用上都是很重要的。n例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者相对间隔是二者相对间隔x x的函数，的函数，如下图。在如下图。在 x = a x = a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V0 V0 。在。在 x = a x = a 附

22、近势附近势可以展开成泰勒级数：可以展开成泰勒级数： 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V00)(0 axxVVaV2220)(!21axxVVax 20)(21axkV axxVk 22其其中中：取新坐标原点为取新坐标原点为(a, V0)(a, V0)，那么势可表示为规范，那么势可表示为规范谐振子势的方式：谐振子势的方式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描画。来近似描画。221)(kxxV 二线性谐振子二线性谐振子1 1方程的建立方程的建立2 2求解求解3 3运用规范条件

23、运用规范条件4 4厄密多项式厄密多项式5 5求归一化系数求归一化系数6 6讨论讨论1 1方程的建立方程的建立0)(2120)(2122222222222 xxEdxdxxEdxd 或或：则则方方程程可可改改写写为为：，其其中中令令： x22222222212212xdxdxpH 线性谐振子的线性谐振子的 Hamilton Hamilton量：量：那么那么 Schrodinger 方程可写为方程可写为 ：为简单计，为简单计，引入无量纲变量引入无量纲变量替代替代x x， Exdd20)(222 其其中中此式是一变系数此式是一变系数二阶常微分方程二阶常微分方程2 2求解求解0222 dd2/22/1

24、22 ecec 所所以以为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当近解，即当 时波函数时波函数的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 2 2 1 1其中其中 H() H() 必需满足波函数的单值、有限、延续必需满足波函数的单值、有限、延续的规范条件。即：的规范条件。即： 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。0)1(2 HHH 2/2)()( eH将将()()表达式代入方程得表达式代入方程得关于关于 待求函数待求函数 H() H() 所满足的方程：所满足的方程：令令：渐渐近近形形式式，我我们

25、们自自然然会会在在无无穷穷远远处处有有的的波波函函数数为为了了使使方方程程2/22220)( exdd2. H()2. H()满足的方程满足的方程3.3.级数解级数解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkbkkbHkbHkbH 0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb kkkbH 0我们以级数方式我们以级数方式来求解。来求解。 为此令：为此令：kkkkkbHkk )2)(1(220则则：令令kkkkkb )2)(1(20 用用 k k 替代替代 kk变变成成：则则方方程程0)1(2 HHH 由上式可以看出：由上式可以看出： b0 b0 决议一切角标决议一切角标k

26、k为偶数的系数；为偶数的系数； b1 b1 决议一切角标决议一切角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。由于方程是二阶微分方程，应有两个由于方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b0 0, b1=0. Heven();b1 0, b0=0. Hodd().kkbkkkb)2)(1(122 即：即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0 bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0从而导出系数从而导出系数 bk bk 的递推公式：的递推公式：0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb 该式对恣意该式对恣

27、意都成立，都成立，故故同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项那么通解可记为：那么通解可记为：H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/23 3运用运用规范条件规范条件(I)=0exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限皆有限(II) 需求思索无穷级数需求思索无穷级数H()的收敛性的收敛性为此调查相邻为此调查相邻两项之比：两项之比：22222)2)(1(12 kkkkbbkkkkk 调查幂级数调查幂级数exp2exp2的

28、的展开式的收敛性展开式的收敛性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 比较二级数可知：比较二级数可知：当当时，时， H()H()的渐近的渐近行为与行为与exp2exp2一样。一样。单值性和延续性二条件自然满足，单值性和延续性二条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需求进展讨论。只剩下第三个有限性条件需求进展讨论。由于由于H()H()是一个幂级数，故应思索他的收敛性。思索一些特殊点，是一个幂级数，故应思索他的收敛性。思索一些特殊点，即势场有腾跃的地方以及即势场有腾跃的地方以及x=0, x x=0, x 或或=0, =0, 。2222222222)1(1)!1()!()!()!1( k

29、kkkkkkkk 相相继继两两项项之之比比：所以总波函数有如下发散行为：所以总波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要求，幂级为了满足波函数有限性要求，幂级数数 H() H() 必需从某一项截断变成一必需从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求个多项式。换言之，要求 H() H() 从从某一项比如第某一项比如第 n n 项起项起 以后各以后各项的系数均为零，即项的系数均为零，即 bn 0, bn 0, bn+2 = 0.bn+2 = 0.0)2)(1(122 nnbnnnb 代入递推关系代入递推关系)得：得：结论结论基于波函数基于波函数在无穷远处的在无穷远处的有限性条件导致了有限性条件导致

30、了能量必需取能量必需取分立值。分立值。 expexpexpexp)()(2212212221H 212 EE因因为为012,0 nbn所所以以有有：因因为为,2,1 ,0)(21 nnE 于于是是最最后后得得：4 4厄密多项式厄密多项式附加有限性条件得到了附加有限性条件得到了 H()H()的的一个多项式，该多项式称为厄密一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为多项式，记为 Hn()Hn()，于是总波，于是总波函数可表示为：函数可表示为：)(exp221 nnnHN 022 nnnnHHH 0)1(2 HHH expexp)1()(22 nnnnddH由上式可以看出，由上式可以看出，Hn() 的

31、最高次幂是的最高次幂是 n 其系数是其系数是 2n。归一化系数归一化系数Hn() Hn() 也可写成封锁方式：也可写成封锁方式： = 2n+1 = 2n+1厄密多项式调和振子波函数的递推关系：厄密多项式调和振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系：022)(2111 nnnnnnHHHnHddH 应应用用实实例例例：知例：知 H0 = 1, H1=2 H0 = 1, H1=2，那么，那么根据上述递推关系得出：根据上述递推关系得出：H2 = 2H1-2nH0 H2 = 2H1-2nH0 = 42-2 = 42-2下面给出前几个厄密下面给

32、出前几个厄密多项式详细表达式：多项式详细表达式：H0=1 H0=1 H2=42-2H2=42-2H4 = 164-482+12H4 = 164-482+12H1=2H1=2H3=83-12H3=83-12H5=325-1603+120H5=325-1603+120基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)(x)的递推关系：的递推关系： )()2)(1()() 12()() 1()()()()()()2)(1()() 12()() 1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxx

33、xxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn 5 5求归一化系数求归一化系数 ( 分 步 积 分 )该式第一项为哪一项一个多项式与该式第一项为哪一项一个多项式与 exp-2 exp-2 的的乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零。继续分步积分究竟继续分步积分究竟由于由于HnHn的最高次项的最高次项nn的系数是的系数是2n2n，所以，所以dnHn /dn = 2n n!dnHn /dn = 2n n!。于是归一化系数于是归一化系数那么谐振子那么谐振子波函数为：波函数为： 其其中中：)(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122 (

34、I)(I)作变量代换，由于作变量代换，由于=x=x，所以所以d= dxd= dx；(II)(II)运用运用Hn()Hn()的封锁方式。的封锁方式。 deHeHnnnnnnddnddNnddnNn)() 1()() 1(21122112 deHnnnddnddNn)() 1(21121 !2 nnnN 所所以以 deHdeHnnnnnnddddnNnddnnN)()1()()1(211222 deHnddNnnnnn22)() 1( !2!2) 1(2222ndennNnNnnn 6 6讨论讨论3. 3. 对应一个谐振子能级只需一个本征函数，即一个形状，所以能对应一个谐振子能级只需一个本征函数，

35、即一个形状，所以能级是非简并的。值得留意的是，基态能量级是非简并的。值得留意的是，基态能量 E0=1/2 E0=1/2 0 0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是类称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是类似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的静止的波是没有意义的，零点能是量子效应。波是没有意义的，零点能是量子效应。expexp)1()(22 nnnnddH1 1。上式阐明，。上式阐明，Hn()Hn()的最高次项是的最高次项是(2)n(2)n。所以：。所以： 当当 n= n=偶，那么厄密多项式只含偶，那么厄

36、密多项式只含的偶次项；的偶次项； 当当 n= n=奇，那么厄密多项式只含奇，那么厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2. n2. n具有具有n n宇称宇称)(!2)(2/22xHenxnxnn 上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-2/2 exp-2/2是是的偶函数，的偶函数，所以所以nn的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 Hn() Hn() 决议为决议为 n n 宇称。宇称。n = 0n = 1n = 24. 4. 波函数波函数然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是：0() = |0()|2 = 0() =

37、|0()|2 = = N02 exp-= N02 exp-22分析上式可知：一方面阐分析上式可知：一方面阐明在明在= 0= 0处找到粒子的处找到粒子的几率最大；几率最大；另一方面，在另一方面，在|1|1处，处，即在阱外找到粒子的几率即在阱外找到粒子的几率不为零，不为零，与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在| x| 1| x| 1范围中运动。这是由于振子在这一点范围中运动。这是由于振子在这一点(|x| = 1)(|x| = 1)处，其势处，其势能能V(x)=(1/ 2)2 x2 = 1/2 V(x)=(1/ 2)

38、2 x2 = 1/2 = E0= E0，即势能等于总，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。能量，动能为零，粒子被限制在阱内。)(!2)(2/22xHenxnxnn -3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2分析波函数可知量子力学的谐振子波函数分析波函数可知量子力学的谐振子波函数nn有有 n n 个节个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在子在 -a, a -a, a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。区间每一点上都能找到粒子，没有节点。-1 0 10()n()n=2n=1n=0-11 -22-44|10|2 5. 5

39、. 几率分布几率分布三实例三实例解：解：1 1三维谐振子三维谐振子 Hamilton Hamilton 量量zyxHHHzyxdzddyddxdH)(22222212222222 例例1. 1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况 222122222212222221222222zdzdHydydHxdxdHzyx 其其中中2 2本征方程及其能量本征值本征方程及其能量本征值 )()()()()()(333222111zEzHyEyHxExHnnnznnnynnnx 321232332121)()(3 , 2 , 1)(nnnNNnnnEinENini 其其

40、中中 )()()(zyxEEEEzyx 解得能量本征值为：解得能量本征值为：那么波函数三方向的分量那么波函数三方向的分量分别满足如下三个方程：分别满足如下三个方程：因此，设能量本征方程的解为：因此，设能量本征方程的解为：)()()(321111321zyxEEEEnnnnnnnnn 假设系统假设系统 Hamilton Hamilton 量可以写成量可以写成 那么必有：那么必有：zyxHHHH 3 3简并度简并度 对对给给定定 N N= = n n1 1 + + n n2 2 + + n n3 3 的的组组合合方方式式数数列列表表分分析析如如下下： n n1 1 n n2 2 组组合合方方式式数

41、数 0 0 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N N N+ +1 1 1 1 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N- -1 1 N N 2 2 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N- -2 2 N N- -1 1 . . . ., , . . . ., , . . . ., , . . . ., , . . . . . . . . N N 0 0, , 1 1 对对给给定定 N N ( ( N N= = n n1 1 + + n n2 2 + + n n3 3 ) ), , n n1 1 , , n n2 2, , n n3 3 的的

42、组组合合方方式式数数 ( (1 1/ /2 2) )( (N N+ +1 1) )( (N N+ +2 2) ) 32123)(nnnNNEN 其其中中 )()()()(321321zyxrnnnnnn 当当 N N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一确定后，能量本征值确定，但是对应同一N N值的值的 n1, n2, n3 n1, n2, n3 有有多种不同组合，相应于假设干不同量子形状，这就是简并。其简并度可决议如下：多种不同组合，相应于假设干不同量子形状，这就是简并。其简并度可决议如下：当当n1 , n2 n1 , n2 确定后，确定后， n3 = N - n1 - n2 n3 = N

43、- n1 - n2，也就确定了，不添加不同，也就确定了，不添加不同组合的数目。故对给定组合的数目。故对给定N N，n1 , n2, n3 n1 , n2, n3 能够组合数即简并度为：能够组合数即简并度为：)2)(1(211)1()1( NNNNN0)()(2)(222 xxVExdxd 解：解：SchrodingerSchrodinger方程：方程：求能量本征值和本征函数。求能量本征值和本征函数。xqxxV 2221)(例例2. 2. 荷电荷电 q q 的谐振子，遭到沿的谐振子，遭到沿 x x 向外电场向外电场 的作用，其势场为：的作用，其势场为：1 1解题思绪解题思绪势势V(x)V(x)是

44、在谐振子势上叠加上是在谐振子势上叠加上-q -q x x项，该项是项，该项是x x 的一的一次项，而振子势是二次项。假设我们能把这样的势场重新整理成次项，而振子势是二次项。假设我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方方式，就有能够利用知的线性谐振子的结果。坐标变量平方方式，就有能够利用知的线性谐振子的结果。2 2改写改写 V(x)V(x)xqxxV 2221)(222222221 qqx 2220202 qVqx 其其中中：0202)(21Vxx 3 3HamiltonHamilton量量进展坐标变换：进展坐标变换： pxddidxdipxxx 0那么那么 Hamilton Hamilton

45、量变为：量变为：02221202022122)(2VxpVxxpH 4 4SchrodingerSchrodinger方程方程02221222022212220)(2)(0)(2)(VEExxExxddxVxExxdd 其其中中 该式是一新坐标下一维该式是一新坐标下一维线性谐振子线性谐振子SchrodingerSchrodinger方程，于是可以利用已方程，于是可以利用已有结果得：有结果得：, 2 , 1 , 02)()(22221021 nqnVEEnEnnn )()()(02/)(2/20222xxHeNxHeNxnxxnnxnn 新坐标下新坐标下 Schrodinger Schrodin

46、ger 方程改写为：方程改写为：本本 征征 能能 量量本本 征征 函函 数数作 业n周世勋周世勋2.5n曾谨言曾谨言 3.8、3.9、3.123 3 一维势散射问题一维势散射问题 ( (一引言一引言二方程求解二方程求解三讨论三讨论四运用实例四运用实例( (一引言一引言势垒穿透是粒子入射被势垒散射的势垒穿透是粒子入射被势垒散射的一维运动问题。典型势垒是方势垒，一维运动问题。典型势垒是方势垒，其定义如下：其定义如下： axxaxVxV, 000)(0如今的问题是知粒子以如今的问题是知粒子以能量能量 E E 沿沿 x x 正向入射。正向入射。0 aV(x)V0I II IIIE二方程求解二方程求解

47、axaxVExEE000003232022121222 202)(222221VEEkk 令令：1 1E V0 E V0 情况情况 区区区区区区IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211 由于由于 E 0, E V0, 所以所以 k1 0, k2 0. 上面的方程可改写为：上面的方程可改写为： xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321 解解得得：上述三个区域的上述三个区域的 Schrodinger Schrodinger方程可写为：方程可写为：定态波函数定态波函数1,2,3 1,2,3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-iEt/

48、 exp-iEt/ 即可看出：即可看出：式中第一项为哪一项沿式中第一项为哪一项沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波。由于在负向传播的平面波。由于在 x x a a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0 C=0，于是解为：，于是解为： xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321 利用波函数规范条件来定系数。利用波函数规范条件来定系数。首先，首先， 解单值、有限条件满足。解单值、有限条件满足。1. 波函数延续波函数延续综合综合整理整理记之记之BBAAx )0()0(:021 BikBikAikAi

49、kx 221121)0( )0( :0 2. 波函数导数延续波函数导数延续 001221221221221aikaikaikaikaikaikCekeBkBekAkBkBkAkCeeBBeABBA波函数意义波函数意义aikaikaikCeeBBeaaax122)()(:32 aikaikaikCeikeBikBeikaaax12212232)( )( : 3. 3. 求解线性方程组求解线性方程组4. 4. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解方程组得求解方程组得: :AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik22122122122122222212212

50、1)()(sin)(2)()(4 为了定量描画入射粒子透射势垒的几率和被为了定量描画入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数：透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数D = JD/JID = JD/JIII II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数R = JR/JIR = JR/JI其物理意义是：描画贯穿到其物理意义是：描画贯穿到 x a x a 的的 II

51、I III区中的粒子在单位时间内流过垂区中的粒子在单位时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子在方向的单位面积的数目与入射粒子在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分那么被势垒反射回来。区，另一部分那么被势垒反射回来。同理得反射系数：同理得反射系数：AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4 2 2E V0E V0情况情况故可令：故可令： k2=ik3 k2=ik3， 其中其中k3=2(V0-E)/ k3=2(V0-E)/ 1/21/2。这样把前面公式

52、中的这样把前面公式中的 k2 k2 换成换成 ik3 ik3 并留意到：并留意到： sin ik3a = i sinh k3a sin ik3a = i sinh k3a2321322232132223212321322232123214sinh)(sinh)(4sinh)(4kkakkkakkkRkkakkkkkD 即使即使 E V0E V0，在普通情况下，透射系数，在普通情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k2=2(E-V0)/ k2=2(E-V0)/ 1/21/2，当当 E V0 E 1k3a 1时时444)(431331322412321241223212321 akkkkkakekkekkkkD)(2020220233133116EVakakkkkkaeDeDeD 故故4可略可略 akakakakakeeeakee33333241221