第3章-受弯构件正截面承载力计算

1、第三章第三章 受弯构件正截面承载力计算受弯构件正截面承载力计算Flexure Strength of RC Beams . . 受弯构件：主要是指各种类型的梁与板，受弯构件：主要是指各种类型的梁与板，土木工程中应用最为广泛。土木工程中应用最为广泛。 . . 正截面：与构件计算轴线相垂直的截面为正截面：与构件计算轴线相垂直的截面为正截面。正截面。 . . 承载力计算公式：承载力计算公式： M M M Mu u ， M M 受受弯构件正截面弯矩设计值，弯构件正截面弯矩设计值， M Mu u 受受弯构件正截面受弯承载力设计值弯构件正截面受弯承载力设计值3.1 3.1 受弯构件截面形式与构造受弯构件截

2、面形式与构造 结构中常用的梁、板是典型的受弯构件。结构中常用的梁、板是典型的受弯构件。3.1.1 截面形式截面形式 受弯构件需进行承载力极限状态和正常使用极限状受弯构件需进行承载力极限状态和正常使用极限状态的计算。态的计算。1.承载力极限状态计算承载力极限状态计算 受弯构件有两个内力（弯矩和剪力），所以应进行受弯构件有两个内力（弯矩和剪力），所以应进行抗弯强度计算和抗剪强度计算，抗弯计算又称正截面抗弯强度计算和抗剪强度计算，抗弯计算又称正截面抗弯强度计算，抗剪计算又称斜截面抗剪强度计算。抗弯强度计算，抗剪计算又称斜截面抗剪强度计算。2.正常使用极限状态计算正常使用极限状态计算 变形验算（挠度验

3、算），抗裂验算（裂缝宽度计算）变形验算（挠度验算），抗裂验算（裂缝宽度计算）2.配筋率配筋率 用下述公式表示用下述公式表示 %A0sbh)24%.(A0sbh1.受弯按配筋形式不同分为单筋受弯构件和双筋受弯按配筋形式不同分为单筋受弯构件和双筋受弯构件受弯构件单筋受弯构件：单筋受弯构件：只在受拉区配受力钢筋。只在受拉区配受力钢筋。双筋受弯构件：双筋受弯构件：受拉区和受压区均配置受力钢筋。受拉区和受压区均配置受力钢筋。3.1.2 受弯构件的钢筋构造受弯构件的钢筋构造3.混凝土保护层厚度混凝土保护层厚度：n 纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离。用。用c表

4、示表示(cover) 。n 为保证为保证RC结构的耐久性、防火性以及钢筋与结构的耐久性、防火性以及钢筋与混凝土的粘结性能，钢筋的混凝土保护层厚度混凝土的粘结性能，钢筋的混凝土保护层厚度一般不小于一般不小于 30mm； 保护层厚度与环境类别和混凝土的强度等级有保护层厚度与环境类别和混凝土的强度等级有关，查附表关，查附表1-71-7，环境类别见附表。，环境类别见附表。一、板的一板构造要求一、板的一板构造要求1.板的厚度：板的厚度：与的板的跨度及荷载有关，应满足截面最与的板的跨度及荷载有关，应满足截面最大弯矩及刚度要求，大弯矩及刚度要求，公路桥规公路桥规规定最小厚度：行人规定最小厚度：行人板不宜小于

5、板不宜小于80mm（现浇整体）和（现浇整体）和60mm（预制），空（预制），空心板的顶板和底板不宜小于心板的顶板和底板不宜小于80mm.2.板的宽度：由实际情况决定。板的宽度：由实际情况决定。3.钢筋配置钢筋配置： 板内钢筋有两种：受力钢筋和分布钢筋。板内钢筋有两种：受力钢筋和分布钢筋。受力钢筋：承担弯矩，通过强度计算确定。受力钢筋：承担弯矩，通过强度计算确定。直径：直径：单向板，不宜小于单向板，不宜小于10mm（车行）或（车行）或8mm（人（人行）。行）。间距：间距：简支板的跨中，连续板的支点处简支板的跨中，连续板的支点处,间距间距S 200mm, 在板的每在板的每m宽度内不少于三根。宽度内

6、不少于三根。分布钢筋分布钢筋 ： 作用：作用：将荷载传递到受力钢筋；固定受力钢筋；承将荷载传递到受力钢筋；固定受力钢筋；承担由于混凝土收缩担由于混凝土收缩 及温度变化产生的内力。及温度变化产生的内力。 直径：直径：行车：直径不小于行车：直径不小于8 8，截面积不宜小于，截面积不宜小于0.1%0.1%。 行人：直径不应小于行人：直径不应小于6mm6mm 间距：间距：行车：应不大于行车：应不大于200mm200mm。 行人：不应大于行人：不应大于200mm200mm4.4.板的受力筋保护层厚度：板的受力筋保护层厚度：受力筋外边缘至混凝受力筋外边缘至混凝土外表面的厚度土外表面的厚度, ,用用c表示表

7、示(cover) 。 作用：保护钢筋不生锈；保证钢筋与混凝土之间作用：保护钢筋不生锈；保证钢筋与混凝土之间的粘结力。的粘结力。 保护层厚度与环境类别和混凝土的强度等级有关，保护层厚度与环境类别和混凝土的强度等级有关，查附表查附表1-71-7。二、梁的一般构造二、梁的一般构造1.1.截面尺寸：截面尺寸：为方便施工截面尺寸应统一规格。为方便施工截面尺寸应统一规格。现浇矩形截面宽现浇矩形截面宽b b（mmmm），），120120、150150、180180、200200、220220、250250、+50+50（h 800h 800）或）或+100+100（h h 800800）. .截面宽度：截面

8、宽度：h/bh/b=22.5=22.5，2.2.梁内配筋：直径梁内配筋：直径12321232(1)(1)纵向受力筋：承受弯矩纵向受力筋：承受弯矩(2)(2)弯起钢筋：承受弯矩和剪力弯起钢筋：承受弯矩和剪力(3)(3)架立筋：形成钢筋骨架，固定箍筋，架立筋：形成钢筋骨架，固定箍筋，承担次弯矩承担次弯矩。(4)(4)箍筋：承担剪力，固定纵筋。箍筋：承担剪力，固定纵筋。(5)(5)侧向构造钢筋：承担混凝土收缩、侧向构造钢筋：承担混凝土收缩、温度变化产生的内力。温度变化产生的内力。hb3.3.梁内受力钢筋的保护层厚度及净距梁内受力钢筋的保护层厚度及净距为保证为保证RCRC结构的耐久性、防火性以结构的耐

9、久性、防火性以及钢筋与混凝土的粘结性能，钢筋及钢筋与混凝土的粘结性能，钢筋的混凝土保护层的混凝土保护层(cover)(cover)厚度一般不厚度一般不小于小于 30mm30mm；为 保 证 混 凝 土 浇 注 的 密 实 性为 保 证 混 凝 土 浇 注 的 密 实 性(consolidation)(consolidation)，梁底部钢筋的净，梁底部钢筋的净距距(clear spacing)(clear spacing)不小于不小于25mm25mm及钢及钢筋直径筋直径d d，梁上部钢筋的净距不小于，梁上部钢筋的净距不小于 30mm30mm及及1.5 d1.5 d；0mm1.5dccmin c

10、cmin cc has30d25mmd25mmddmind3.2 3.2 受弯构件正截面受力全过程和破坏形态受弯构件正截面受力全过程和破坏形态一、受弯构件正截面破坏过程一、受弯构件正截面破坏过程受弯构件正截面破坏分为三个阶段受弯构件正截面破坏分为三个阶段 第一阶段：裂缝开裂前第一阶段：裂缝开裂前 第二阶段：从开裂到钢筋屈服第二阶段：从开裂到钢筋屈服 第三阶段：从钢筋屈服到梁破坏第三阶段：从钢筋屈服到梁破坏 当荷载比较小时，混凝土基本处当荷载比较小时，混凝土基本处于弹性阶段，截面上应力分布为三于弹性阶段，截面上应力分布为三角形，荷载角形，荷载- -挠度曲线或弯矩挠度曲线或弯矩- -曲率曲率曲线基

11、本接近直线。截面抗弯刚度曲线基本接近直线。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率很小，钢筋较大，挠度和截面曲率很小，钢筋的应力也很小，且都于弯矩近似成的应力也很小，且都于弯矩近似成正比。正比。荷载增加，拉区混凝土产生塑性变荷载增加，拉区混凝土产生塑性变形，应力分布为曲线，压区仍为直形，应力分布为曲线，压区仍为直线，当受拉边缘的拉应变达到混凝线，当受拉边缘的拉应变达到混凝土极限拉应变时（土极限拉应变时（e et=e etu），为截面），为截面即将开裂的临界状态，称为第一阶即将开裂的临界状态，称为第一阶段末（段末（aa），此时的弯矩值即为），此时的弯矩值即为开开裂弯矩裂弯矩Mcr （cracking m

12、oment），第第一末为一末为受弯构件抗裂度计算依据。受弯构件抗裂度计算依据。（1 1）第）第I I阶段阶段一、一般钢筋混凝土梁正截面工作的三个阶段 荷载继续增加，钢筋的拉应力产生荷载继续增加，钢筋的拉应力产生突变，挠度变形不断增大，裂缝宽度突变，挠度变形不断增大，裂缝宽度也随荷载的增加而不断开展，中和轴也随荷载的增加而不断开展，中和轴上移。受压区混凝土产生塑性变形，上移。受压区混凝土产生塑性变形，压区应力图形逐渐呈曲线分布。压区应力图形逐渐呈曲线分布。 钢筋混凝土在正常使用情况下，钢筋混凝土在正常使用情况下，截面弯矩一般处于该阶段。所以在截面弯矩一般处于该阶段。所以在正常使用情况下，钢筋混凝

13、土是带正常使用情况下，钢筋混凝土是带裂缝工作的。裂缝工作的。裂缝宽度和挠度变形裂缝宽度和挠度变形计算，要以该阶段的受力状态分析计算，要以该阶段的受力状态分析为依据为依据。 当钢筋应力达到屈服强度时（当钢筋应力达到屈服强度时（e es = e ey），梁的受力性能将发生质的变化。），梁的受力性能将发生质的变化。此时的受力状态称为第二阶段末此时的受力状态称为第二阶段末（a）状态。）状态。（2 2）第二阶段（带裂缝工作阶段）第二阶段（带裂缝工作阶段）一、一般钢筋混凝土梁正截面工作的三个阶段 （3 3）屈服阶段（）屈服阶段（阶段）阶段） 荷载增加，钢筋应变增荷载增加，钢筋应变增加，应力不变，裂缝向上加

14、，应力不变，裂缝向上发展，压区高度减小，中发展，压区高度减小，中和轴上移，压区混凝土应和轴上移，压区混凝土应力图形不断丰满，最终受力图形不断丰满，最终受压边缘混凝土达到极限压压边缘混凝土达到极限压应变应变e ecu ，构件达到极限，构件达到极限承载力，此时截面上的弯承载力，此时截面上的弯矩即为抗弯承载力矩即为抗弯承载力Mu，也称为第三阶段末也称为第三阶段末“a”。第三阶段末为抗弯承载力第三阶段末为抗弯承载力计算的依据。计算的依据。0.40.60.81.0aaaMcrMyMu0 fM/Mu0.40.60.81.0McrMyMu0 M/Mu cr y u0.40.60.81.0aaaMcrMyMu

15、0 esM/Mu eyn裂缝开裂前裂缝开裂前-第一阶段，第一阶段，界限界限Ian钢筋屈服前钢筋屈服前-第二阶段，第二阶段，界限界限IIan梁破坏（混凝土压碎）梁破坏（混凝土压碎）-第三阶段，界限第三阶段，界限IIIa二、钢筋混凝土受弯构件正截面破坏形式二、钢筋混凝土受弯构件正截面破坏形式Failure Mode 上述梁的正截面三个阶段的工作特点及上述梁的正截面三个阶段的工作特点及其破坏特征，系指含有正常配筋率的适其破坏特征，系指含有正常配筋率的适筋梁而言。筋梁而言。 根据试验研究，当梁内纵向钢筋不同时，根据试验研究，当梁内纵向钢筋不同时，梁的正截面的破坏形式也将不同，将有梁的正截面的破坏形式也

16、将不同，将有三种破坏形式。三种破坏形式。1 1适适筋梁筋梁2 2超超筋梁筋梁3.3.少少筋梁筋梁1.适筋梁破坏适筋梁破坏- 塑性破坏或延性破坏塑性破坏或延性破坏 特征：特征： 受拉钢筋先屈服，受拉钢筋先屈服，然后受压区混凝土然后受压区混凝土压坏压坏，中间有一个中间有一个较长的破坏过程，较长的破坏过程，有明显预兆，有明显预兆，“塑塑性破坏性破坏Ductile Failure”，破坏前，破坏前可吸收较大的应变可吸收较大的应变能。能。MyMu0 MMuMyMy= Mu 2超筋梁超筋梁(Over reinforced)破坏破坏钢筋配置过多，将发生这种破坏。钢筋配置过多，将发生这种破坏。破坏特征：破坏时

17、钢筋没有达到屈服强度，破坏是由破坏特征：破坏时钢筋没有达到屈服强度，破坏是由于压区混凝土被压碎引起，没有明显预兆，为脆性破于压区混凝土被压碎引起，没有明显预兆，为脆性破坏。坏。 由于破坏时钢筋未屈服，破坏是由于混凝土压碎，由于破坏时钢筋未屈服，破坏是由于混凝土压碎，多配的钢筋不起作用，因此构件截面尺寸一定，混凝多配的钢筋不起作用，因此构件截面尺寸一定，混凝土强度等级一定时，构件有一个最大承载力。土强度等级一定时，构件有一个最大承载力。 由于钢筋没有得到充分利用，破坏为脆性破坏，因由于钢筋没有得到充分利用，破坏为脆性破坏，因此，设计时应避免，在设计时通过限制最大配筋率来此，设计时应避免，在设计时

18、通过限制最大配筋率来避免这种破坏。即：避免这种破坏。即： max 超筋破坏超筋破坏当当 min 少筋破坏少筋破坏当当 min max 适筋破坏适筋破坏3.3 3.3 正截面受弯承载力计算原理正截面受弯承载力计算原理抗弯强度（正截面承载力）：受弯构件极限破坏时所能承担抗弯强度（正截面承载力）：受弯构件极限破坏时所能承担的极限弯矩的极限弯矩Mu 正截面抗弯强度公式是根据适筋梁第三阶段末的应力状态正截面抗弯强度公式是根据适筋梁第三阶段末的应力状态建立起来的。建立起来的。tsT钢筋的拉力；钢筋的拉力；C受压区混凝土的压受压区混凝土的压 应力合力；应力合力；xc受压区的高度；受压区的高度；Tc受拉区混凝

19、土拉应受拉区混凝土拉应 力的合力；力的合力；h0受拉钢筋重心到受压受拉钢筋重心到受压区边缘的距离，也称为截面区边缘的距离，也称为截面的有效高度的有效高度Effective depth ；TcCMxxT0huc设设Z为为T到到C的距离。的距离。忽略拉区混凝土的拉力，忽略拉区混凝土的拉力，由平衡条件得：由平衡条件得：TTcx0hCxctMsuZ 0 xCT 0MCZTZMu设设AS钢筋的面积；钢筋的面积；fy钢筋的屈服强度，钢筋的屈服强度，T= AS fy 。Z和和C与压区高度及压区应力分布有关。与压区高度及压区应力分布有关。2.不考虑混凝土的抗拉强度不考虑混凝土的抗拉强度bhaAsh0 xcec

20、es一、一、 正截面承载力计算正截面承载力计算的基本假定的基本假定 1平均应变的平截面假定平均应变的平截面假定-截面的应变沿截面高度截面的应变沿截面高度保持线形关系保持线形关系MTxcTcCxtsu00 )1 (1 eeeenccfcuccfeee0 0 . 2)50(6012,kcufn002. 010)50(5 . 0002. 05,0kcufe0033. 010)50(5 . 00033. 05,kcucufe各系数查表各系数查表4-33混凝土应力混凝土应力应变应变关系的假定（本构关系）关系的假定（本构关系）4.钢筋应力钢筋应力应变关系的假定（本构关系）应变关系的假定（本构关系）yyys

21、fEeeeee e残余变形er弹性变形ee二、截面上的应力分布与等效应力图二、截面上的应力分布与等效应力图aAsbhh0 xccueyseecxcybC0d)(eCyybycxcc0d)(ecxccudyyxhbM00)()(e0hcxcfCMusyAfT cyZ5.2 正截面受弯承载力计算的基本规定等效矩形应力图等效矩形应力图 Equivalent Rectangular Stress Block可取等效矩形应力图形来代换受压区混凝土应力图可取等效矩形应力图形来代换受压区混凝土应力图简化原则：简化前后合力大小不变，作用点不变。简化原则：简化前后合力大小不变，作用点不变。0hcxcfCMusy

22、AfT cyZa1 CzMufc ycx=b1 xcsysAfT 三、基本方程三、基本方程 , 0bxfxcduMM , 0 ssdAf)2(0 xhbxfcd)2(0 xhAfMssdua1 CzMufc ycx=b1 xcsysAfT 四、基本公式适用条件四、基本公式适用条件 公式是根据适筋梁第三阶段末应力状态建立起来公式是根据适筋梁第三阶段末应力状态建立起来的，只适用于适筋梁，因此应满足：的，只适用于适筋梁，因此应满足： min max 0bhAs式中：式中：配筋率，配筋率，As受拉钢筋面积；受拉钢筋面积；b截面宽度；截面宽度； h0有效高度。有效高度。令令ycycysysffhxfbh

23、bxffbhAfbhA100100aa0hx则则sdcdff = max时的破坏形态为受压区边缘混凝土达到极限时的破坏形态为受压区边缘混凝土达到极限压应变和受拉钢筋屈服同时发生，因此压应变和受拉钢筋屈服同时发生，因此b称为称为界限界限相相对受压区高度。对受压区高度。1.最大配筋率及界限相对受压区高度最大配筋率及界限相对受压区高度界限破坏适筋梁cbcxx cbcxx cbcxx 0hcueyseeyseeysee超筋梁上图为不同破坏形态时截面上的应变分别情况上图为不同破坏形态时截面上的应变分别情况2. 最小配筋率最小配筋率适筋梁与少筋梁的界限当为最小配筋率时，构件破坏特征为一当为最小配筋率时，构

24、件破坏特征为一开裂就破坏，因此有开裂就破坏，因此有Mcr=Mu2247342bhfhhhbfMtktkcr )5 . 0(0 xhAfMsyku)5 . 01 (20bhfyk fa1 s=sAsTC=a1 fcbxMucx=b1 xcyktksffbhA36. 0min近似取近似取1-0.5 =0.98 ，h=1.1h0 ftc =Ececetuech/4h/3McryktksffbhA36. 0minytsffbhA45. 0minftk /fyk=1.4ft/1.1fy=1.273ft/fy 同时不应小同时不应小于于0.2%对于现浇板和基础底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋对于现浇板和基础

25、底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋率不应小于率不应小于0.15%。3.53.5单筋矩形截面受弯构件抗弯强度计算单筋矩形截面受弯构件抗弯强度计算基本公式基本公式 Basic Formulae000()()22cdydsducdsdsf bxfAxxMMf bx hf A hC=fcdbxTs=sAsMufcdxsdsf A20 xh fcd混凝土抗压强度设计值；混凝土抗压强度设计值；fyd钢筋抗拉强度设计值；钢筋抗拉强度设计值；b、h截面宽度和高度；截面宽度和高度；As受拉钢筋面积；受拉钢筋面积；Md设计弯矩；设计弯矩；二、适用条件二、适用条件ycbsbbffbhAhx1max00 a或(1)防止

26、超筋脆性破坏防止超筋脆性破坏(2)防止少筋脆性破坏防止少筋脆性破坏0minmin,bhAs或满足其中一条即可满足其中一条即可当当x=bh0时，达到最大承载力，因此有：时，达到最大承载力，因此有：)5 . 01 ()5 . 0(2010001maxbbcbbcubhfhhbhfMaa还应满足：还应满足：maxuMM 三、基本公式应用三、基本公式应用1.截面设计截面设计已知：已知：弯矩设计值弯矩设计值M （M Mu）求求：截面尺寸截面尺寸b，h(h0)、截面配筋、截面配筋As，以及材料强度，以及材料强度fy、fc未知数：未知数：受压区高度受压区高度x、 b，h(h0)、As、fy、fc、1基本公式

27、基本公式：两个两个没有唯一解没有唯一解设计人员应根据受力性能、材料供应、施工条件、使用设计人员应根据受力性能、材料供应、施工条件、使用要求等因素综合分析，确定较为经济合理的设计。要求等因素综合分析，确定较为经济合理的设计。0()2cdsdscdf bxf AxMf bx h1.截面设计截面设计:（已知（已知b、h0、 fc、 fy、 M ，求，求As ）先求先求x再求再求AsOK！加大截面尺寸重加大截面尺寸重新进行设计新进行设计020211cdMxhf bhbhAsmin(d)MuysTf A1cfa1cxxb/2xC0hbbhxhhx000000bbxhhx hcdssdf xAf,minm

28、inssAAbh000()()22cdydsducdsdsf bxfAxxMMf bx hf A h例：钢筋混凝土简支梁，计算跨度为例：钢筋混凝土简支梁，计算跨度为6m，外部荷载在跨，外部荷载在跨中产生的设计弯矩为中产生的设计弯矩为113.4KN.m，试确定梁的截面尺寸，试确定梁的截面尺寸和配筋，环境类型一级。和配筋，环境类型一级。解：选材料：钢筋解：选材料：钢筋级，级，fy=300N/mm2; 砼砼C25， fc=11.9N/mm2; 选截面尺寸：选截面尺寸：h=l/12=6000/12=500mm,b=h/2.5=200mm 计算内力：梁自重产生的设计弯矩计算内力：梁自重产生的设计弯矩 M

29、G=ql2/8=1.20.2 0.5 25 62/8=13.5KN.m 控制截面内力：控制截面内力：M=113.4+13.5=126.9kN.m 计算配筋：假设钢筋一排，计算配筋：假设钢筋一排，C=25mm h0=h-35= 465mm 代入基本方程解之得：代入基本方程解之得：x=133.96mm As=1062.75mm2 选选3 22 As=1140mm2验算适用条件：验算适用条件：x=133.96mm min(45ft/fy%，0.2%)0()2cdsdscdf bxf AxMf bx h说明：（1）若 max 或xbh0，说明截面尺寸说明截面尺寸 太小，要加大截面尺寸或提高材料强度重新

30、太小，要加大截面尺寸或提高材料强度重新计算。计算。（2）如计算出的钢筋一排排不下，应重新）如计算出的钢筋一排排不下，应重新按两排计算。按两排计算。（3）如，）如， min说明内力小，截面尺寸说明内力小，截面尺寸大，按最小配筋率配筋大，按最小配筋率配筋。2.截面承载力校核截面承载力校核:（已知（已知b、h0、 fc、 fy、 As ，求，求 Mu ）sdscdf Axf b适筋梁的受弯承适筋梁的受弯承载力载力Mu超筋梁的受超筋梁的受弯承载力弯承载力Mu(d)MuysTf A1cfa1cxxb/2xC0h20(1)2bbucdbMf bh00()()22ucdsdsxxMf bx hf A h素混凝土梁素混凝土梁的受弯承载的受弯承载力力Mcr？bbhxhhx000bbhxhhx000bhAAssminmin,000()()22cdydsducdsdsf bxfAxxMMf bx hf A h例：已知例：已知bh=200 450mm,砼砼C25，钢筋，钢筋HRB335，4 16 受受拉钢筋，环境一级，拉钢筋，环境一级，C=25mm，由于恒载产生的标准弯矩为，由于恒载产生的标准弯矩为MGK=40kN.m,可变荷载产生的标准弯矩为可变荷载产生的标准弯矩为MQK=25kN.m,ci=0.7,试问该梁是否安全。试