江苏省2019_2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学试题含附加题(解析版)

1、2021 2021学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一数学I一、填空题本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上11. i为虚数单位，复数 z，贝V z =1 i2. 集合 A = x 0 x 1 , B = x a 1 x 3，假设A I B中有且只有一个元素，那么实数a的值为.3. 一组数据1.6, 1.8, 2, 2.2 , 2.4，那么该组数据的方差是 .4. 在平面直角坐标系 xOy中，双曲线2y21(a > 0)的一条渐近线方程为 y x ,435.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是-,乙获胜的概率是21,那么乙不输的概率是36.右图是一个

2、算法的流程图，那么输出的x的值为C/愉出(*««)7."直线11: axy 10与直线12：4xay 30平行是“ a= 2的条件填“充分不必要、“必要不充分、“充分必要或“既不充分又不必要.等差数列耳的前n项和为Sn, a19 ,点M是曲线y = 2lnx+ x2 - 3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为.10. 3cos2 4sin(：),(,)，那么 sin2 =11. 如图在矩形 ABCD中，E为边AD的中点，AB = 1, BC = 2.分别以A , D为圆心，1 为半经作圆弧EB , EC,将两圆弧EB, EC及边BC所围成

3、的平面图形(阴影局部)绕 直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 .uuu uuu uuu12. 在 ABC中，(AB AC )丄BC ( > 1)，假设角 A的最大值为，那么实数的值6是.13. 假设函数f(x) ax(a> 0且1)在定义域m， n上的值域是m2，n2(1 < m< n )，贝U a的 取值范围是.14. 如图，在厶ABC中，AB = 4，D是AB的中点，E在边AC 上, AE = 2EC，CD与BE交于点0,假设OB = x 2 OC，那么 ABC面积的最大值为 .二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

4、字说明、证明过程或演算步骤.)15. (本小题总分值14分)在厶ABC中，角A, B, C所对应的边分别为 a, b, c,且满足bcosA , 3a sinB 0 .(1) 求 A ;(2)a = 2-、3 , B =,求厶ABC的面积.316. (本小题总分值14分)如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD丄DC , PCD为正三 角形，平面PCD丄平面ABCD , E为PC的中点.(1)证明:AP /平面 EBD ;(2)证明：BE 丄 PC.17. 本小题总分值14分某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道ll和12通过一段抛物线形状的栈道AB连通道

5、路不计宽度，11和12所在直线的距离为 0.5 百米，对岸堤岸线13平 行于观光道且与12相距1.5百米其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 13,且 交13于M ,在堤岸线13上的E, F两处建造建筑物， 其中E, F到M的距离为1 百米， 且F恰在B的正对岸即BF ± 13.1 在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；2游客视为点 P在栈道AB的何处时，观测 EF的视角/ EPF最大？请在1 的坐标系中，写出观测点 P的坐标.18. 本小题总分值16分1口1 a> b> 0的离心率为?.且2 2如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C: '斗

6、a b3经过点1，3，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线1交椭圆C于D，E 两点其中D在x轴上方.1求椭圆C的标准方程；假设厶AEF与厶BDF的面积之比为1 : 7,求直线I的方程.19. (本小题总分值16分)2 322函数f(x) x mx m x (m R)的导函数为f (x).3(1) 假设函数g(x) f (x) f (x)存在极值，求 m的取值范围；(2) 设函数h(x) f (ex) f (In x)(其中e为自然对数的底数)，对任意m R,假设2 2关于x的不等式h(x) m k在(0，)上恒成立，求正整数 k的取值集合.20. (本小题总分值16分)an, n为

7、奇数数列an ,bn，数列Cn满足Cn,n Nbn, n为偶数(1)假设 an n , bn2n，求数列 cn的前2n项和T2n ;差数列时，求证：数列(2)假设数列an为等差数列，且对任意n N , Cn 1 Cn恒成立.当数列bn为等an , bn的公差相等；数列 bn能否为等比数列？假设能，请写出所有满足条件的数列bn ；假设不能，请说明理由.第II卷(附加题，共40 分)21. 【选做题】此题包括 A , B , C三小题，请选定其中两题作答，每题 10分共计20分, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A .选修42 :矩阵与变换矩阵，且二阶矩阵 M满足AM B,求M的特征值及

8、属于各特征值的一个特征向量B .选修44坐标系与参数方程I r = 2 + cos 0在平面直角坐标系xOy中，曲线I的参数方程为.、丨：I V = V3 + cos"-以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin 。(1) 求曲线C的普通方程；(2) 求曲线I和曲线C的公共点的极坐标。C.选修45 :不等式选讲2 22z的最小值为求实x y 正数x, y, z满足x y z t (t为常数)，且49数t的值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤.22. 本小题总分值10分某商店举行促销反应活动

9、，顾客购物每满200元，有一次抽奖时机即满 200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推。抽奖的规那么如下：在一个不透明口 袋中装有编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一 个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋， 假设摸得的小球编号一次比一次大如1, 2, 5,那么获得一等奖，奖金40元；假设摸得的小球编号一次比一次小如5 , 3, 1,那么获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金 10元.1 某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；2赵四购物恰好满 600元，假设他不放弃每次抽奖时机，求他获得的奖金恰好 为60元的概

10、率.23. 本小题总分值10分抛物线C：x2 4py p为大于2的质数的焦点为F,过点F且斜率为kk 0的 直线交C于A, B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A, B处 的切线相交于点G记四边形AEBG的面积为S.1求点G的轨迹方程；2 当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？假设是，请求出所有满足条件的S 的值；假设不是，请说明理由2021 2021学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学I一、填空题(本大题共 上.)14小题，每题5 分卜，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置1.i为虚数单位，复数z1，那么，z =.答案:1 i2考点:复数解析:1 1z1

11、i1 i 2222.集合A = X0x 3，假设AI B中有且只有一个元素，那么实数a的值为.答案：2考点：集合交集运算解析：由题意知a - 1 = 1,得a= 2.3.一组数据1.6, 1.8, 2, 2.2 , 2.4，那么该组数据的方差是答案：0.08考点：方差解析：首先求得x 2,S2-(1.6 2)2 (1.8 2)2 (2 2)2 (2.2 2)2 (2.4 2)20.08.5一、x2y2、24. 在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 一21 (a>0)的一条渐近线方程为 y x ,a 43那么 a =.答案：3考点：双曲线的渐近线2 2解析：由题意知：，. a = 3.a 3

12、115. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 一，乙获胜的概率是，那么乙不输的概率是2 35答案：-6考点：概率115解析：乙不输包括乙获胜或和棋，故p= + =上.3 266右图是一个算法的流程图，那么输出的x的值为./输出囂/*答案：6考点：算法与流程图解析：第一次：x= 4, y= 16,第二次：x= 5, y= 32 ,第三次：x= 6, y= 64，此时64> 10X 6+ 3,输出x,故输出x的值为6.7“直线11： ax y 10与直线12： 4x ay 3 0平行是“ a= 2的条件填“充分不必要、“必要不充分、“充分必要或“既不充分又不必要.答案：必要不充分考点：两直线

13、平行，充要性解析：“直线11 ： ax y 1 0与直线12： 4x ay 3 0平行等价于a =± 2,故“直线11： ax y 1 0与直线12： 4x ay 3 0平行是“ a= 2的必要不充 分条件.4，那么 an&等差数列耳 的前n项和为Sn, a1 9 ,色 §95考点：等差数列及其性质S2解析：9 (n 1)( 1)Snn 10nan2n 11.n9.点M是曲线y = 2lnx+ x2 - 3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为.答案：y X 3考点：导数与切线，根本不等式2解析：k2xm 3 , Xm = 1时有最小值1，此

14、时M(1 , - 2),XM故切线方程为：y 2 x 1,即y x 3.10. 3cos2 4sin( ),(,)，那么 sin 24 41答案：-9考点：两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数，同角三角函数关系式解析：T 3cos2 4sin( ) , . 3(cos4sin )(cos sin )2.2(cos sin ),贝U sincos2.2sin 211. 如图在矩形 ABCD中，E为边AD的中点，AB = 1, BC = 2.分别以A , D为圆心，1 为半经作圆弧EB , EC,将两圆弧EB, EC及边BC所围成的平面图形(阴影局部)绕 直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为

15、 .DC解析：V12 3 -11 盘 Sb答案：23考点：圆柱与球的体积uuu uuu uuru12. 在 ABC中，(AB AC )丄BC ( > 1)，假设角 A的最大值为，那么实数的值6是.答案:3考点:平面向量数量积解析:uur (ABuuuAC)(uuu AB创22AC)cb ( 1)bccosA 0cos A1(-bC)-3，解得=3.1 c b 1213. 假设函数f(x) ax(a> 0且1)在定义域m, n上的值域是m2, n2(1 v mv n),贝U a的取值范围是2答案:(1, ee)考点:函数与导数综合解析:由题意知：f(x) ax与yx2的图像在(1 ,

16、)上恰有两个交点考查临界情形：y ax与y2x切于x0,a0x222xa0eea(1,ee).比0 In a 2x014.如图，在厶ABC中，AB = 4, D是AB的中点，E在边AC上，AE = 2EC, CD与BE交于点0,假设0B = . 2 OC，那么 ABC面积的最大值为 .MAS)答案：8伍考点：向量与解三角形、圆的综合uuuuuuumum3uuuum解析：设COCDCACBCECB2222B,O,E共线，nt3那么1,解得1l,从而O为CD中点，故OB . 2OD ,222在厶BOD中，BD = 2, OB 、2OD，易知O的轨迹为阿圆，其半径 r 2 2 ,故 Saabc 4S

17、°bod 2BD r 8. 2 -二、解答题本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.15. 本小题总分值14分在厶ABC中，角A ,B ,C所对应的边分别为 a, b, c,且满足bcosA 、3a sin B 0 .1 求 A ;(2)a = 2.3 , B =,求厶ABC的面积.3解：1由正弦定理:asin A而，得: sinBcosA .3sinAsinB 0B ABC 内角，故 sinB > 0,所以 cosA . 3 si nA ,假设 cosA 0 ,贝U sin A2 20,与 sin A cos A 1

18、矛盾，故 cosA因此tan A-.3E，又 AABC内角，所以6'asin B2由正弦定理得：b扇6，CA故 S -ab 6 .3.216. 本小题总分值14分如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD丄DC , PCD为正三角形，平面PCD丄平面ABCD , E为PC的中点.1证明:AP /平面 EBD ;2证明：BE丄PC.证明：1连结AC交BD于点O,连结OE因为四边形ABCD为平行四边形 O为AC中点，又E为PC中点，故 AP / 0E,又AP 平面EBD , 0E 平面EBD所以AP /平面EBD ;2：公PCD为正三角形，E为PC中点所以PC丄DE因为

19、平面PCD丄平面ABCD ,平面PCD I平面 ABCD = CD ,又BD 平面ABCD , BD丄CD BD丄平面PCD又PC 平面PCD，故PC丄BD又 BD I DE = D, BD 平面 BDE , DE 平面 BDE故PC丄平面BDE又BE 平面BDE ,所以BE丄PC.17. 本小题总分值14分某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道li和12通过一段抛物线形状的栈道AB连通道路不计宽度，li和12所在直线的距离为 0.5 百米，对岸堤岸线13平 行于观光道且与12相距1.5百米其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 13,且 交13于M ,在堤岸线13上的E,

20、 F两处建造建筑物， 其中E, F到M的距离为1 百米， 且F恰在B的正对岸即BF丄13.1 在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；2 游客视为点 P在栈道AB的何处时，观测 EF的视角/ EPF最大？请在1 的坐标系中，写出观测点 P的坐标.解：1 以A为原点,y轴建系11为x轴，抛物线的对称轴为由题意知：B1 , 0.5，设抛物线方程为 x22py2代入点B得：p = 1,故方程为x 2y , x 0 , 1；(2)设 P( Gt , t2), t0,2，作 PQ丄 l3 于 Q" EPQ =，/ FPQ =EQ - 2t 1 , PQ 2 t2, FQ 1、2tt

21、anEPFtan( )tan tan1 tan tantan、2t 11 、2t2 t22 t21 2t22(2 t2)t4 2t2(2t2 xx，那么:EPF2x(2x)2 2x 12xx2 2x 3当且仅当x、入，即t22.3，即t故 p(一 3 1,2.3 )时视角/ EPF最大,答：P(、.31 , 2.3 )时，视角/ EPF最大.18. (本小题总分值16分)2x如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C:二a2 y b21 (a > b> 0)的离心率为2 .且F的直线I交椭圆C于D , E3经过点(1 , -), A, B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点两点(其中D

22、在x轴上方).(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 假设厶AEF与厶BDF的面积之比为a2 1 4b2 a42 2解：(1 )设焦距为2c,由题意知：b22 2 a cb23C: -1 ;43c1c1a219(2)由(1)知：F( - 1, 0),设 I : Xmy1, D(xi, yi), e(X2 ,y2), y2 v o v y1SA BDFSa aef扣 c)y112(a c)( y?)3X1y?y13y2,x my 12222(3m4)y 6my 90,3x 4y 12V 144(m2 1), y1,23m 6 m213m24yy6m3m2 49-23m4由得：y29m22(3m4)2

23、1m22(3m4)2代入得:189m92 2 24(3m4) 3m 4因此，直线I的方程为y 3x 3 .4419. (本小题总分值16分)2函数f(x)x3 mx23m2x (m R)的导函数为f (x).(1)假设函数 g(x) f (x)f (x)存在极值，求 m的取值范围;(2)设函数h(x) f (ex) f (In x)(其中e为自然对数的底数)，对任意m R,假设 关于x的不等式h(x) m2 k2在(0,)上恒成立，求正整数 k的取值集合.2 322oo解：(1)因为 f (x) x mx m x，所以 f (x) 2x2 2mx m2,3所以 g(x) f (x) f (x)

24、 - x3 (m 2)x2 (m2 2m)x m2 ,那么 g(x) 2x22(m2)x m2 2m ,由题意可知4(m 2)2 8(m2 2m) 0,解得 m ( 2,2)；(2)由(1)可知，f (x) 2x2 2mx m2,所以h(x)c 2x2e2mex2(In x)22mIn x2m2因为h(x)c 2x2e2mex22(In x)2mIn xc 22, 22m m k整理得m22(exIn x)m2e2x2(Inx)2k20，设 H(x)ex Inx，那么H(x)ex0，所以H(x)单调递增，x又因为H(m 1、e )em 1em1 m且昨2l-Z Jem 1+ m- em ,胡八

25、：严x所以存在，使得H (x) e In x m,设 F(m) m2 2(ex In x)m 2e2x 2(ln x)2 k2 ,那么 F(m)min F(ex In x) (ex In x)2 k2,11设 G( x) e In x,那么 G (x) e , G (x) e 2 ,xxA_所以G (x)单调递增，因为 G(y 込 2 0, G (1) e 101 1所以存在xo ( ,1)，使得G(Xo) 0，即e'2 x且当 x (0, xJ 时，G (x) 0，当 x (x°,)时，G (x) 0，所以G(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0,)上单调递增，x 1所

26、以 G(x)min G(X。)ex0 Inx。x。x01 15因为 x ( ,1)，所以 G(x°) x°(2,-)，2 x。2又由题意可知(G(x)2 k20,所以(G(x)min)2 k2 (G(x°)2 k20，解得k Gx。，所以正整数k的取值集合为1 , 2.20.本小题总分值16分._ tan, n为奇数数列an ，b，数列Cn满足G，n N .bn，n为偶数1假设 ann，bn2，求数列 Cn的前2n项和T2n ；2假设数列an为等差数列，且对任意nN , Cn 1 Cn恒成立.当数列bn为等差数列时，求证：数列an , bn的公差相等；数列 bn能

27、否为等比数列？假设能，请写出所有满足条件的数列bn ；假设不能，请说明理由.解：1因为 an n , bn 2n，所以 an 2 a 2，4 且 g a 1， c2 b2 4bn由题意可知，数列 C2n 1是以1为首项，2为公差的等差数列，数列qn是首项和公比均为 4的等比数列,所以T2nn(n 1) 2 4(1 4n)21 44n2 设数列 an的公差为d，数列bn的公差为d1，当n为奇数时，Cn ana1 (n 1)d , Cn 1bn 1bind1右d1 d，那么当ndb1时，Cn 1 Cn(d1d)nda10 ,d1d即Cn 1 Cn ,与题意不符,所以d1 d ,当n为偶数时，Cn

28、bnbi (n 1)d1, Cn 1an 1a1nd ,假设d1d，那么当n1时，Cn 1Cn(ddjn印 d1b-i0 ,dd1即Cn 1 Cn ,与题意不符，所以d1 d，综上，d1 d，原命题得证；假设bn可以为等比数列，设公比为q.因为Cn 1Cn,所以Cn2Cn 1Cn，所以a.2a.2d 0，上q21，bn因为当1 log q|4dbi (q21)时'所以当bnbn|(q1) |b q(q2 1)4d ,n为偶数，且an 1bnan1 时，bn2 (a n 1, an 3)，Cn 2 Cn 3不成立，与题意矛盾，即当n为偶数，且cn 1 Cn Cn 1时，Cn 1所以数列b

29、n不能为等比数列.第II卷附加题，共40 分21. 【选做题】此题包括 A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每题 10分共计20分, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A .选修42 :矩阵与变换I 3 一 F-2 31 矩阵斗二占=2 1I lj及属于各特征值的一个特征向量。a b1 3 a解：设矩阵M=，贝y am=c d21 Ca3c2b3d32aC1所以2bd1 ,解得a1,b0,c那么矩阵M的特征方程为f)(1)2irx设特征值1的特征向量为y二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值ba3c b3d23d2ac 2bd11101,d1所以M =110，解得1 ,即特征值为1,Ii

30、r出Mxx即x yy，解得x= o,所以属于特征值的1的一个特征向量为01B .选修44坐标系与参数方程I r = 2 * cos 0在平面直角坐标系xOy中，曲线I的参数方程为,_i -'曲线C的极坐标方程为4sin。j y v3 + 2V3 cos-即:x2(y 2)2cos22cos2、3 2、3(2)C023(2C0i1)2 x3x24,3x(1) 求曲线C的普通方程；(2) 求曲线1和曲线C的公共点的极坐标.解:(1 )曲线C的极坐标方程为4sin ,以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,24 sin ，那么 x2y2 4y(舍)或x .3 ,公共点(3 , 3)，

31、极坐标(2 3 ,).32 2x y 28z正数x,y, z满足x y zt (t为常数)，且49的最小值为7，求实数t的值。222-t22丄t2xy_2 x zy9丄229丄2t zt解:因为49449919619614C.选修45 :不等式选讲t(xz)-t2142即2厶z2-t2，当且仅当x -t , y刍,zt时，上述等号成立4914714141 2 8 2所以 一t，即 t 16，又 x, y, z> 0,二 x y z t = 4.147【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤.22. 本小题总分值10分某商店举行促销反

32、应活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖时机即满 200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推。抽奖的规那么如下：在一个不透明口 袋中装有编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出 一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，假设摸得的小球编号一次比一次大如1, 2, 5,那么获得一等奖，奖金 40元；假设摸得的小球编号一次比一次小如 5,3, 1,那么获得二等奖，奖金 20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.1 某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；2赵四购物恰好满 600元，假设他不放弃每次抽奖时机，求他获得的奖金恰好为60元的概率.解：由题意知，随机变量X的可能取值为