第九章习题课重积分

1、第九章 习题课重积分重积分一一 基本要求基本要求1理解重积分的概念理解重积分的概念.2了解重积分的性质，明确重积分是定积了解重积分的性质，明确重积分是定积分的推广分的推广.3掌握二重积分的计算方法（直角坐标掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标），会计算简单的三重积分（直角极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标柱面坐标球面坐标）坐标柱面坐标球面坐标）.4会用重积分求一些几何量和物理量会用重积分求一些几何量和物理量.二.要点提示 二重积分是定积分的推广，其计二重积分是定积分的推广，其计算方法是化为二次积分来计算。三算方法是化为二次积分来计算。三重积分可以化为一个单积分和一个重积分可以化为一个单

2、积分和一个二重积分或三次积分来计算。二重积分或三次积分来计算。1. .重积分的计算重积分的计算二重积分：二重积分：a. 在直角坐标系下在直角坐标系下 12,yxyyxaxb 21,yxbdayxfx y dxdydxfx y dy ab xyy2 xyy1则则 （先（先y后后x） x-型区域型区域:若积分区域若积分区域d可表示为可表示为 若积分区域若积分区域d可表示为可表示为y-型区域：型区域： 21,xyddcxyfx y dxdydyfx y dx cd yxx1 yxx2 12:,d xyxxycyd若若d 不是不是x-型、型、y-型型区域，可由重积分的区域，可由重积分的可加性来计算可加

3、性来计算.则则(先先x后后y)b. 在极坐标下在极坐标下 （一般总是先对（一般总是先对r 积分后对积分后对 积分）积分）: 21,cos ,sinrdrfx y ddfd 1 2 012, 则则d: 若若d不包含极点，不包含极点， 若若d包含极点包含极点. d: 0,02 200,cos , sinrdfx y ddf rrrdr o rr 则则 可以把复杂的二次积分化为较简单的可以把复杂的二次积分化为较简单的二次积分。二次积分。 一般步骤为一般步骤为 所给二次积分所给二次积分 将将d表示为不等式表示为不等式画出积分域画出积分域 d 的新的不等式表示的新的不等式表示新的二次积分新的二次积分.交

4、换积分次序交换积分次序 三重积分：三重积分：设设 在空间有界区域在空间有界区域 上连续，上连续， 1212( , )( , )( )( )zx yzzx yy xyyxaxb , ,ufx y z : , ,fx y z dxdydz 2211()( , )()( , )( , , )byxzx yayxzx ydxdyf x y z dz a. 直角坐标系直角坐标系 先二后一先二后一(截面法）截面法）设设 在在 轴上的投影区间轴上的投影区间为为 ，有界闭区域，有界闭区域 为平行于为平行于 面的面的 的任的任意截面，则意截面，则( )( , , )( , , )d zf x y z dvf x

5、 y z dxdy dz z , xoy( )d zxyzozdz1c2cb.柱面坐标系（图柱面坐标系（图9-6）柱面坐标与直角坐标的关系如下：柱面坐标与直角坐标的关系如下：面积元素为面积元素为 cossinxyzz 1212( , )( , )( )( )zzz :2211( )( , )( )( , )( , , )( cos , sin , )rz rrz rf x y z dxdydzdrdrf rrz dz d d dz c.球面坐标系（图球面坐标系（图9-7）球面坐标与直角坐标的关系如下：球面坐标与直角坐标的关系如下：体积元素为体积元素为 sincossinsincosxryrzr

6、2sinrdrd d 1212( , )( , )( )( )rrr :2211( )( , )2( )( , )sin( sin cos , sin sin , cos )ddf rrrr dr , ,f x y z dxdydz2.二重积分的对称性二重积分的对称性（1）如果）如果d关于关于 轴对称，则轴对称，则 ，有，有 其中其中（2）如果）如果d关于关于 轴对称，则轴对称，则 ，有，有其中其中 y( , )x yd10,( , )( , )2( , ).( , )ddf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx关于 为奇函数关于 为偶函数 10( , )|( , ),

7、dx yx yd x x( , )x yd202,( , )( , )( , ).( , )ddf x yf x y dxdyf x y dxdyf x y 关关于于y为y为奇奇函函数数关关于于y为y为偶偶函函数数 2( , )|( , ),0dx yx yd y （3）如果）如果d关于原点对称，则关于原点对称，则 ，有，有其中其中 同上。同上。（4）如果）如果d关于直线关于直线 对称，则对称，则 ( , )x yd120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )dddfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或或

8、12,d dyx( , )( , )ddf x y dxdyf y x dxdy1.( , )df x y dxdy问题 将，22:1,0d xyy1110( , )( , )df x y dxdydxf x y dy化为二次积分，下面的做法对吗？答：不对。正确的是答：不对。正确的是211-10( , )( , )xdf x y dxdydxf x y dy三 问题与思考问题问题2. 选择积分次序计算二重积分应该选择积分次序计算二重积分应该考虑哪些方面考虑哪些方面? 交换积分次序的步骤是什么交换积分次序的步骤是什么?答：两个方面，被积函数和积分区域答：两个方面，被积函数和积分区域. 步骤是：由

9、累次积分的积分限，还原出步骤是：由累次积分的积分限，还原出积分区域，再将重积分按照新的次序化为积分区域，再将重积分按照新的次序化为二次积分二次积分.问题问题3. 针对积分区域和被积函数的特点针对积分区域和被积函数的特点,如何选取直角坐标和极坐标以计算二重积分如何选取直角坐标和极坐标以计算二重积分?如何选取直角坐标、柱面坐标和球面坐标以如何选取直角坐标、柱面坐标和球面坐标以计算三重积分计算三重积分?答：若积分区域为圆（部分）域、扇形答：若积分区域为圆（部分）域、扇形或扇面等，被积函数中含有或扇面等，被积函数中含有 ，则常采用极坐标计算二重积分。则常采用极坐标计算二重积分。22xy 如果积分区域为

10、球形域或部分球域，被积如果积分区域为球形域或部分球域，被积函数化为球面坐标形式比较简单函数化为球面坐标形式比较简单222()f xyz等形式），利用球面坐标计算三重积分常能等形式），利用球面坐标计算三重积分常能简化运算简化运算. 如果积分区域在某坐标面上的投影为圆域、如果积分区域在某坐标面上的投影为圆域、扇形域、圆环域或它们的一部分，被积函数扇形域、圆环域或它们的一部分，被积函数化为柱面坐标形式比较简单（比如化为柱面坐标形式比较简单（比如 等形式），则利用柱面坐标计算三重积分常等形式），则利用柱面坐标计算三重积分常能简化运算能简化运算.22()f xy问题问题4写出在不同坐标下的二重积分的写出

11、在不同坐标下的二重积分的面积元素和三重积分的体积元素。面积元素和三重积分的体积元素。体积元素体积元素:直角坐标：直角坐标：柱面坐标：柱面坐标：球面坐标：球面坐标：dvdxdydz 答：面积元素答：面积元素:直角坐标：直角坐标：极坐标：极坐标：ddxdy ddd dvdrd dz 2sindvrdrdd 四 典型题目 21.10 01 01 1dx dxdyd求， 是以， 、 ， 和，为三顶点的三角形区域为三顶点的三角形区域. 2.143dxydxdy求，: 22, 11dxy 223.dxy dxdy求，22:0,2d yyx xyx围成.1001.:,dyxx解解1220011xdx dxd

12、ydxx dy 112200011xxydxx xdx1322011(1)33x 若改变积分次序，计算繁若改变积分次序，计算繁.2.解解 由对称性，有由对称性，有0,4dxdxdy 0,3dydxdy 143dxydxdy1ddxdy4dxdxdy3dydxdy12 48ddxdy注意：注意：143dxydxdy1141,:02,01.43dxydxdy dxy3.:02cos04d 解解，2cos222400dxy dxdydr dr340240123813( cos )(sin)cos dd3408110(sinsin)|2339,ixyzdv222:1xyz 第第一一卦卦限限部部分分.

13、.4.分别用三种不同的坐标和先二后一法计算分别用三种不同的坐标和先二后一法计算222111000 xxyixdxydyzdz解解 直角坐标：直角坐标：21122001(1)2xxdxyxydy122011(1)848xxdx柱面坐标：柱面坐标：cossinirrz rdrd dz 21132000123220014601141 1114 4648sincossin|()rdr drzdzrrdrrr 球面坐标球面坐标：2sincossinsincossinirrrrdrd d122000cossinsincos1111sin|sin|24648ddr drr 先二后一法先二后一法：222100:,zdxyzxy 取取10zdizdzxydxdy21134000cos sinzzdrdr dz11224001(1)cos sin4zzdzd 124622001 12111sin|4 246248zzz注：如果被积函数只依赖于一个变量，注：如果被积函数只依赖于一个变量，而以该变量去截积分区域而截面的面积而以该变量去截积分区域而截面的面积又容易求得时，用又容易求得时，用“先二后一先二后一”法来计算法来计算三重积分常常能简化运算三重积分常常能简化运算. 5.分别利用定积分，二重积分和三重积分分别利用定积分，二重积分和三重积分计算旋转抛物面