自动控制理论课件7-4

1、7.5 7.5 离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析 线性连续系统的稳定性分析是基于闭环特征根在s平面中的位置，若闭环特征根全部位于虚轴以左，则系统稳定。那么，如何根据线性离散系统的闭环特征根在z平面上的位置来分析系统的稳定性呢？ 7.5.1 7.5.1 从从s s平面到平面到z z平面的映射平面的映射令复变量 ：js()jTTj TzeeeTezzT sTez s s平面平面z z平面平面0虚轴0左半平面0右半平面| 1z 单位圆| 1z 单位圆内| 1z 单位圆外| 0z 原点jyz平面平面1x0s2s2 s4s4 0s平面平面js2js2js32js32j0辅频区辅频区主频区

2、7.5.2 7.5.2 线性定常离散系统稳定的充分必要条件线性定常离散系统稳定的充分必要条件考虑线性定常离散系统01( )( )( )( )1( )1mim iinin iibzC zG zzR zGH zaz 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。离散系统是稳定的。线性定常离散系统的稳定性是由系统的结构和参数决定的，与输入信号无关，因此，若系统稳定，则该系统在零初始条件下的单位脉冲响应将能够收敛到零。求单位脉冲响应：011( )1mim iniiniiin iibzAzC zzzaz(1,2,

3、 )iz in是离散系统的闭环极点1 1221( )(0,1,2,)nkkkkiinnic kAzA zA zA zk经Z反变换：lim ( )0kc k可见，要使，必须满足条件：1iz 线性定常离散系统稳定的充要条件为：线性定常离散系统稳定的充要条件为： 或者说，用复变量s表示的闭环特征方程 的所有特征根 均分布在s左半开平面上。*( )0D s (1,2, )is in(1,2, )iz in闭环特征方程 的所有特征根 均分布在z平面上以原点为中心的单位圆内。( )0D z 例例7-287-281K 1Ts试分析图示闭环系统的稳定性。解：解：121(1)(1)(z)(1)(1)(1)()T

4、TTTeTzeTeGzZsszze2( )1(z)0.6320D zGzz 当T=1s时，有120.50.618,0.50.618zjzj 120.7951zz故闭环系统稳定。11wwz.3 线性定常离散系统的稳定判据线性定常离散系统的稳定判据 思路：思路：连续系统中的劳斯稳定判据是判别系统特征根是否全部在s左半开平面，而在z平面内，稳定性取决于特征根是否全部在单位圆内，因此劳斯判据不能直接应用。所以需要再寻找一种新的变换，使z平面的单位圆内部映射到一个新的平面的左半部分而又不至于出现超越函数，在这样的平面上就可直接应用劳斯判据了。问题：问题：对于高阶离散系统，直接求解系统的特

5、征根一般很困难。能否找到与s平面中的劳斯判据、赫尔维茨判据类似的代数判据？（1 1）w w平面的劳斯稳定判据平面的劳斯稳定判据 z z平面到平面到w w平面的映射平面的映射 w变换 （或称双线性变换）：zxjywujv 即11zzw令令1111zxjywujvzxjy2222) 1(1yxyxuW的实部为z z平面平面w w平面平面0u 虚轴0u 左半平面0u 右半平面221xy单位圆221xy单位圆内221xy单位圆外1)求出离散系统的特征方程 D(z)=0;W域判稳的步骤：域判稳的步骤：2)对D(z)=0 进行w变换，整理后得D(w)=0；3)应用劳斯判据判断离散系统的稳定性。222222

6、12(1)(1)xyyjxyxy例例7-297-29 设离散系统的特征方程为 03911911745)(23zzzzD试判断系统稳定性。解：解：11wwz将 代入特征方程0391111911117114523wwwwww两边同乘(w-1)3,化简后得 04022)(23wwwwD3210wwww1224018040计算劳斯表第一列有两次符号改变，说明有两个根在W平面的右半平面，或者说有两个根在Z平面的单位圆之外，系统不稳定。（2 2）z z平面的朱利稳定判据平面的朱利稳定判据 朱利（Jury）判据是直接在z平面使用D(z)=0的系数判稳的代数判据，与连续系统的赫尔维茨判据类似。 2012( )

7、0nnnD zaa za za za利用特征方程的系数构造2n-32n-3行，n+1n+1列朱利矩阵：00,1,1n kknkaabknaa0110,1,2n kknkbbcknbb 030201012303132ppppppqqqpppppp00,1,1n kknkaabknaa0110,1,2n kknkbbcknbb 030201012303132ppppppqqqpppppp(1)0,( 1)( 1)0nDD0010202,nnnaabbccqq特征方程D(z)=0的根均位于z平面单位圆内的充分必要条件为:并且下列n-1个约束条件成立：朱利判据：朱利判据：讨论：讨论：采样周期和保持器对

8、离散系统稳定性的影响 与连续系统一样，离散系统的稳定性受到系统零极点分布、开环增益和延迟时间等因素的影响，但同时还受到采样周期T的影响。p 对于离散系统，当采样周期一定时，增大开环增益会使系统稳定性变坏甚至不稳定；当开环增益一定时，加大采样周期会使系统稳定性变坏甚至不稳定。 p 系统中的零阶保持器也会影响系统的稳定性。当采样周期T较小时，有无保持器对系统稳定性影响不大。但是当T较大时，保持器将产生较大的相位滞后，从而使系统的稳定性变差。 离散系统分析方法：时域法时域法、根轨迹法和频域法。 7.6.1. 7.6.1. 线性定常离散系统的单位阶跃响应性能线性定常离散系统的单位阶跃响应性能 *( )

9、c t( )c t求离散系统的时间响应表达式 ，用 各采样时刻的值连成的光滑曲线近似系统的实际输出响应曲线 ，可以计算瞬态性能指标。*( )c t1K 1Ts( )1( )r tt试分析系统的瞬态性能。例例7-337-331Tses(1)Ks s( )R s( )C s解：解：(1)(1)(z)(1)()TTTTeTzeTeGzze前面已求出本例的开环脉冲传递函数为7.6 7.6 离散控制系统的瞬态性能分析离散控制系统的瞬态性能分析 0.3680.264(1)(0.368)zzz2( )0.3680.264(z)1( )0.632G zzG zzz2320.3680.264( )(z) ( )

10、21.6320.632zzC zR zzzz ( )1zR zz121230.3680.264( )1 21.6320.632zzC zzzz1234560.36470.895zzzzzz0()kkc kT z*0( )() ()kc tc kTtkT单位阶跃响应表达式 5% （）%40%超调量12sts调节时间0.9610.9730.368470.8950.8020.8680.9931.0771.0811.0320.9817.6.2 7.6.2 用用z z变换法分析离散系统的局限性和条件变换法分析离散系统的局限性和条件 问题：问题：用z变换法只能求出系

11、统在采样时刻的输出值，得到的是 ，是否只要将 在采样点上的值连接起来就是c(t)呢？两者之间有什么差异？ *( )c t*( )c tG( )0.368Tzzzzez*()c t1s+ 1( )c t*()e t( )e t()r t例例7-34 7-34 输入信号r(t)=1(t), T=1s试比较c*(t)和c(t)。 解：解： 22( )0.3680.368( )1( )20.368122.3680.368R zzzzzE zG zzzzz1234560.50.4080.3910.3880.38750.38750.3875zzzzzz*23456( )0.50.4080.3910.388

12、0.38750.38750.3875ssssssE seeeeee*( )0.5 ( )0.408 (1)0.391 (2)0.388 (3)0.3875 (4)e tttttt2）用拉氏变换求系统实际的输出信号c (t)： *( )( )( )C sG s Es2345610.50.4080.3910.3880.38750.38750.38751sssssseeeeees(1)(2)(3)( )0.51( )0.4081(1)0.3911(2)0.3881(3)ttttc tetetetet(4)(5)(6)0.38751(4)0.38751(5)0.38751(6)tttetetet 22

13、( )( ) ( )22.3680.368zC zG z E zzz1234560.50.5920.6090.6120.6130.6140.614zzzzzz1）用z变换法求c*(t)： *( )0.5 ( )0.592 (1)0.609 (2)0.612 (3)0.613 (4)c tttttt0.614 (5)0.614 (6)tt& 因为连续环节 对输入脉冲序列e*(t) 不具有平滑作用，所以在采样点处出现跳变。若G(s) 的极点个数比零点个数多两个以上，即满足条件：G( )11sslim( )0ssG s则连续输出信号c(t)在采样点不会产生跳变，这时，将c*(t)在采样时刻的

14、值光滑连接起来可以近似表示c(t)，否则会产生很大的误差。 若在图示系统中加入零阶保持器，由于零阶保持器可以近似表示为一阶惯性环节，这时就可以满足条件。 讨论：讨论：& 使用z变换法无法求得c(t)在采样间隔中的值。若要获得在采样间隔中的信息，可以采用扩展采用扩展z z变换法或称修正变换法或称修正z z变换法变换法。 设系统的闭环脉冲传递函数为 当输入信号r(t)=1(t), 且(z)无重极点时，有 7.6.3 7.6.3 离散系统闭环极点分布与瞬态响应的关系离散系统闭环极点分布与瞬态响应的关系 11101110( )mmmmnnnnb zbzb zbza zaza za11()()m

15、iminniizzbazp1011()( )( )( )11()minmiininiiizzbA zAzzC zzR zazzzpzp 闭环零点闭环极点01()(0,1,2,)nkiiic kTAA pk瞬态响应分量 是收敛还是发散、单调还是振荡，完全取决于极点pi在z平面上的位置，下面分几种情况进行讨论。kiiA p1)当0pi1时，极点位于z平面单位圆内的正实轴上，该瞬态响应分量为单调收敛，且越靠近原点，其值越小，收敛越快。2)当-1pi1或pi1为正实根，对应的瞬态分量为单调发散；当pi-1时，为负实根，对应的瞬态分量为正、负交替发散。 4）当pi=1或pi=-1时，极点位于单位圆与实轴

16、的交点。当pi=1时，对应的瞬态分量为等幅脉冲序列；当pi=-1时，对应的瞬态分量为正、负交替的等幅振荡。振荡角频率 ， 越大，振荡频率越高。 /iiTi5）当pi和pi+1为一对共轭复数极点时，对应的瞬态分量为11111kkiiiiiiiiAzA zZA pApzpzp,1iji iippe,1iji iiAAe11iiiikkjjkjjkkkiiiiiiiiA pApA epeA epe()()2cos()iiiikkj kj kiiiiiiApeeA pk当 时，为发散振荡的脉冲序列；当 时，为等幅振荡的脉冲序列；当 时，为衰减振荡的脉冲序列，极点越靠近原点，衰减越快。 1ip 1ip 1ip 上面所作的定性分析说明上面所作的定性分析说明：系统的极点位于z平面单位圆内，则该极点所对应的瞬态分量总是衰减的，极点离原点越近，衰减越快。极点在单位圆内正实轴上为单调衰减；在单位圆内负实轴上以角频率/ T正负交替衰减。极点为共轭复数时，以角频率i/ T 按照余弦规律振荡衰减，并且，复数极点位于左半z平面所对应的振荡频率要高于右半z平面。所以，在设计离散系统时，应将闭环极点安置在应将闭环极点安置在z z平面右半平面的单平面右半平面的单位圆内，并且尽量靠近原点，