第二章2两个重要极限和利用等价无穷小求极限

1、1sinlim. 10 xxx, 0sinlim0 xx两个重要极限两个重要极限（第一个重要极限）（第一个重要极限）预备知识：预备知识： , 1coslim0 xx, 0tanlim0 xx.cotlim0 xx.00型型2.6 两个重要的极限两个重要的极限 一般公式一般公式,1)()(sinlim)(0 xxxxx时，时，其中当其中当)(0 xx. 0)(x例例1 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例2 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 则则,sintx 因

2、此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例 3 求求20cos1limxxx20cos1limxxx解解 2202sin2limxxx220242sin2limxxx2122sinlim2120 xxx例例 4 求求 30sintanlimxxxx解解 20cos1limxxx30sintanlimxxxx30)cos1 (tanlimxxxxxxxtanlim020cos1tanlimxxxxx.21ettt10)1 (limennn)11 (limexxx11lim（函数形式）（函数形式）（数列形式）（数列形式）)1(第二个重要极限第二个重要极限.)(11lim)()

3、(0exxxxx一般形式一般形式 .)()(0 xxx时，时，其中当其中当.11limxxx解解: 令令, xt则则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1例例1. 求求例例2. 求求xxxx1lim22xxxx1lim22xxxxxx11lim解解xxxx1limxxxx1limxxxxxx111lim111lim. 1111ee2.7 利用等价利用等价无穷小量无穷小量代换求极限代换求极限 定理定理1 设设)(lim0 xxx, 0)(lim10 xxx),()(1xx且且则则)()(lim0 xfxxx)()(lim10 xfxxx证明证明)()(lim

4、0 xfxxx)(lim110 xfxx).()(lim10 xfxxx)(lim0 xxx)(lim0 xxx,0)(lim10 xxx,0)(lim10 xxx),()(1xx),()(1xx定理定理2 设设)()(lim110 xxxx存在，存在，则则)()(lim0 xxxx.)()(lim110 xxxx0limxx10limxx11110limxx110limxx10limxx证明证明1lim1110 xx110limxx几个常用的几个常用的等价无穷小量等价无穷小量. ,sinxx当当x 趋于趋于0 时时,tanxx,sintanxx,arcsinxx,2)cos1 (2xx,11

5、nxxn,)1ln(xx.) 1(xex, 0)()(0 xxx时，时，若当若当,)(0时时则当则当 xx),()(sinxx),()(tanxx),(sin)(tanxx),()(arcsinxx),()(1lnxx),() 1()(xex,2)()(cos1 (2xx.)(1)(1nxxn这些等价的无穷小量常常在求极限时用来进行等价这些等价的无穷小量常常在求极限时用来进行等价 无穷小量的代换，简化极限的运算无穷小量的代换，简化极限的运算. 课本课本79页例题页例题20sin)1ln(tanlimxxxx例例1 求求解解20sin)1ln(tanlimxxxx1lim20 xxxx230ar

6、ctan1sin1limxxxx例例2 求求解解20sin31limxxxx230arctan1sin1limxxxx31sinlim310 xxxxxxx30sinsintanlim例例3 求求解解xxxx30sinsintanlimxxxx30sin)cos1 (tanlim212lim320 xxxx)1ln(sinsinlim0 xxx例例4 求求)1ln(sinsinlim0 xxx1sinlim0 xxx解解1cos1)1 (lim3120 xxx例例5 求求1cos1)1 (lim3120 xxx23lim220 xxx解解320 x时时,11nxxn1例例6. 证明证明: 当当