结构动力分析1-1

1、 这些基础知识在后面具体方法中都会用到，因此首先介绍这些内容。本章主要介绍：向量的内积、正交等概念矩阵相似变换、正交变换概念标准特征问题基本性质向量正交化方法（GS方法）矩阵三角分解、QR分解 *（ * 通过H变换和Givens变换实现QR分解 ）第一章第一章 基基 础础 知知 识识 第 一 章基基 础础 知知 识识 引 言11 向量的内积和正交向量的内积和正交一、向量空间一、向量空间 子空间子空间1、实数域实数域：n 维实向量x的全体（集合）称为 n 维线性空间，记为R n则复数域复数域：n 维复向量x的全体，记为C n ，则 nRx nCx 均为线性空间 第 一 章基基 础础 知知 识识第

2、一节 向量的内积和正交称为实空间。另外：nmRnmC是mn阶实矩阵 集合。 A A是mn阶复矩阵 集合。均为线性空间。称为复空间。nmRnmC和2、子空间的概念子空间的概念设有 nmRxxx21个向量：nR由这 m 个向量的任何线性组合所构成的集合： 121|,mniimixxR 称为的由 mxxx21所生成的子空间，记为 mxxspan1 mxx1nm 称为生成向量。 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交特别当 mxx1子空间的维数 = mnR mxxxspan,21即是的一个m维子空间。二、向量的内积和正交二、向量的内积和正交1、向量内积的定义向量内积的定义设有 nRy

3、x,在实数域线性空间中定义内积：则 iiTyxxyyx,nR在中定义了内积的向量集合 称为 n 维欧几里德空间（或称为内积空间） 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交线性无关时，在复数域上两向量内积定义：则如设 nCyx, iiHyxxyyx,（复数域上 n 维线性空间nC内积定义） nHyyyy11转置共轭。2、内积的性质、内积的性质（共4条）（1）对称性质 xyyxxyyx,实数域复数域 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交时，就是常说的几何空间。3n 当式中（2）线性性质 ,:,nxyxyRxyxy实数域为实数证： yxyxCn,:C,复数 yxx

4、yxyyx,（由性质（1）得）证毕。 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交（3）结合性 ZyZxZyx,（4）正定性 0,yx当 0 x时，内积0当且仅当 0 x时， 0,yx 有了“内积”定义，我们就可以定义向量的模和向量的夹角。 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交向量的模（或长度，或欧几里德范数）定义：例如：则 模： 122,(,)xxxxx 121 1 1 ,1 4 2xx 211112222222222222(,)1113(,)14221iixxxxxxxx 3、向量的模、夹角与正交、向量的模、夹角与正交 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节

5、 向量的内积和正交向量的夹角 由（许瓦兹）Schwarz不等式 22,xyxy即 ：两向量内积绝对值两向量模的乘积。 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交 2,xyxxyy上式两边平方，即 22,1xyxy即：因此，可根据Schwarz不等式定义两向量 之间的夹角： 22cosxyxyarcxy， x y y x和cos1 22,cos1xyxy则角描述了两向量之间的相关程度。 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交可见：二向量之间的夹角越小，其相关程度越大；二向量之间的夹角越小，其相关程度越大；当当为零时，二向量相互平行为零时，二向量相互平行线性相关。线

6、性相关。即 1cos 10 xy， xy2当时， 0,xyyxT反之，若 0,xyyxT则2 x y两向量正交两向量正交！ 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交两向量正交的概念（由内积定义引出）：定义：设 )(,向量空间nnRRyx若 0,yx则称 x与 y正交。记为 yx 特别当 122yx时，且 yx 称 x与 y相互规范正交相互规范正交，（规一化规一化！）说明：复数域上 n 维线性空间nC中向量的模，向量间夹角与两向量正交的概念与nR中完全相同。 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交不再重复叙述。 KM三、广义内积、模、正交、规范正交三、广义内积、

7、模、正交、规范正交 工程实际一般要求特征问题为称为广义特征问题。因此需引出广义加权内积、加权规范化广义加权内积、加权规范化和加权加权正交正交等概念。这里的权表现为质量矩阵。设M是正定的对称质量矩阵 ,n nnMRxyR1、广义内积定义、广义内积定义 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交 11nnTijj iijMM xyyM xmx yxy，可以证明：当M对称正定时，即广义内积满足前面内积的4条性质，否则将不具有前4条性质！2、广义模定义：、广义模定义： 212121,xMxxxMxxxTMM3、广义正交定义、广义正交定义： 0,Myx当时，称 x与 y广义正交，即 0 x

8、MyT 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交TMM4、正交组及规范正交组、正交组及规范正交组 若 m 个向量 mxxx，21中两两相互正交，即： 0jixx， 0Mjixx，即 0iTjxx即0iTjxMx则 mxxx，21构成了正交组正交组。 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交 mjixxx，构成规范正交组。即所有向量的模为1的正交组。则称 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交 若 ijjixx，或 jijimjixxxxijMjiijji012, 1,，四、正交补空间：四、正交补空间：nRSnRS 设的一个子空间， nnnRSCRx是或),(对任何向量 )(SySy有 iyx 与 y正交，即 0yx ， x则称与子空间S正交，记 Sx 由所有正交于S的向量全体组成的集合称为S的正交补空间，记为 SxxS| x 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交当然nRS即S也是nR上的一个子空间。例：设 myyyspanS21,若 niRxmiyx,2, 1即 Sx x与子空间S正交。特别：若 )(nnRSRx则 x只能是零向量， 0 x 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的内积和正交第第1节小结节小结 第 一 章基基 础础 知知 识识第一节 向量的