概率论与数理统计：chapter3-1 多维随机变量及其分布

1、教学要求：教学要求：1. 了解二维随机变量的概念、联合分布函数及性质了解二维随机变量的概念、联合分布函数及性质;2. 了解二维离散型随机变量的联合分布律及性质了解二维离散型随机变量的联合分布律及性质; 3. 了解二维连续型随机变量的联合概率密度及性质了解二维连续型随机变量的联合概率密度及性质; 4. 会用（会用（1、2、3）计算有关事件的概率）计算有关事件的概率. .数数二维随机变量及分布函二维随机变量及分布函一一 .概率分布概率分布二维离散型随机变量的二维离散型随机变量的二二 .概率密度概率密度二维连续型随机变量的二维连续型随机变量的三三 .常用的二维分布常用的二维分布四四 . 维随机变量的

2、几个概念维随机变量的几个概念五五 n一、二维随机变量及分布函数一、二维随机变量及分布函数 1. 二维随机变量的定义二维随机变量的定义 设随机变量设随机变量X和和Y是定义在同一样本空间是定义在同一样本空间S上的两个上的两个随机变量随机变量,则由它们构成的一个向量则由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维叫做二维随机向量或二维随机变量随机向量或二维随机变量.2. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 .),(,),( ,),(函数函数的分布函数或联合分布的分布函数或联合分布为二维随机变量为二维随机变量称二元函数称二元函数是二维随机变量是二维随机变量设设YXyYxXPyxFRyxYX 注意注意

3、: ;, )1(yYxXyYxX ;),( )2(域域的定义域为整个平面区的定义域为整个平面区yxF:),( )3(的几何解释的几何解释yxF如果把二维随机变量看成是平面上随机点的坐标如果把二维随机变量看成是平面上随机点的坐标, xoy),(yx则则F(x, y)就是随机点就是随机点(x, y)落在以落在以(x, y)为顶点而位于该点左下方的区域内的为顶点而位于该点左下方的区域内的概率概率.:),( )4(的几何解释可得的几何解释可得由由yxF).,(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 3. 二维随机变量的分布函数的性质二维随机变量的分布函数的性

4、质 即即单调不减单调不减或或分别对分别对,),( )1(yxyxF);,(),(,2121yxFyxFxx 时时当当).,(),(,2121yxFyxFyy 时时当当且且, 1),(0 )2( yxF, 0),(lim),( yxFyFx, 0),(lim),( yxFxFy, 0),(lim),( yxFFxx. 1),(lim),( yxFFxx即即右连续右连续或或关于关于,),( )3(yxyxF).,()0,(),(), 0(yxFyxFyxFyxF . 0),(),(),(),( ,),(),( )4(1121122221212211 yxFyxFyxFyxFyyxxyxyx都有都有

5、且且以上性质是验证某函数为联合分布函数的充要条件以上性质是验证某函数为联合分布函数的充要条件. . 二、二维离散型随机变量的概率分布二、二维离散型随机变量的概率分布 定义定义 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X, Y)的所有可能取值为的所有可能取值为 , 2 , 1, ),( jiyxji相应的概率为相应的概率为, 2 , 1, , jipyYxXPijji称上式为随机变量称上式为随机变量(X, Y)的概率分布的概率分布或联合或联合分布律分布律. . 注意注意 1. 直观表示为联合分布表直观表示为联合分布表: : XY1x2xix1yjy11p21p1ipjp1jp2ijp2. 联合

6、分布律满足以下两个条件联合分布律满足以下两个条件: : );, 2 , 1,( , 10)1( jipij. 1)2(11 ijijp以上两式即为联合分布律的性质以上两式即为联合分布律的性质. . 3. 二维随机变量对应的分布函数为：二维随机变量对应的分布函数为： ,),(yYxXPyxF xxyyjiijyYxXP,. xxyyijijpex1.箱中装有箱中装有12件产品，其中有件产品，其中有2件次品，在箱中随机件次品，在箱中随机地取两次，每次取一件，定义两个随机变量地取两次，每次取一件，定义两个随机变量X,Y如下：如下：, 1 0 第第一一次次取取出出的的是是次次品品第第一一次次取取出出的

7、的是是合合格格品品X 第第二二次次取取出出的的是是次次品品第第二二次次取取出出的的是是合合格格品品 1 0Y若为放回抽样，写出若为放回抽样，写出(X,Y)的联合分布律与分布函数的联合分布律与分布函数.解解,121012100, 0 YXP,12212101, 0 YXP,12101220, 1 YXP,1221221, 1 YXP所以所以(X,Y)的联合分布律为：的联合分布律为： XY010112101210 1221210 1210122 122122 (X,Y)的分布函数为：的分布函数为： 1, 1 , 110 , 1,1001201, 10 ,10012010 , 10 ,1441000

8、, 0 , 0),(yxyxyxyxyxyxF或或三、二维连续型随机变量的概率密度三、二维连续型随机变量的概率密度 1. 概率密度的定义概率密度的定义.),(),(,),(),(),( ,),(),(),(密度或分布密度密度或分布密度的概率密度或联合概率的概率密度或联合概率称为称为其中函数其中函数为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数在非负函数在非负函数存存的分布函数的分布函数如果对于二维随机变量如果对于二维随机变量YXyxfYXdudvvufyxFyxyxfyxFYXyx 2. 概率密度的性质概率密度的性质; 0),( )1( yxf 1),( )2

9、(dxdyyxf);,( F);,(),(,),(),( )3(2yxfyxyxFyxyxf 则则处连续处连续在点在点若若内的概率为内的概率为落在落在点点平面上的区域平面上的区域是是设设GYXxoyG),(, )4(.),(),( GdxdyyxfGYXP注意注意: 证明从略证明从略;(1)(2)两性质为概率密度函数的特性两性质为概率密度函数的特性; 性质性质(3)告诉我们由分布函数求分布密度函数告诉我们由分布函数求分布密度函数; 性质性质(4)是已知概率密度函数求事件的概率公式是已知概率密度函数求事件的概率公式.ex2.设设(X,Y)的分布密度为的分布密度为 其它其它 00, 0 ),()4

10、3(yxAeyxfyx.20 , 10)3( );,(),)(2( ;)1( YXPyxFYXA的分布函数的分布函数求求解解:得得由由1),( )1( dxdyyxf, 100)43( dxdyAeyx, 112120403 AeeAyx即即.12 AdudvvufyxFxy ),(),()2(,0, 0时时当当 yxdudvAeyxFxyvu 00)43(),().1)(1(43yxee , 取其它时取其它时当当yx, 0),( yxf. 0),( yxF 其它其它故故 00, 0 )1)(1(),(43yxeeyxFyxdxdyyxfYXPyx 2010),(20 , 10)3(.9502

11、. 0121020)43( dyedxyx四、常用的二维分布四、常用的二维分布 1. 均匀分布均匀分布 设有面积为设有面积为A的平面有界区域的平面有界区域G，若，若(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其它其它 , 0),( ,1),(GyxAyxf则称则称(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布. 2. 正态分布正态分布 的概率密度为的概率密度为若二维随机变量若二维随机变量),(YX 2222212121212)()(2)()1 ( 21221121),( yyxxeyxf),( yx. 1, 0, 0,212121 且且都是常数都是常数其中其中.,),(2121的二维正态分布的二维正态分布服从参数为服从参数为则称则称 YX),(),(222121 NYX记为记为).;,;,(),(222211 NYX或或五、五、n维随机变量的几个概念维随机变量的几个概念 1. n维随机变量维随机变量 .),(,2121维随机变量维随机变量量或量或维随机向维随机向为为则称向量则称向量个随机变量个随机变量的的间上间上是定义在同一个样本空是定义在同一个样本空设随机变量设随机变量nnXXXnXXXnn2. n维随机变量的联合分布函数维随机变量的联合分布函数 .,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 3. n维随机变量的联合分布密度函数维随机变量的联合分布密度函数 使得使得函数函数如果存