《高等数学同济五版》讲稿WORD版-第03章中值定理与导数的应用

1、第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点 ：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗

2、尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。§3 1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U (x0)内有定义并且在 x0 处可导 如果对任意 x U (x0) 有f(x)f( x0) (或 f( x)f(x0)那么 f (x0) 0罗尔定理如果函数 y f(x) 在闭区间 a,b上连续 在开区间 (a, b)内可导且有 f(a) f(b)那么在 (a, b)内至少在一点使得 f ( ) 0简要证明(1) 如果 f(x)是常函数 则 f (x) 0定理的结论显然成立(2) 如果 f(x)不

3、是常函数则 f(x)在 (a b)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点 (a b)于是f ( ) f ( )lim f (x) f ( ) 0xxf ( )f ( )lim f (x)f ( )0x x所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理内至少有一点(a< <b)如果函数使得等式f(x)在闭区间 a b 上连续在开区间 (a b)内可导那么在( a b)f(b) f(a) f ( )(b a)成立拉格朗日中值定理的几何意义f()f (b)f (a)b a定理的证明引进辅函数令(x)f(x) f(a)f (b)f (a) (x a)

4、ba容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件(a)(b)0(x)在闭区间 a b 上连续在开区间 (ab)内可导且(x)ff (b)f (a)(x)ba根据罗尔定理可知在开区间 (ab)内至少有一点使( ) 0即f ()f (b)f (a)0ba由此得f (b)f (a)f ( )ba即f(b)f(a) f ( )( ba)定理证毕f(b) f(a) f ( )(b a) 叫做拉格朗日中值公式这个公式对于b<a 也成立拉格朗日中值公式的其它形式设 x为区间 ab内一点 xx 为这区间内的另一点( x>0 或 x<0) 则在 x xx ( x>0) 或 xx x ( x&l

5、t;0) 应用拉格朗日中值公式得f( xx)f(x)f( xx)x (0<<1)如果记 f(x)为 y则上式又可写为yf (xx)x (0< <1)试与微分 d y f(x)x 比较 d yf(x)x 是函数增量y的近似表达式而f (xx)x 是函数增量y 的精确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理如果函数 f(x)在区间I 上的导数恒为零那么 f(x)在区间 I 上是一个常数证在区间 I 上任取两点 x1x2(x1<x2)应用拉格朗日中值定理就得f(x2)f( x1)f()( x2x1)(x1< < x2)由假定f( )0所以 f(x

6、2) f(x1)0即f(x2) f( x1)因为 x1x2 是 I 上任意两点所以上面的等式表明f( x)在 I 上的函数值总是相等的这就是说f(x)在区间I 上是一个常数例 2证明当 x0 时1xln(1x) xx证设 f(x) ln(1x)显然 f(x)在区间 0x 上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理 就有f(x)f(0)f( )( x 0) 0< <x。由于 f(0)0f(x)1因此上式即为1xln(1x)x1又由 0x有xln(1x)x1x三、柯西中值定理设曲线弧 C 由参数方程XF( x)(ax b)Yf (x)表示 其中 x 为参数如果曲线 C 上除端点外处处具有不垂

7、直于横轴的切线那么在曲线 C 上必有一点 x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线 C 上点 x 处的切线的斜率为dYf()dXF ()弦 AB 的斜率为f (b)f (a)F (b)F (a)于是f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()柯西中值定理如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间 ab 上连续在开区间 (ab)内可导且 F (x)在 (a b)内的每一点处均不为零那么在 (ab)内至少有一点使等式f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()成立显然如果取 F(x) x那么 F(b)F(a)b a F (x)1 因而柯西中值公式就可以写成f(b)f(

8、a)f ( )( b a)( a< <b)这样就变成了拉格朗日中值公式了§3. 3泰勒公式对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道当 |x|很小时有如下的近似等式xe1 x ln(1 x)x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处首先是精确度不高这所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次

9、多项式来近似表达函数 同时给出误差公式设函数 f(x) 在含有 x0 的开区间内具有直到(n 1)阶导数 现在我们希望做的是找出一个关于( x x0 )的 n 次多项式p n(x)a 0a 1(x x0 ) a 2(x x0 ) 2a n (x x0 ) n来近似表达 f(x)要求 p n(x)与 f(x)之差是比 (xx0 ) n 高阶的无穷小并给出误差 | f (x)p n (x)|的具体表达式我们自然希望p n(x)与 f(x)在 x0的各阶导数 (直到 (n 1)阶导数 )相等 这样就有p n(x)a 0a 1(x x0 ) a 2(x x0 ) 2a n (x x0 ) np n (

10、x)a 1 2 a 2( x x0 )na n ( xx0 ) n 1p n(x)2 a 23 2a 3( x x0 )n (n 1)a n (xx0 ) n 2p n(x)3!a 34 3 2a 4(x x0 )n (n 1)(n2)a n (xx0 ) n 3p n (n )(x) n! a n于是pn (x0 ) a 0p n (x0 )a 1p n(x0 )2! a 2p n( x)3! a 3p n (n)(x) n! a n按要求有f(x0) p n(x0)a0 f (x0)p n (x0)a 1f(x0)p n(x0)2! a 2f( x0)p n(x0)3! a 3(n) (n

11、)f (x0) p n (x0) n! a n从而有a 0 f(x0 ) a 1f (x0 ) a1f (x )a1 f( x )a1 f ( n)( x )22!033!0nn!0ak1f (k)( x0) (k 0 1 2n)k!于是就有pn(x) f(x0)f (x0) (xx0)1 f(x) (xx0) 21f(n) (x ) (x x0) n2!0n!0泰勒中值定理如果函数 f(x) 在含有 x0 的某个开区间 (ab)内具有直到 (n 1) 的阶导数则当 x在 (a b)内时 f(x)可以表示为 (x x0 )的一个 n 次多项式与一个余项R n(x)之和f (x)f ( x0 )

12、f ( x0 )( x x0) 1 f (x0)(xx0 )21 f (n)( x0 )(xx0)nRn( x)2!n!其中Rn (x)f (n1) ()(xx0 )n 1 (介于 x0 与 x 之间 )(n1)!这里多项式pn (x) f (x0 )f (x0 )(xx0) 1 f (x0)(x x0 )21 f (n)( x0 )( x x0)n2!n!称为函数 f(x)按 (xx0 )的幂展开的 n 次近似多项式公式f (x)f (x0 )f ( x0)(xx0 ) 1 f (x0)( x x0) 21 f ( n) (x0 )(x x0 )nRn(x)2!n!称为 f(x)按 (x x

13、0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式其中 Rn (x)f (n1) () (xx0 )n 1 (介于 x 与 x0 之间 )(n1)!称为拉格朗日型余项当 n0 时泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x) f( x0 )f ()(x x0 )( 在 x0 与 x 之间 )因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果对于某个固定的 n 当 x 在区间 ( a b)内变动时|f (n 1)(x)|总不超过一个常数M 则有估计式及可见|Rn( x) | |f (n 1) ()(x x0)n 1 |M|x x0|n 1(n 1)!(n 1)!limRn(x)0x x0(x x0 )n

14、妆 xx0 时 误差 |R n (x)|是比 (x x0 )n 高阶的无穷小即R n (x) o(x x0 ) n 在不需要余项的精确表达式时n 阶泰勒公式也可写成f (x) f (x0 ) f ( x0)(xx0 )1f (x0)( x x0) 21f ( n)( x0 )(x x0 )no( x x0) n2!n!当 x00 时的泰勒公式称为麦克劳林公式f (x)f (0) f (0) xf (0) 2x2!或f (x)f (0)x2f (0) f (0)x2!其中 Rn (x)f (n1) ( ) xn 1(n1)!就是f (n) (0)xnR (x)n!nf (n) (0) n(n )

15、xo xn!由此得近似公式f (x) f (0) f (0)xf (0) x2f (n) (0) xn2!n!误差估计式变为|R ( x) |M|x |n 1n(n1)!例 1写出函数f(x) ex 的 n阶麦克劳林公式解 因为 f(x)f(x) f(x)f ( n) (x) e x所以 f(0) f (0) f (0)f ( n) (0)1于是ex 1x1 x21 xne xxn 1 (0<2!n!(n 1)!并有ex 1 x1 x21 xn2!n!这时所产性的误差为|R n(x)|e xx n1 |<e|x| x | n1(n1)!(n1)!当 x1 时可得 e 的近似式ex

16、1 112!其误差为|R n |<e3(n1)!(n1)!)1n!例 2求 f( x) sin x 的 n 阶麦克劳林公式解 因为f (x) cos x f(x)sinxf (x)cos xf (4) (x)sin xf (n) (x)sin(xn)2f (0) 0f (0) 1f(0)0f(0)1 f ( 4)(0) 0于是1315(1) m 12m 1R2 m( x)sin xx3! x5! x(2m 1)! x当 m 1、2、 3 时 有近似公式sin x xs i nxx1 x3s i nxx1 x31 x53!3!5!§3 4函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判

17、定法如果函数 yf(x)在 ab上单调增加 （单调减少）那么它的图形是一条沿x 轴正向上升 （下降）的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）即 y f(x) 0(y f (x) 0) 由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的关系反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理 1(函数单调性的判定法)设函数 y f(x)在 a b上连续在 (a b)内可导(1) 如果在 (a b)内 f (x)0那么函数 y f(x)在 ab 上单调增加(2) 如果在 (a b)内 f (x) 0那么函数 yf(x)在 a b 上单调减少证明 只证 (1)在 ab上任取两点 x1x2(x1 x2

18、 )应用拉格朗日中值定理得到f(x2 ) f( x1 )f ()(x2 x1)(x1x2 )由于在上式中x2 x10因此 如果在 (ab)内导数 f( x)保持正号即 f(x) 0 那么也有 f()0于是f(x2 ) f(x1 )f ( )( x2x1 ) 0即f(x1 )f(x2 )这函数 y f(x) 在 ab 上单调增加注判定法中的闭区间可换成其他各种区间例 1 判定函数 y x sin x 在 0 2 上的单调性解 因为在(0 2 )内y1 cos x0所以由判定法可知函数y x cos x 在 0 2 上的单调增加例 2讨论函数 y ex的单调性（没指明在什么区间怎么办？ )x 1解

19、 y e x 1函数 y exx1 的定义域为 () 因为在(0)内 y0所以函数 y e x x 1 在 (0 上单调减少因为在 (0)内 y 0 所以函数 ye xx 1 在0)上单调增加例 3讨论函数 y3 x2 的单调性解 函数的定义域为 ()当时函数的导数为y2(x 0)函数在 x0 处不可导x33当 x0 时 函数的导数不存在因为 x0时 y0所以函数在 ( , 0 上单调减少因为 x0时 y0所以函数在 0,) 上单调增加如果函数在定义区间上连续除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续那么只要用方程 f(x) 0 的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间就能保证 f (

20、x)在各个部分区间内保持固定的符号因而函数 f(x)在每个部分区间上单调例 4 确定函数 f(x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间解这个函数的定义域为 : ()函数的导数为 : f (x) 6x2 18x126(x1)(x2) 导数为零的点有两个x1 1、 x22列表分析(11 22)f (x)f(x)函数 f(x)在区间 (1和 2)内单调增加在区间 1 2上单调减少例 5讨论函数 y x3 的单调性解函数的定义域为 ()函数的导数为 y3x2 除当 x 0 时 y0 外 在其余各点处均有 y 0因此函数y x 3 在区间 (0 及0)内都是单调增加的从而在整个定义域()内是单调增加

21、的在 x 0 处曲线有一水平切线一般地如果 f (x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正 （或负） 时那么 f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的例 6 证明 当 x 1 时2 x 3 1x证明 令 f (x) 2x(31 )则xf ( x)111 (xx 1)xx2x2因为当 x1 时 f(x)0因此 f(x)在 1,) 上 f(x)单调增加 从而当 x 1时 f(x) f(1)由于 f(1)0故 f(x)f(1)0即2 x(3 1x )0也就是 2 x3 1x (x 1)二、曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念yyf ( x1 )f ( x2 )f ( x1 ) f ( x2

22、)22fx1 x2fx1 x222f(x1)f(x2)f( x1)f(x2 )Ox1x1 x2x 2xOx1x1 x2x 222定义设 f(x)在区间 I 上连续如果对 I 上任意两点 x 1 x 2恒有f ( x1 x2 )f (x1)f ( x2 )22那么称 f(x)在 I 上的图形是 (向上 )凹的 (或凹弧 )如果恒有f ( x1 x2 )f (x1)f ( x2 )22x那么称 f(x)在 I 上的图形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )定义设函数 y f(x)在区间 I 上连续如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的； 如果函数的曲线位于其上任意一点的

23、切线的下方，则称该曲线在区间 I 上是凸的凹凸性的判定定理设 f(x)在 a b 上连续在 (a b)内具有一阶和二阶导数那么(1) 若在 (a b)内 f(x)>0则 f(x) 在a b上的图形是凹的(2) 若在 (a b)内 f(x)<0则 f(x) 在a b上的图形是凸的简要证明只证 (1)设 x1, x2 x1x2ab 且 x1x2记 x0x1 x22由拉格朗日中值公式得f (x )f (x )f (1)(xx)f () x1x2x1x01010121f (x2)f (x0)f (2 )(x2x0)f(2) x2x1x02x22两式相加并应用拉格朗日中值公式得f (x1)

24、f (x2) 2 f (x0) f ( 2 ) f ( 1) x2 x12f ()(2)x2x101212即 f ( x1) f ( x2 )f ( x1 x2 )所以 f(x)在 ab上的图形是凹的22拐点 连续曲线 y f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线 y f(x)的凹凸区间和拐点的步骤(1) 确定函数 y f(x)的定义域(2) 求出在二阶导数 f (x)(3) 求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4) 判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点注 根据具体情况（ 1）（ 3）步有时省略例 1 判断曲线 y ln x 的凹凸性解y1y1xx2因为在函数 yln

25、x 的定义域 (0)内y <0 所以曲线 y ln x 是凸的例 2判断曲线 y x3 的凹凸性解y3x 2 y6x由 y 0 得 x 0因为当 x<0 时 y <0所以曲线在 (0内为凸的因为当 x>0 时 y >0所以曲线在 0)内为凹的例 3求曲线 y 2x 33x 2 2x 14 的拐点解 y26x 6x 12y12x6 12(x1)2令 y0得 x12因为当 x1时 y0 当 x1 时 y0所以点( 120 1 )是曲线的拐点2222例 4求曲线 y 3x 44x 31 的拐点及凹、凸的区间解(1)函数 y 3x 4 4x3 1 的定义域为 ()(2)y

26、12x3 12x222y36x24x 36x( x3 )(3) 解方程 y 0得 x10x223(4) 列表判断(0)0(02/3)2/3(2/3)f (x)00f(x)111/27在区间 (0 和2/3)上曲线是凹的在区间 02/3 上曲线是凸的点 (0 1)和 (2/311/27)是曲线的拐点例 5问曲线 y x 4 是否有拐点？3 2解 y 4x y 12x当 x0 时 y >0在区间 () 内曲线是凹的因此曲线无拐点例 6求曲线 y3 x 的拐点解(1)函数的定义域为 ()(2) y1y23 3 x23x29x(3) 无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为 x 0(4) 判断当

27、x<0 当 y >0当 x>0 时 y <0因此点 (0 0)曲线的拐点§3 5 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义定义 设函数 f(x)在区间 (a, b)内有定义x0(a, b) 如果在 x0 的某一去心邻域内有 f(x) f(x0)则称 f(x0) 是函数 f(x)的一个极大值如果在 x0 的某一去心邻域内有f(x) f(x0 )则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U (x0)内有定义如果在去心邻域U (x0)内有 f(x)f(x0) ( 或 f(x) f( x0)则称 f(x0)是函数

28、f(x)的一个极大值 (或极小值 )函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点函数的极大值和极小值概念是局部性的如果 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值那只是就 x0 附近的一个局部范围来说f(x0)是 f(x)的一个最大值如果就 f(x)的整个定义域来说f(x0 )不一定是最大值 关于极小值也类似极值与水平切线的关系在函数取得极值处曲线上的切线是水平的但曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值定理 1 (必要条件 )设函数 f( x)在点 x0处可导 且在 x0 处取得极值那么这函数在 x0 处的导数为零即 f (x0) 0证为确定起见假定 f(x0)是极大值 (极

29、小值的情形可类似地证明) 根据极大值的定义在x0 的某个去心邻域内对于任何点 x f( x)f(x0)均成立 于是当 x x0 时f ( x)f (x0)0xx0因此f (x0)limf (x)f (x0 )xx00xx0当 xx0时f ( x)f (x0)0xx0因此f(x0)limf (x)f (x0)0xx0xx0从而得到f (x0)0简要证明假定 f(x0)是极大值根据极大值的定义在 x0 的某个去心邻域内有 f(x)f(x0) 于是f (x0 )f(x0)limf (x)f (x0 )0xx0xx0同时f (x0 )f(x0)limf (x)f (x0)0x x0xx0从而得到 f(

30、x0)0驻点使导数为零的点 (即方程 f(x)0 的实根 )叫函数 f(x)的驻点 定理就是说可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但的过来函数 f(x)的驻点却不一定是极值点考察函数 f(x) x3 在 x 0 处的情况定理 (第一种充分条件 )设函数 f(x)在点 x0 的一个邻域内连续在 x0 的左右邻域内可导(1) 如果在 x0 的某一左邻域内f(x)0在 x0 的某一右邻域内f(x) 0那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值(2) 如果在 x0 的某一左邻域内f(x)0在 x0 的某一右邻域内f(x) 0那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值(3) 如果在 x0 的某一邻域内f

31、(x)不改变符号那么函数 f(x)在 x0 处没有极值定理 (第一种充分条件)设函数 f(x)在含 x0 的区间 (a, b)内连续在 (a, x0)及 (x0, b)内可导(1) 如果在 (a, x0)内 f(x)0在 (x0, b)内 f(x)0那么函数 f(x) 在 x0 处取得极大值(2) 如果在 (a, x0)内 f(x)0在 (x0, b)内 f(x)0那么函数 f(x) 在 x0 处取得极小值(3) 如果在 (a, x0)及 (x0, b)内 f(x)的符号相同那么函数 f(x)在 x0 处没有极值定理 2(第一充分条件 )设函数 f(x)在 x0 连续且在 x0 的某去心邻域 (x0x0 ) (x0 x0)内可导(1) 如果在 (x0x0)内 f (x)0在 (x0x0) 内 f (x) 0那么函数 f(x)在 x0 处取