9三角形外角的性质及应用

1、三角形外角的性质及应用蔡志武阮正法角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一. 三角形外角的概念及特征如图 1，像 acd 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图 1 外角特征：（ 1）顶点在三角形的一个顶点上，如acd 的顶点 c 是 abc 的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如acd 的一条边ac 正好是 abc 的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如acd 的边 cd 是 abc 的 bc 边的延长线。二. 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

2、的和。3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4. 三角形的外角和等于360。三. 应用1. 求角的度数例 1. （ 2005 年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55和 65，这个三角形的外角不可能是（）a. 115 b. 120c. 125d. 130解析：如图2， a 的外角为： 180=125。b 的外角为： 180 65=115acb 的外角为： 55+65=120所以选 d。图 2 例 2. （ 2005 年浙江省宁波市中考）如图3，ab/cd ， b=23， d=42，则 e=（）a. 23b. 42c. 65d. 19图 3 解析：延长be 交 cd 于 f

3、 因为 ab/cd 所以 1=b=23 bed 是 edf 的外角则 bed= 1+d=23+42=65故选 c。例 3. （ 2006 年重庆市中考）如图4，ab=ac ， bad=，且 ae=ad ，则 edc=（）a. b. c. d. 图 4 解析：设 edc=x 因为 adc 是 abd 的外角所以 adc= abc+ bad 即 ade+x= abc+（1）因为 ab=ac ，ad=ae 所以 b= c， ade= aed 而 aed 是 dec 的外角所以 aed= edc+c 即 aed=x+ c （2）将（ 2）代入（ 1）得：所以所以选 a。2. 判定三角形的形状例 4.

4、（2003 年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）a. 锐角三角形b. 直角三角形c. 钝角三角形d. 以上三种情况都有可能解析：如图5，在三角形abc 中， bac 的外角 cad bac 而 cad+ bac=180 即： cad=180 bac 所以 180 bac90 故选 c 图 5 3. 证明两角相等例 5. （ 2002 年福建省龙岩市中考）如图6，在 abc 中， ab=ac ，d、e 分别在 bc、ac 边上，且 ade= b， ad=de 。求证： adb dec。图 6 分析：因为 adc 是 adb 的外角所以 adc= b+bad

5、而 ade= b， adc= ade+ cde 所以 ade+ cde=ade+ bad 因此 bad= cde 又 ab=ac ，可得 b=c 而 ad=de 所以 adb dec 例 6. （2004 年荆州市中考）在等边三角形中，p 为 bc 上一点， d 为 ac 上一点，且 apd=60 ，bp=1，则 abc 的边长为（）a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 图 7 分析：因为 abc 为等边三角形，所以b=c=60又因为 apc 是 abp 的外角所以 apc=b+ bap 而 b=apd=60 所以 bap= cpd 又 b=c，所以 abp pcd 所以。设 abc 边长为

6、 x，则解得 x=3 故选 a 4. 证明角度不等关系例 7. 已知，如图8，在 abc 中， d 是三角形内一点，求证：bdc bac 。图 8 证明：延长bd 交 ac 于 e 在 abe 中， beca 在 cde 中， bdc bec 所以 bdc a 例 8. 已知：如图9，在 abc 中， bac=90 ， ad bc 于 d，e 是 ad 上一点，求证：decabc 。图 9 证明：因为 bac=90 所以 bad+ dac=90 又因为 ad bc 所以 adb=90 所以 abc+ bad=90 所以 abc= dac 又因为 dec 是 aec 外角所以 decdac 所以

7、 decabc 5. 证明角度的和差关系例 9. 如图 10，已知：在 abc 中， abac ， aef= afe，延长 ef 与 bc 的延长线交于g，求证：。图 10 证明：因为 aef= b+g 又因为 aef= afe， afe= gfc 所以 aef= gfc 所以 gfc=b+ g 又因为 acb= gfc+g +得： acb= b+2g 所以例 10. 如图 11，求证： a+ b+ c+d+ e=180。图 11 证明：如图11， 1=c+d， 2=a+ e 而 1+2+ b=180所以 a+ b+c+d+e=180练习：1. （1996 年昆明市中考） 如图 12，、分别是 abc 的外角， 且，则 acb等于（）a. 20b. 30c. 40d. 80图 12 2. （2004 年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，cd、be 分别是 ab、ac 边上的高，且cd、be 交于一点p。若 a=50 ，则 bpc 的度数是（）a. 1