三角形全等判定

1、三角形全等判定学习内容：全等三角形的判定公理及推论（1）边角边公理（ sas ）（2）角边角公理（ asa ）（3）角角边推论（ aas ）（4）边边边公理（ sss ）（5）斜边、直角边公理（hl ）知识讲解：1. 思想方法：在平面几何中，证明两条线段相等，两个角相等，两条直线互相平行，两条直线互相垂直等问题，常常可以通过证明三角形全等来解决，而且在整个证明过程中，往往要完成多次的三角形全等的证明。如果需要进行多次的全等三角形证明，可以按以下结构进行：题设i i中间条件ii ii结论。2.这一部分内容几何的证明中，已经开始需要添加辅助线，而辅助线的添加是个难点，从这一章开始，同学们应逐步积累

2、这方面的知识经验。在第三部分我们专门对这种问题作了研究，以解决这一部分添加辅助线的问题。例题分析：1如图所示，已知ebad 于 b，fcad 于 c，且 eb=fc ，ab=cd 。求证： af=de 。分析：寻找af、de 所在的三角形，首先证明 afc deb 。然后证明af=de 。证明： eb ad（已知）例 2，如图，已知ab、 cd 互相平分于o ，过 o点引直线与ad 、bc 分别交于 e、f 点，求证： ae=bf 。分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？

3、在这道例题中，由已知条件，ao=bo ， aod= boc，do=co ，很快可用（ sas ）证得 aod boc，于是根据全等三角形的性质又可得ad=bc ， a= b， d=c 的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于ae与 bf分别处于 aoe 和 bof 之中，于是选择a= b，作为新的条件，用（asa ）来证明 aoe bof，再用全等三角形性质得ae=bf 。（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？在这道例题中，为了证明ae=bf ，由于 ae，bf 分别在 ao

4、e 和 bof 中，可先考虑证明aoe bof，已有 oa=ob ， aoe= bof，所缺条件为a=b 或 oe=of ，再考虑 a、 b 又分别在 aod 和 boc 中，看 aod boc 的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。例 3，如图， ac 、bd相交于 e，ac=bd ，ab=dc ，求证： be=ce 。分析：为了证明be=ce ，只要证明abe dce ，在这两个三角形中，已有ab=dc ， aeb= dec，已有一

5、角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明 a=d，或 b= c，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结ad ，辅助线 ad成了两个三角形abd 和 acd 的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；acd dba ，由此找到了证明的完整思路。证明的路线如下：例 4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到

6、的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，abc 和 abc ，再做出一对对应角aa 的平分线ad和 ad 。在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状

7、各异的两个三角形。然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。已知： abc abc ， ad和 ad 分别是 bac 和 bac 的平分线，求证：ad=ad 。证明的路线如下：例 5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。已知 abc 和 abc ，ab=ab ，ac=ac ，d为 bc中点， d 为 bc 中点，且ad=ad ，求证： bc=bc 分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角

8、形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。辅助线的做法：在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形 ( 或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180后，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三

9、角形) 如下列基本图形。说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线或者按照上边的例题5 的方法，截取相等的线段。例析：如图，已知 abc 中， ab ac ，bd=cf 求证： de ef分析一这个题目要证明的结论是de=ef 如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过d 作 dg/ac，交 bc于 g ，如图所示， 那么 dge 和fce 就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住

10、一组边相等的条件，而de=ef是结论不能用，需要证明另一组边。已知条件告诉我们cf=bd ， 所以就应该证明cf和它的对应边dg相等，如图所示， 也就是证明db=dg ， 而 dg/ac，所以 1=2，又已知ab=ac ，所以 2=b，因此 1=b，那么 db=dg 就可以证明了。分析二：如下图所示，本题也可以过端点f 作 fh/ab 交 bc的延长线于h ，补出一对中心对称型全等bde和hfe 。证明二提示 : 与上一种证法基本一致, 通过证明 efh edb 来证得 de=ef,注意使用bd/fh, 推出角的关系. 证明略 . 2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。把一个三角

11、形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。基本图形：当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。例析：如图，在正方形abcd 的对角线ac上截取 ae=ab ，作 efac 交 bc于 f。求证： ef=fb. 分析：本题目要证明的结论ef=fb 。本题目已知中有ae=ab ，又有 aef=b=90 ，所以，连接af构造aef 、 abf 全等，容易证明。以上只是作辅助线的部分方法，同学们要在学习过程中，逐渐积累经验，这个难点一定能解决。第一阶梯例1、如图，在四边形abcd 中， a

12、b/cd，ad/bc，求证： abd cdb点拨 ：判定三角形全等，首先要确定一条相等的边，观察图形， bd是公共边，再由平行条件，得到角相等。（1）思路沟通后，按着判定三角形全等的条件顺序书写（2） abd可看做绕 a点旋转 180后，再沿bd翻折与 cdb重合（3）若连结 ac交 bd于 o ， ado 与 cbo全等吗？为什么？这两个三角形怎样才能重合例2、已知：如图，在abc中， ab=ac ， 1=2，求证：（ 1） b=c（2）ad bc 点拨 ：利用 abd 与 acd全等，得到 b=c， 3=4 再证明 ad bc ，把 abd可看做沿 ad边翻折后，与 acd重合。说明 ：判

13、定两个三角形全等后，要根据题目的要求，选择所需的是角还是边，再下结论，如上例，改证：d是 bc中点，则需要 bd=dc 。例 3、已知：如图ab=ad ，bc=cd ，且 bd 、ac相交于 o点。求证：（ 1） 1=2 （2）do=bo点拨 ：图形中隐含着公共边ac ，由 adc与 abc全等，可知 1=2，再证 ado abo 即可，此题证法不唯一。说明 ：如何把条件和未知放在某两个三角形中，可先由直观图形的形状观察再结合条件来确定。第二阶梯例 1、已知：如图ad=ae ， adc= aeb ，且 be ，cd相交于 p ，求证： pb=pc点拨 ：要证 pb=pc ，可考虑 bpd与 c

14、pe全等，但这两个三角形不具备一条相等的边，所以要利用已知条件，先证adc aeb说明 ：可借助于三角形全等，证明线段相等或角相等，有时可能需证两次全等，才能达到目的，adc如何运动才能与 aeb重合，请想一想。例 2、已知：如图ad/bc，ad=bc ，de ac于 e，bfac于 f，求证：（ 1）ab/cd （ 2）df=be点拨 ：由 adc 与 cba全等，得到 1=2，则 ab/cd，也可证 ade cbf ，再证 dcf bae ，此题证法不唯一，是应用判定定理的很好图形。说明 ：全等三角形的对应角平分线，对应中线，对应高线，周长，面积，都是相等的，在（ 2）中，可证rtaec与

15、 rtbfa全等。例 3、已知：如图，ad/bc，ae/cf，ad=bc 。求证：（ 1）ab=cd （2）ab/cd（3）ae=cf点拨 ：由条件可知 abd cdb则（ 1）（2）得证，在证（ 3）时，可利用 3，4 的邻补角相等，得到fdc与 eba全等，则 ae=cf 。说明 ：对于四边形较复杂的题目，一定要看清所给的条件，对于证明的结论有什么用处，寻找可能全等的三角形。第三阶梯例 1、已知：如图，ab=ae ， b=e，bc=ed ，点 f是 cd的中点。求证：afcd于 f点拨 ：欲证 afcd ，可证 afc= afd=90 连结 ac ，ad ，借助 abc与 aed全等来达到目的。说明 ：通过添加适当的辅助线，把待证的线段放在三角形中，再利用全等的知识进行证明是常考虑的方法之一。例 2、已知：如图abc ，ade都是直线， be ，cd交于 o，连结 ao （1）若 1=2，dc=be ，求证： bc=de（2）若 bc=de ，be=dc ，求证： 1=2点拨 ：本例中隐含的条件有（1）公共角：cae （2）对顶角： 5=6（3）公共边： ce在证明时注意使用这些隐含条件说明 ：具有此种图形的相关证明，利用轴对称来证更简单。此例可把条件，结论稍加改变后，举一反三的训练证明，线段相等和角相等。例 3、已知：如图da ab ，eaac ，ad=