空间直角坐标系与向量

1、3.1 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量 3.1.1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 3.1.2. 向量的概念向量的概念 3.1.3. 向量的线性运算向量的线性运算 3.1.4. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影 3.1.5. 方向余弦方向余弦3.1.1 3.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系. .zyxox轴: 横轴；y轴：纵轴；z轴：竖轴oxyz符合右手系符合右手系 .oxyzoxyz不符合不符合 右手系右手系 .xyoz空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限yoz面zox面xoy面空间的点空间的点m 11有序

2、数组有序数组(x, y, z)特殊点的表示特殊点的表示:(0,0,0)o原点原点xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐标轴上的点坐标轴上的点p, q , r,坐标面上的点坐标面上的点a, b, c,),(zyxm. .,的坐标的坐标称为点称为点 mzyx向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.以以a为起点，为起点，b为终点的有向线段为终点的有向线段.向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. 或或|a单位向量：单位向量：模为模为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模为模为 0 0 的向量的向量. (模

3、又称为模又称为长度或范数长度或范数)ab向量的表示：向量的表示：或或aab|ab|a3.1.2 3.1.2 向量的概念向量的概念零向量没有确定的方向零向量没有确定的方向. 相等向量：相等向量： 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .aa向量的坐标表示：向量的坐标表示：把向量把向量 作平行移动，使其起点作平行移动，使其起点与原点重合。与原点重合。 设其终点设其终点a的坐标为的坐标为(a1, a2, a3), 则则称称a1, a2, a3为向量

4、为向量 的分量的分量或坐标，或坐标，记为记为 =(a1, a2, a3). aoaaa = a1 =b1, a2 =b2, a3=b3. 设设 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3),向量的模：向量的模：设设 a = (a1, a2, a3)利用勾股定理从图中可得利用勾股定理从图中可得oxyz1a2a3aa232221aaa |oa|例例 非零向量单位化非零向量单位化设向量设向量, 0a,|1aaea 令令则则|1|aaea 1|1 aa.同方向的单位向量同方向的单位向量是与是与 aea定义定义 设设 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), + 称为称为加

5、法加法， k 称为称为数乘数乘. 加法与数乘统称为加法与数乘统称为线性运算线性运算. 减法：减法： - = +（- ） = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3). + = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3), k =(ka1, ka2, ka3 ). 3.1.3 3.1.3 向量的线性运算向量的线性运算例例 化简化简解解1. 1. 向量向量加法加法运算的几何意义运算的几何意义 平行四边形法则平行四边形法则pao,opoboa op是以是以oboa,为边的平行四边形的对角线为边的平行四边形的对角线.b2. 2. 向量向量减法减法运算的几何意义运算的几何意义ap,o

6、poboa paoboboaop),(332211abababoaobabpoa3. 3. 向量向量数乘数乘运算的几何意义运算的几何意义伸缩变换伸缩变换232221|aaak oxyz1a2a3aa232221)()()(kakaka |koa|k |oa|3. 3. 向量向量数乘数乘运算的几何意义运算的几何意义伸缩变换伸缩变换232221|aaak 232221)()()(kakaka |koa|k |oa|akb(2) k = 0,0 b(3) k 0,ba与与同向；同向；aa2a21 例例 证明：三角形的中位线平行于底边且等于证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半底边的一半. .

7、证证 设设de是中位线，是中位线， de = da + ae 21 = bc. = ba + ac 2121 = (ba + ac) 21abced例例 用向量方法证明：对角线互相平分用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad与与 平行且相等平行且相等,bc结论得证结论得证.abcdmab4. 4. 向量线性运算满足的运算规律向量线性运算满足的运算规律(1) + = + ;(2) ( + ) + = +( + );(3) + 0 = ;(4) +(- ) = 0 ;(5) 1 = ;(6) k (

8、l ) = (k l) ;(7) k( + ) = k +k ;(8) (k + l) = k +l .5. 5. 基向量与线性表出基向量与线性表出)1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1( kji单位向量单位向量kji,称为称为基向量基向量.a=(a1, a2, a3)=( (a1, 0,0)+(0)+(0, a2, 0)+(0)+(0, 0, a3)kajaia321 称称a可由可由kji,线性表出线性表出。xyzoijk6. 6. 向量平行向量平行( (向量共线向量共线) )aaaabbbb),(),(321321).0, 0(./332211iibaabab

9、abba则若解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向.a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 3.1.4 3.1.4 向量在轴上的投影向量在轴上的投影1. 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u aa 过过点点a作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点a 即即为为点点a在在轴轴u上上的的投投影影. uoa abb2. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影过空间点过空间点 a, b 作垂直于轴作垂直于轴 u的平面，的平面，与轴与轴 u 交于交于, b点点，于是，于是向量向量 ab 在

10、轴在轴 u 上的投影定义为上的投影定义为uprjab|ab|, ab与与u同向同向- |ab|, ab与与u反向反向向量向量oa的坐标的坐标a1, a2, a3分别是分别是在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影.oa解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为131a, 例例 3. 空间两向量夹角的概念：空间两向量夹角的概念：, 0 a, 0 bb , aa , b 0() 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值

11、. ba 4. 向量在轴上的投影有以下两个性质：向量在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以(1)(1)向量向量ab在轴在轴向量与轴的夹角的余弦：向量与轴的夹角的余弦：abjupr cos| ab ubb u 证证abjupr abju pr cos|ab b aa 投影为负；投影为负；投影为零；投影为零； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 投影为正；投影为正；(2(2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .prpr)(pr2121aaaauuujjjaa bb cc u1a2

12、a设设),(1111zyxm、),(2222zyxm为为空空间间两两点点5. 空间上两点间距离公式空间上两点间距离公式),(1212121221zzyyxxomommm.21221221221zzyyxxmm特别，若两点分别为特别，若两点分别为,),(zyxm)0 , 0 , 0(od.222zyx 解解： 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原结论成立原结论成立.解解设p点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为p在在x轴上，轴上， 1pp 22232 x,112 x

13、2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 非零向量非零向量 与三条坐标轴正向的夹角称为与三条坐标轴正向的夹角称为方向角方向角. .a, kajaia 3.1.5 3.1.5 方向余弦方向余弦2322211cosaaaa 2322212cosaaaa 2322213cosaaaa cos， cos， cos称为向量称为向量a的的方向余弦方向余弦.由图示可知由图示可知 xyzo 2m 1ma1 1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征 aeaa ).cos,cos,(cos特别，特别，单位向量的方向余弦为单位向量的方向余弦为),(321aaaaaa解解,3 ,4 ,21cos ,21cos ,2