动点问题——相似三角形

1、动点问题相似三角形吉林省第二实验学校1. 线段的比： 如果选用同一个长度单位量得两条线段ab ，cd 的长度分别是m,n，那么就说这 两条线段的比ab： cd=m:n ，或写成（或a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段 ，简称 比例线段 . （比例的基本性质）如果，那么 ad=bc 如果 ad=bc（a、b、c、d 都不等于0） ，那么2. 黄金分割： 点把线段ab 分成两条线段ac 和 bc,如果,那么称线段ab 被点 c 黄金分割 ,点 c 叫做线段ab 的黄金分割点 3. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 .相似多边形对应边的比叫做 相似比4.

2、相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形探索三角形相似的条件：1：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法 .2：两角对应相等的两个三角形相似. 3：三边对应成比例的两个三角形相似. 4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 例：依据下列各组条件，判定abc 与 abc是不是相似，并说明为什么. （1） a=120 ,ab=7 ac=14 ； a=120 ,a b =3 a c =6, （2）ab=4 ,bc=6 ,ac=8 ；ab=12 ,b c =18 ,a c =24 测量旗杆的高度;略5. 相似多边形的性质：性质：相似三角形对应高的比、对应角平

3、分线的比和对应中线的比都等于相似比。相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方. 例 1、如图，在梯形abcd中，adbc，3ad，5dc，10bc，梯形的高为4动点m从b点出发沿线段bc以每秒 2 个单位长度的速度向终点c运动；动点n同时从c点出发沿线段cd以每秒 1 个单位长度的速度向终点d运动设运动的时间为t（秒）（ 1）当mnab时，求t的值；（ 2）试探究：t为何值时，mnc为直角三角形dncmba图 15-2 a d o b c 2 1 m n 图 15-1 a d b m n 1 2 图 15-3 a d o b c 2 1 m n o 变式练习1：如图所示，在abc中，

4、 ba=bc=20cm ，ac=30cm ，点 p从 a点出发，沿着ab以每秒 4cm的速度向b点运动；同时点q从 c点出发，沿ca以每秒 3cm的速度向a点运动，设运动时间为x。 （1）当 x 为何值时， pq bc ？（ 2）当31abcbcqss，求abcbpqss的值； （3）apq能否与 cqb 相似？若能，求出ap的长；若不能，请说明理由。变式练习2： 如图，已知直线l的函数表达式为483yx， 且l与 x 轴，y轴分别交于ab，两点， 动点 q 从b点开始在线段ba上以每秒2 个单位长度的速度向点a移动，同时动点p从a点开始在线段ao上以每秒 1 个单位长度的速度向点o移动， 设

5、点 qp，移动的时间为t秒（1）求出点ab，的坐标；（2）当t为何值时，apq与aob相似？（3）求出（2）中当apq与aob相似时， 线段 pq 所在直线的函数表达式例 2、在图 15-1 至图 15-3 中，直线mn 与线段 ab 相交于点 o， 1 = 2 = 45 （1）如图 15-1，若 ao = ob，请写出ao 与 bd的数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中的 mn 绕点 o 顺时针旋转得到图 15-2，其中 ao = ob 求证： ac = bd，ac bd；（3）将图15-2 中的 ob 拉长为ao 的 k 倍得到图 15-3，求的值acbdo p a q b y x

6、 变式练习1：已知在 rtabc 中， abc90o， a30o，点 p 在 ac 上，且 mpn 90 当点 p 为线段 ac 的中点，点m、n 分别在线段ab、bc 上时（如图1） ，过点 p 作 peab 于点 e，pfbc 于点 f，可证 tpmetpnf，得出 pn3pm （不需证明）当 pc2pa，点 m、n 分别在线段ab、bc 或其延长线上，如图2、图 3 这两种情况时，请写出线段pn、pm 之间的数量关系，并任选取一给予证明变式练习2（备用）：如图 1，在同一平面内, 将两个全等的等腰直角三角形abc和afg摆放在一起，a为公共顶点，bac=agf=90，它们的斜边长为2，若

7、 ?abc固定不动， ?afg绕点a旋转，af、ag与边bc的交点分别为d、e( 点 d 不与点 b重合 , 点 e不与点 c重合 ),设be=m ，cd=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求 m与 n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围 . （3）以 ?abc的斜边bc所在的直线为x 轴，bc边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系 ( 如图 12). 在边bc上找一点d，使bd=ce，求出d点的坐标，并通过计算验证bd2ce2=de2. （4）在旋转过程中,(3) 中的等量关系bd2ce2=de2是否始终成立, 若成立 , 请证

8、明 , 若不成立 , 请说明理由 . g y x o e d c b a g e d c b a 例 3、如图，pmnrt中，90p，pmpn，8mncm，矩形abcd的长和宽分别为8cm 和 2cm，c点和m点重合，bc和mn在一条直线上令pmnrt不动，矩形abcd沿mn所在直线向右以每秒1cm 的速度移动 （如图），直到c点与n点重合为止设移动x秒后，矩形abcd与pmn重叠部分的面积为y2cm求y与x之间的函数关系式a b d p n c(m) 图图变式练习1： 如图，在等腰梯形abcd中，abdc，45a，10cmab，4cmcd等腰直角三角形pmn的斜边10cmmn，a点与n点重合

9、，mn和ab在一条直线上，设等腰梯形abcd不动，等腰直角三角形pmn沿ab所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点n与点b重合为止（ 1）等腰直角三角形pmn在整个移动过程中与等腰梯形abcd重叠部分的形状由形变化为形；（2）设当等腰直角三角形pmn移动(s)x时，等腰直角三角形pmn与等腰梯形abcd重叠部分的面积为2(cm )y，求y与x之间的函数关系式；（3）当4(s)x时，求等腰直角三角形pmn与等腰梯形abcd重叠部分的面积例 4（备用）： 如图，已知 abc 是边长为6cm 的等边三角形，动点p、 q 同时从 a、b 两点出发，分别沿ab、bc 匀速运动，其中点p 运动的速度

10、是1cm/s，点 q 运动的速度是 2cm/s，当点 q 到达点 c 时， p、q 两点都停止运动，设运动时间为t（s） ，解答下列问题：（1）当 t2 时，判断 bpq 的形状，并说明理由；（2）设 bpq 的面积为s（cm2） ，求 s与 t 的函数关系式；（3）作 qr/ba 交 ac 于点 r，连结 pr，当 t 为何值时， apr prq？变式练习1（备用）：如图，在梯形abcd 中，adbc，6cmad，4cmcd，10cmbcbd，点p由 b 出发沿 bd 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段ef 由dc 出发沿 da 方向匀速运动，速度为1cm/s，交bd于 q，连接 p

11、e若设运动时间为t（ s）a e d q p a （ n）m p d c b a n m p d c b （05t） 解答下列问题：（1）当t为何值时，peab？（2）设peq的面积为y（ cm2） ，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使225peqbcdss？变式练习2（备用）：在 rtabc 中，c=90 ，ac = 3，ab = 5点 p 从点 c 出发沿 ca 以每秒 1 个单位长的速度向点a 匀速运动，到达点a 后立刻以原来的速度沿ac 返回；点q从点 a 出发沿 ab 以每秒 1 个单位长的速度向点b 匀速运动伴随着p、q 的运动， de 保持垂直平分pq，且交 pq 于点 d，交折线qb-bc-cp 于点 e点 p、q 同时出发，当点q到达点 b 时停止运动，点p 也随之停止设点p、q 运动的时间是t 秒（ t0） （1）当 t = 2 时， a