与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案VIP

1、.与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案姓名1.在坐标系中，点A 的坐标为 (3，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2 设 tan BOC=m，则 m 的取值范围是_2. 如图，在边长为 1 的等边 OAB 中，以边 AB 为直径作 D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O，C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点， 射线 AC 交 O 于点 E，BC=a，AC=b （ 1）求证： AE=b+a；（ 2）求 a+b 的最大值；（ 3）若 m 是关于 x 的方程： x2+ax=b2+ab 的一个根，求 m 的取值范围3. 如图， BAC =6

2、0 °，半径长为 1 的圆 O 与 BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线 AB、AC 于 D 、E 两点，连接DE ，则线段 DE 长度的最大值为().A3B 633CD3 32.4.如图， A 点的坐标为（2， 1），以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B， P（m， n）为 A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值5.如图，在Rt ABC 中， ACB=90 °， AC=4，BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且AD =2， M 为 BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装

3、置的示意图，圆形装置中， O 的直径 AB=5 ， AB 的不同侧有定点C 和动点 P，tan CAB=其运动过程是： 点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q（1）当 PC=时， CQ 与 O 相切；此时CQ=（ 2）当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时，求 CQ 的长；（ 3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。ADMCB.7.如图， ABC 中， BAC=60 °， ABC=45 °， AB= 22 ， D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为直径

4、作 O 分别交 AB， AC 于 E， F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为8.如图，定长弦CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动（点C、 D 与点 A、 B 不重合）， M 是 CD的中点，过点C 作 CP AB 于点 P，若 CD =3， AB=8 ，则 PM 长度的最大值是9如图，已知半径为2 的 O 与直线 l 相切于点A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为C， PC 与 O 交于点 D，连接 PA、 PB，设 PC 的长为 x（2x 4），则当 x=时， PD?CD 的值最大，且最大值是为.10如图，线段AB=4， C 为线段 A

5、B 上的一个动点，以AC、 BC 为边作等边 ACD 和等边BCE ， O 外接于 CDE，则 O 半径的最小值为 ().A.42332EB.C.D. 232DOACB11在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心， 2 为半径画 O，P 是 O 上一动点，且 P 在第一象限内，过点 P 作 O 的切线与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，线段 AB 长度的最小值是.12如图，在Rt ABC 中， C=90 °， AC=6， BC=8， D 为 AB 边上一点，过点D 作 CD 的垂线交直线BC 于点 E，则线段CE 长度的最小值是.ADCOE B13如图， Rt ABC

6、中， C=90 °， A=30 °， AB=4，以 AC 上的一点O 为圆心 OA 为半径作 O，若 O 与边 BC 始终有交点（包括B、 C 两点），则线段 AO 的取值范围是.AOCB.14如图， O 的半径为2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为（）AB C3D215.（ 2015?济南）抛物线y=ax2+bx+4（ a0）过点 A（ 1， 1），B（ 5， 1），交 y 轴于点 C（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）如图 1，连接 CB，以 CB 为边作 ?CBPQ ，若点 P 在直线 B

7、C 上方的抛物线上， Q 为坐标平面内的一点，且 ?CBPQ 的面积为 30，求点 P 的坐标；（3）如图 2， O1 过点 A、B、C 三点， AE 为直径，点 M 为 上的一动点（不与点A，E 重合）， MBN 为直角，边 BN 与 ME 的延长线交于 N，求线段 BN 长度的最大值.16.如图，已知A、 B 是 O 与 x 轴的两个交点，O 的半径为 1， P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、 PB 分别交直线x=2 于 C、 D 两点， E 为线段 CD 的中点（ 1）判断直线 PE 与 O 的位置关系并说明理由；（ 2）求线段 CD 长的最小值；（3）若 E 点的纵坐标为m，

8、则 m 的范围为APD17如图，在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4，O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 D， P 为 D 上的一个动点，连接OAP 、OP ，则 AOP 面积的最大值为 ().BC(A)4213517(B)(C)(D)584.18如图，在Rt ABC 中， C=90 °， AC=8， BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA、CB 分别相交于点P、Q，P则线段 PQ 长度的最小值是 ().A19B 24C 5D4 2A4519如图，在等腰 RtABC 中， C=90 °，AC=BC =4， D 是 AB的中点，

9、点 E 在 AB 边上运动（点E 不与点 A 重合），过 A、D 、E 三点作 O， O 交 AC 于另一点F ，在此运动变化的E过程中， 线段 EF 长度的最小值为B20如图，等腰Rt ABC 中， ACB=90 °， AC=BC=4， C 的半径为1，点 P 在斜边 AB 上， PQ 切 O 于点 Q，则切线长PQ 长度的最小值为(). A. 7B.2 2C. 3D.4CQDBAFODCAPQCB21在平面直角坐标系中，M（ 3，4），P 是以 M 为圆心， 2 为半径的 M 上一动点， A（ -1，0）、B（ 1，0），连接 PA、PB，则 PA2+PB2 最大值是.参考答案引

10、例 1. 解： C 在以 A 为圆心，以2 为半径作圆周上，只有当OC 与圆 A 相切（即到C 点）时， BOC 最小， AC=2， OA=3，由勾股定理得：OC=， BOA= ACO=90°， BOC+AOC=90°， CAO + AOC=90°， BOC = OAC，tanBOC =tan OAC=，随着 C 的移动， BOC 越来越大， C 在第一象限，C 不到 x 轴点，即 BOC 90°，tan BOC，故答案为：m引例 1图引例 2图引例 2. ab2 ；原题：（ 2013?武汉模拟）如图，在边长为1 的等边 OAB 中，以边AB 为直径作

11、D ，以 O为圆心 OA 长为半径作圆O，C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点， 射线 AC 交 O 于点E， BC=a， AC=b （ 1）求证： AE=b+a；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是关于 x 的方程： x2+ax=b2+ab 的一个根，求m 的取值范围【考点】圆的综合题.【分析】（ 1）首先连接BE ，由 OAB 为等边三角形，可得AOB =60°，又由圆周角定理，可求得 E 的度数，又由AB 为 D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C 作 CH AB 于 H，在 RtABC 中， BC=a，AC =b，AB=1 ，

12、可得（ a+b） 2=22a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH 1+2AD =1+AB=2，即可求得答案；（3）由 x2+ax=b2+ab，可得（ x b）（ x+b+a） =0，则可求得 x 的值，继而可求得m 的取值范围【解答】解：（1）连接 BE， OAB 为等边三角形， AOB =60°， AEB=30 °，AB 为直径， ACB= BCE=90 °， BC=a， BE=2 a，CE=a， AC=b， AE =b+a；2 2（ 2）过点 C 作 CH AB 于 H，在 Rt ABC 中， BC=a， AC=b， AB=1 ， a

13、+b =1， SABC= AC ?BC= AB ?CH ， AC?BC=AB?CH，（ a+b）222 1+2AD =1+AB=2， a+b，=a +b +2ab=1+2 ab=1+2CH ?AB=1+2CH故 a+b 的最大值为，2222ab=0， （ x+b）（ x b） +a（ x b）（3） x +ax=b +ab， x b +ax=0，（ x b）（ x+b+a）=0 ， x=b 或 x=（ b+a），当 m=b 时， m=b=AC AB=1， 0 m 1，当 m=（ b+a）时，由（ 1）知 AE=m，又 AB AE2AO=2， 1 m2， 2 m 1， m 的取值范围为0m1 或

14、 2 m 1【点评】 此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用引例 3. 解：连接 EP，DP ，过 P 点作 PM 垂直 DE 于点 M，过 O 做 OF AC 与 F，连接 AO，如图， BAC=60°， DPE =120° PE=PD ，PM DE， EPM=60 °，ED =2EM =2EP?sin60 °= EP = PA 当 P 与 A、O 共线时， 且在 O 点右侧时， P 直径最大 O 与 BAC 两边均相切， 且 BAC=60 °，

15、OAF =30 °，OF=1，AO=2， AP=2+1=3 ， DE =PA=3故答案为：D。.【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE 与 AP 之间的关系，再解决切线的性质来解决问题本题属于中等难度题，难点在于找到DE 与半径 AP 之间的关系，只有找到DE 与 AP 之间的关系，才能说明当A、 O、 P 三点共线时DE 最大引例 3图例一、斜率运用【考点】切线的性质；坐标与图形性质【专题】探究型【分析】 设 m+n=k，则点 P（ m，n ）在直线 x+y=k 上，易得直线 y= x+k 与 y 轴的交点坐标为（ 0，k），于是可判断当直线 y= x+

16、k 与 A 在上方相切时， k 的值最大； 直线 y= x+k与 x 轴交于点 C，切 A 于 P，作 PD x 轴于 D，AEPD 于 E，连接 AB，如图，则 C（ k，0），利用直线 y= x+k 的性质易得 PCD =45 °，则 PCD 为等腰直角三角形， 接着根据切线长定理和切线的性质得AB OB，AP PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE 为矩形， APE=45 °，则DE =AB =1，PE =AP=，所以 PD=PE+DE=+1，然后在RtPCD 中，利用 PC=PD 得到 2+k=（+1），解得 k=1，从而得到n+m 的最大值为

17、1【解答】解：设m+n=k，则点 P（m，n）在直线 x+y=k 上，当 x=0 时， y=k，即直线 y= x+k与 y 轴的交点坐标为（ 0， k），所以当直线 y= x+k 与 A 在上方相切时， k 的值最大，直线 y= x+k 与 x 轴交于点 C，切 A 于 P，作 PD x 轴于 D，AE PD 于 E，连接 AB，如图，当 y=0 时， x+k=0，解得 x=k，则 C（ k， 0），直线 y= x+k 为直线 y=x 向上平移 k 个单位得到， PCD=45°， PCD 为等腰直角三角形， CP 和 OB 为 A 的切线， AB OB，AP PC，AP =AB=1，

18、CP =CB =k+2，四边形ABDE 为矩形， APE=45 °， DE=AB=1 ， APE 为等腰直角三角形，PE=AP =， PD =PE+DE=+1，在 Rt PCD 中，PC =PD ， 2+k=（+1 ），解得 k= 1， n+m 的最大值为 1.【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证， 常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题解决本题的关键是确定直线y= x+k 与 A 相切时 n+m 的最大值例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1. 解：作 AB 的中点 E，连接 EM 、CE在直角 ABC

19、中， AB=5，E 是直角 ABC 斜边 AB 上的中点，CE=AB= M 是 BD的中点， E 是 AB 的中点， ME =AD =1在 CEM 中，1CM +1，即CM 故答案是：CM 2.（1）23CD4 3；（2）22 13；变式题：（ 2011?邯郸一模） 如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中， O 的直径 AB=5 ，AB 的不同侧有定点C 和动点 P，tanCAB =其运动过程是：点P 在弧 AB 上滑动，过点C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q（1）当 PC=时， CQ 与 O 相切；此时CQ=（ 2）当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时，求 CQ 的长；（

20、 3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形【专题】计算题【分析】（ 1）当 CQ 为圆 O 的切线时， CQ 为圆 O 的切线，此时CP 为圆的直径，由CQ 垂直于直径 CP ，得到 CQ 为切线，即可得到CP 的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ 中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ 的长；.（2）当点 P 运动到与点C 关于 AB 对称时， 如图 1 所示，此时 CPAB 于 D，由 AB 为圆 O的直径，得到ACB 为直角，在直角三角形ACB 中，由 tan CAB 与 AB 的长，利用

21、锐角三角函数定义求出AC 与 BC 的长，再由三角形 ABC 的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD 的一半来求，求出CD 的长，得到 CP 的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等， 由已知角的正切值， 得到 tan CPB 的值，由 CP 的长即可求出CQ；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，如图2 所示，过点 B 作 BE PC 于点 E，由 P 是弧 AB的中点，得到 PCB =45°，得到三角形 EBC 为等腰直角三角形，由CB 的长，求出 CE 与BE 的长，在直角三角形EBP 中，由 CPB= CAB，得到 tan CPB=tan CAB

22、，利用三角函数定义求出PE 的长，由 CP+PE 求出 CP 的长，即可求出 CQ 的长【解答】解：（ 1）当 CP 过圆心 O，即 CP 为圆 O 的直径时， CQ 与 O 相切，理由为：PC CQ， PC 为圆 O 的直径， CQ 为圆 O 的切线，此时 PC=5； CAB= CPQ，tan CAB=tan CPQ=， tan CPQ = ，则 CQ=；故答案为： 5；（2）当点 P 运动到与点C 关于 AB 对称时，如图1 所示，此时 CPAB 于 D ，图1图2又 AB 为 O 的直径，ACB=90°， AB=5， tanCAB=， BC=4， AC=3，又 SABC=AC?

23、BC=AB ?CD ， AC?BC=AB?CD，即 3×4=5CD， CD=， PC=2CD =，在 Rt PCQ 中， PCQ=90°， CPQ= CAB，CQ=PCtan CPQ=PC， CQ=×=；（3）当点 P 运动到弧AB 的中点时，如图2 所示，过点B 作 BEPC 于点 E，P 是弧 AB 的中点， PCB =45°， CE =BE =2，又 CPB= CAB，tan CPB=tan CAB=， PE=BE=， PC=CE+PE=2+=，.由（ 2）得， CQ=PC=【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及

24、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键再变式： 如图 3 时， CQ 最长。图 3例三、正弦定理1. EF 的长度由圆 O 的半径决定。解：由垂线段的性质可知，当AD 为 ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短，如图， 连接 OE，OF，过 O 点作 OH EF ，垂足为 H，在 Rt ADB 中， ABC=45°，AB=2AD =BD=2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知EOH= EOF = BAC=60°，在RtEOH 中，EH=OE?sinEOH =1×=，由垂径定理可知EF=2EH =，故答案为：例三 1答图例三 2答图2.

25、 【考点】垂径定理；三角形中位线定理【分析】当CD AB 时， PM 长最大，连接OM ，OC，得出矩形CPOM ，推出 PM =OC，求出 OC 长即可【解答】解：法：如图：当CD AB 时， PM 长最大，连接OM ， OC，CD AB， CP CD ， CP AB， M 为 CD 中点， OM 过 O， OM CD ， OMC = PCD= CPO=90°，四边形CPOM 是矩形， PM =OC， O 直径 AB=8，半径OC=4 ，即 PM =4，故答案为： 4.法：连接 CO， MO ，根据 CPO= CM0=90°，所以 C，M， O， P，四点共圆，且 CO

26、为直径 连接 PM ，则 PM 为 E 的一条弦， 当 PM 为直径时 PM 最大， 所以 PM =CO=4 时 PM最大即 PM max=4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的 CD 的位置，题目比较好，但是有一定的难度例四、柯西不等式、配方法1. 过 O 作 OE PD ，垂足为 E， PD 是 O 的弦， OE PD ， PE=ED ，又 CEO= ECA=OAC=90°，四边形OACE 为矩形， CE =OA=2，又 PC=x，PE =ED =PC CE=x 2， PD=2（ x 2）， CD=PCPD =x 2（ x 2）=

27、x 2x+4=4 x，22， 2 x 4，当 x=3时，PD ?CD =2（ x 2）?（ 4 x）= 2x+12x16= 2（ x 3） +2PD ?CD 的值最大，最大值是 2第 1题答图第 2题答图2. 解：如图，分别作 A 与 B 角平分线，交点为 P ACD 和 BCE 都是等边三角形，AP 与 BP 为 CD 、 CE 垂直平分线又圆心 O 在 CD、 CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心 O 重合，即圆心O 是一个定点连接 OC若半径OC 最短，则OCAB又 OAC=OBC=30°， AB=4， OA=OB，AC =BC=2，在直角 AOC 中， OC=AC?tan O

28、AC=2×tan30°=故选： B 3. 解：（ 1）线段 AB 长度的最小值为4，理由如下：连接OP， AB 切 O 于 P， OP AB，取 AB 的中点 C， AB =2 OC；当 OC=OP 时， OC 最短，即 AB 最短，此时 AB=4故答案为： 4（ 3 题答图）.例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1. 求 CE 最小值，就是求半径OD 的最小值，当ODAB 时 OD 最短。ADCOE B2.3OA43 ；33. 【考点】切线的性质 【专题】压轴题【分析】因为PQ 为切线，所以 OPQ 是 Rt 又 OQ 为定值，所以当 OP 最小时， PQ 最小根

29、据垂线段最短，知OP=3 时 PQ 最小根据勾股定理得出结论即可【解答】 解： PQ 切 O 于点 Q， OQP =90°，PQ2=OP2 OQ 2，而 OQ=2， PQ2=OP24，即 PQ=，当 OP 最小时， PQ 最小，点O 到直线 l 的距离为 3， OP 的最小值为3， PQ 的最小值为=故选 B【点评】 此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ 最小时点 P 的位置是解题的关键，难度中等偏上例五、其他几何知识的运用1. 解：（ 1）将点 A、B 的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：2抛物线得解析式为y=x 6x+4设点 P 的坐标为 P（ m， m2

30、6m+4 ），平行四边形的面积为30，SCBP=15，即： SCBP=S 梯形 CEDP SCEB SPBD m（5+m2 6m+4+1 ） ×5×5 （ m 5）（ m2 6m+5 ）=15 化简得： m2 5m 6=0，解得： m=6，或 m= 1 m 0，点 P 的坐标为（ 6， 4）（ 3）连接 AB、 EB AE 是圆的直径， ABE=90° ABE= MBN 又 EAB=EMB ， EAB NM B A（1， 1），B（ 5， 1），点 O1 的横坐标为 3，.将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4，点 C 的坐标为 （0，4）设点 O1 的坐标为

31、（ 3，m），O1C=O1A，解得： m=2，点 O1 的坐标为（ 3， 2），O1A=，在 Rt ABE 中，由勾股定理得： BE=6，点E 的坐标为（ 5， 5） AB=4， BE=6 EAB NMB ，NB=当 MB 为直径时， MB 最大，此时 NB 最大MB =AE=2， NB=32. 【考点】圆的综合题 【专题】综合题【分析】（ 1）连接 OP，设 CD 与 x 轴交于点 F 要证 PE 与 O 相切，只需证 OPE=90°，只需证 OPB+ EPD=90°，由 OP=OB 可得 OPB= OBP= FBD ，只需证 EPD =EDP ，只需证 EP=ED ，只

32、需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题（2）连接 OE ，由于 PE=CD，要求线段CD 长的最小值，只需求 PE 长的最小值，在 Rt OPE中， OP 已知，只需求出OE 的最小值就可（3）设 O 与 y 轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，而点P 在点 Q 时，点 E 的纵坐标为1，由此就可得到m 的范围【解答】解：（ 1）直线 PE 与 O 相切证明：连接OP，设 CD 与 x 轴交于点 F AB 是 O 的直径，APB =CPD =90°E 为 CD 的中点， PE=CE=DE=CD， EPD= E

33、DP OP=OB， OPB= OBP= DBF DBF + EDB =90°， OPB+ EPD = OPE=90°， EP OP OP 为 O 的半径， PE 是 O 的切线（ 2）连接 OE， OPE=90°， OP=1， PE2=OE2 OP2=OE2 1当 OE CD 时， OE=OF=2 ，此时 OE 最短， PE2 最小值为 3，即 PE 最小值为， PE =CD ，线段CD 长的最小值为2（3）设 O 与 y 轴的正半轴的交点为Q，.由图可知：点P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，当点P 在点 Q 时，由 PEOP 可得点

34、E 的纵坐标为1点 P 是圆上第一象限内的一个动点， m 的范围为 m1【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE 的最小值转化为求OE 的最小值是解决第（2）小题的关键【题型训练】1. 解：连接 OB如图 1， AB 切 O 于 B， OA AC， OBA=OAC=90°， OBP+ ABP=90°， ACP+ APC=90°， OP=OB， OBP= OPB， OPB= APC， ACP= ABC，AB =AC，作出线段 AC 的垂直平分线 MN ，作 OE MN ，如图 2， OE=A

35、C= AB=，又圆O 与直线 MN 有交点， OE=r，2222r，即： 100 r4r， r 20， r 2 OA=10，直线 l 与 O 相离，r 10， 2r10故答案为： 2r 10【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理， 直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度2.原题：（ 2004?无锡）已知：如图，Rt ABC 中， B=90 °， A=30 °， BC=6cm点 O 从 A点出发，沿AB 以每秒cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了 t 秒（

36、 t 0）时，以O点为圆心的圆与边AC 相切于点 D，与边 AB 相交于 E、F 两点过 E 作 EG DE 交射线 BC于 G（1）若 E 与 B 不重合，问t 为何值时， BEG 与 DEG 相似？.（2）问：当 t 在什么范围内时，点G 在线段 BC 上？当 t 在什么范围内时，点G 在线段 BC的延长线上？（3）当点 G 在线段 BC 上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG 的面积 S（ cm2）关于时间 t（秒）的函数关系式，并问点O 运动了几秒钟时，S 取得最大值最大值为多少？【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定【专题】综合题；压轴题；分类讨论【分析】（1）连接

37、 OD ，DF 那么 OD AC，则 AOD =60°， AED =30°由于 DEG=90°，因此 BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论：当 EDG=60°， DGE =30°时， BGD= BGE+ EGD =60°这样 BGD 和 ACB 相等，那么 G和 C重合当 DGE=60°时，可在直角 AOD 中，根据 A 的度数和 AO 的长表示出 AD 的长，也就能表示出 CD 的长，由于 A= AED =30°，那么 AD=DE，可在直角 DEG 中，用 AD 的长表示出 DG ，进而根据 D

38、G AB 得出的关于 CD ，AD，DG，AB 的比例关系式即可求出此时t 的值（ 2）本题可先求出 BG 的表达式， 然后令 BG BC，即可得出 G 在 BC 延长线上时 t 的取值范围（3）由于四边形CGED 不是规则的四边形，因此其面积可用ABC 的面积 ADE 的面积 BEG 的面积来求得在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG 的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积据此可求出S， t 的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S 的最大值及对应的t 的值【解答】解：（ 1）连接 OD ，DF AC 切 O 于点 D， OD AC在 Rt OAD 中， A=30

39、6;，OA=t， OD=OF =t，AD =OA?cosA=又 FOD =90 ° 30°=60 °， AED =30 °，AD =ED= DE EG， BEG =60°， BEG 与 DEG 相似 B= GED=90°，.当 EGD=30°， CE=2BE=2（ 6t）则BGD =60°=ACB，此时 G 与 C 重合，DE =AD， CD=12 ， BE=6t， BEG DEC ，=，=， t=；当 EGD=60° DG BC，DG AB 在 Rt DEG 中， DEG =90°，DE=，

40、DG=t在 Rt ABC 中， A=30°，BC=6， AC=12 ，AB =6， CD =12 DG AB ，解得 t=答：当 t 为或时， BEG 与 EGD 相似；（2） AC 切 O 于点 D ， OD AC在 RtOAD 中， A=30°，OA=t， AED =30°，DE EG， BEG=60°在 Rt ABC 中， B=90°， A=30°， BC=6， AB=6，BE=6t Rt BEG 中， BEG=60 °， BG=BE ?tan60°=18 t当 0 18 t 6，即 t4时，点 G 在线段

41、BC 上；当 18t 6，即 0 t时，点 G 在线段 BC 的延长线上；（3）过点 D 作 DM AB 于 M在 Rt ADM 中， A=30°， DM = AD= tS=SSS=36t2 27 t=（ t）2+（ tABCAEDBEG4）所以当 t=时， s 取得最大值，最大值为.【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点3.D ； 4. 解：当 P 点移动到平行于OA 且与 D 相切时， AOP 面积的最大，如图，P 是 D 的切线， DP 垂直与切线，延长PD 交 AC 于 M，则 DM AC，在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4， AC=5， OA=， AMD = ADC=90°， DAM =CAD ， ADM ACD，=， AD =4，CD=3 ，AC=5， DM =， PM =PD+DM =1+ =， AOP 的最大面积 =OA?PM= × ×= ，故选 D（ 4 题答图）（ 5 题答图）【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P 处于什么位置时面积最大；5. 解：如图，设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D ，连接 FD 、CF、CD，则 FD