第五章系统的稳定性

1、贾光政贾光政 教授教授机械控制工程第五章第五章 系统的稳定性系统的稳定性大庆石油学院机械科学与工程学院大庆石油学院机械科学与工程学院20112011年年5 5月月熟悉熟悉BodeBode稳定判据的基本原理和应用方稳定判据的基本原理和应用方法。熟悉系统的相对稳定性概念及其应法。熟悉系统的相对稳定性概念及其应用用 。 掌握稳定性的概念；掌握掌握稳定性的概念；掌握RouthRouth稳定判稳定判据的基本原理和应用方法；掌握据的基本原理和应用方法；掌握Nyquist稳定稳定判据基本原理和应用方法。判据基本原理和应用方法。内容提要内容提要5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 1 1、系统

2、不稳定现象的发生、系统不稳定现象的发生 （1 1）线性系统不稳定现象发生与否，）线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。取决于系统内部条件，而与输入无关。 （2 2）系统发生不稳定现象必有适当的）系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。反馈作用。 （3 3）控制理论中所讨论的稳定性是指）控制理论中所讨论的稳定性是指自由振荡下的稳定性。自由振荡下的稳定性。 2 2稳定的概念和定义稳定的概念和定义 指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除之后，系统能够以足够精度逐渐恢复到除之后，系统能够以足够精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的或具有稳原

3、来的状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。否则，系统是不稳定的。定性。否则，系统是不稳定的。5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 系统的稳定性：系统的稳定性：从空间尺度来考察。从空间尺度来考察。 2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 xo(0)xo(t)平衡状态平衡状态xo(0)xo(t)平衡状态平衡状态稳定稳定不稳定不稳定2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 若系统在初始状态的影响下，由它所引起若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐的系统

4、的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，若在初始状态的称系统为稳定的；反之，若在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。越远），则称该系统为不稳定的。稳定性的定义：稳定性的定义：从时间尺度来考察。从时间尺度来考察。2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 稳定稳定不稳定不稳定txo(t)txo(t)2 2稳稳定定的的概概

5、念念和和定定义义5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 若系统稳定，则在初始条件不超出允许区域若系统稳定，则在初始条件不超出允许区域 ( ( ) ) 的条件下，系统的输出响应的条件下，系统的输出响应xo(txo(t) ) 最终只能在原最终只能在原平衡工作点附近变化，而与原平衡工作点的偏差平衡工作点附近变化，而与原平衡工作点的偏差不超出预先指定的正数不超出预先指定的正数 ，则系统称为在李雅普，则系统称为在李雅普诺夫意义下的稳定；反之，若对任意给定的正数诺夫意义下的稳定；反之，若对任意给定的正数 ，找不到不为零的正数，找不到不为零的正数 满足下式，则系统称满足下式，则系统称为在李雅普

6、诺夫意义下的不稳定。为在李雅普诺夫意义下的不稳定。 李雅普诺夫稳定性：李雅普诺夫稳定性： | )0(|)(kox | )(|)(txko2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为则系统称为“在大范围内渐近稳定在大范围内渐近稳定”。渐近稳定性是对线性系统定义的稳定性，渐近稳定性是对线性系统定义的稳定性，它要求初态引起的响应最终衰减到零。它要求初态引起的响应最终衰减到零。渐近稳定性：渐近稳定性：渐近稳定性比李雅普诺夫意义下的稳定渐近稳定性比李雅普诺夫意义下的稳

7、定性要求高；渐近稳定的一定是李雅普诺性要求高；渐近稳定的一定是李雅普诺夫稳定，反之则不尽然。夫稳定，反之则不尽然。2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 用线性化方程来研究系统的稳定性时，用线性化方程来研究系统的稳定性时，就只限于讨论初始偏差不超出某一微小就只限于讨论初始偏差不超出某一微小范围时的稳定性，称为范围时的稳定性，称为“小偏差小偏差”稳定稳定性，又称性，又称“小稳定小稳定”或或“局部稳定性局部稳定性”。 小偏差稳定性：小偏差稳定性：5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 系统的全部特征根都具有负实部。系统的全部特征根都

8、具有负实部。3 3稳定的条件稳定的条件系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：或者说：系统传递函数或者说：系统传递函数G G( (s s) )的全部极的全部极点均位于点均位于SS平面的左半平面。平面的左半平面。3 3稳稳定定的的条条件件5.5.1 1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 确定系统稳定性的方法有两种类型：确定系统稳定性的方法有两种类型： 直接计算或间接得知系统特征方程式直接计算或间接得知系统特征方程式的根；的根； 确定保证特征方程的根具有负实部确定保证特征方程的根具有负实部的系统参数的区域；包括：的系统参数的区域；包括：包括：包括：直接求解特征根；直接求解特征根； 根轨迹法。根

9、轨迹法。RouthRouth稳定判据，稳定判据，NyquistNyquist稳定判据稳定判据。1 1系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 设线性系统的特征方程为设线性系统的特征方程为 式中式中si (i=1,2,3,n) 为线性系统的特为线性系统的特征根。征根。 1110( )0nnnnD sa sasa sa1231 11,21,2,3()()()( 1)0nnnnnnnnnniijij kiiijij kiijijka ss ss s ss s s ss 121()()()()0nnnassssssss1 1系系统统稳稳

10、定定的的必必要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 高阶代数方程的根与系数的关系为高阶代数方程的根与系数的关系为 11212312,301 () ()( 1)nniinnniji,jnnnijki,jknnniinasaas sijaas s sijkaasa 1 1系系统统稳稳定定的的必必要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 可求得线性系统特征根可求得线性系统特征根si (i=1,2,3,n) 具有负实部的必要条件为：具有负实部的必要条件为： 特征方程的各项系数特征方程的各项系数 ai (i=1,2,3,n

11、) 都不等于都不等于0 0； 特征方程的各项系数特征方程的各项系数aiai 的符号都的符号都相同。相同。1100,0,0,0nnaaaa2 2系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 列出列出RouthRouth表，确定表，确定RouthRouth稳定判据。稳定判据。 应用应用RouthRouth稳定判据分析系统稳定性的步稳定判据分析系统稳定性的步骤是：骤是： 第一步，将给定的线性系统特征方程的第一步，将给定的线性系统特征方程的系数按下列形式排成两行：系数按下列形式排成两行： 2461357nnnnnnnnaaaaaaaa2 2

12、系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 第二步，根据上面的系数排列，通过规第二步，根据上面的系数排列，通过规定的运算求取如下的劳斯计算表。定的运算求取如下的劳斯计算表。 24681135792123431231101nnnnnnnnnnnnnnsaaaaasaaaaasbbbbscccsdse2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 12311nnnnnaaa aba-1-4-52-1nnnnnaaa aba-1-6-731 nnnnnaaa aba1-3-1

13、 211nnbaa bcb1-5-1 321nnbaa bcb2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 在排列特征方程的系数时，空位需要在排列特征方程的系数时，空位需要以零来填补；以零来填补；凡在运算过程中出现的空位，也必须凡在运算过程中出现的空位，也必须置零，从而构成一个完整矩阵形式的置零，从而构成一个完整矩阵形式的计算表。计算表。注意：注意：2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 第三步，根据劳斯计算表第一列各元素第三步，根据劳斯计算表第一列各元素符

14、号的改变次数确定特征根中具有正实符号的改变次数确定特征根中具有正实部根的个数。部根的个数。若第一列各元间依次序数下来，符号的若第一列各元间依次序数下来，符号的改变次数为零，则具有正实部特征根的改变次数为零，则具有正实部特征根的个数为零，系统是稳定的；个数为零，系统是稳定的；若第一列各元符号不同，则系统是不稳若第一列各元符号不同，则系统是不稳定的，其各元间符号依次改变的次数等定的，其各元间符号依次改变的次数等于具有正实部特征根的个数。于具有正实部特征根的个数。 2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件系统稳定的充要条件为：系统稳定的充要条件为：5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判

15、据（劳斯）稳定判据 RouthRouth表中第一列各元的符号均为正，表中第一列各元的符号均为正，且值不为。且值不为。 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 系统特征方程为系统特征方程为举例举例1 1 0301119)(234sssssD判别其稳定性。判别其稳定性。解：解： 根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下： 432101193011103030012003000sssss改变改变1 1次符号次符号; ;又改变又改变1 1次符号次符号; ;2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件有有2 2个具有正实部的特征根，所以系统个

16、具有正实部的特征根，所以系统不稳定。不稳定。 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 举例举例2 2 系统特征方程为系统特征方程为0750075006 .34)(23KssssD试确定试确定K K取何值时，系统稳定。取何值时，系统稳定。 解：解： 根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下： 321017500034.67500034.6 75007500034.675000ssKKssK2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 能使系统稳定的参数能使系统稳定的参

17、数 K 的取值范围为：的取值范围为： 34.6 7500-1 7500034.6K75000K 解得解得 解得解得 0K 6 .340 K34.6K 由系统稳定的充要条件，要求：由系统稳定的充要条件，要求： 2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件二阶系统稳定的充要条件是：二阶系统稳定的充要条件是： 2100, 0, 0aaa三阶系统稳定的充要条件是：三阶系统稳定的充要条件是： 321012030, 0, 0, 0, 0aaaaa aa a3 3应用应用RouthRouth判据的特

18、殊情况判据的特殊情况 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 （1 1）如果在）如果在RouthRouth表中任意一行的第一表中任意一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分个元为零，而其后各元均不为零或部分地为零，则在计算下一行第一个元时，地为零，则在计算下一行第一个元时，该元必将趋于无穷大，于是该元必将趋于无穷大，于是RouthRouth表计算表计算将无法进行。将无法进行。为了克服这一困难，可用一个很小的正为了克服这一困难，可用一个很小的正数数 来代替第一列等于的元，然后计来代替第一列等于的元，然后计算算RouthRouth表的其余各元。表的其余各元。5.5

19、.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 系统特征方程为系统特征方程为举例举例3 3 3( )320D sss判别其稳定性。判别其稳定性。解：解： 根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下： 32101300202300200ssss 改变改变1 1次符号次符号; ;又改变又改变1 1次符号次符号; ;3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 有有2 2个具有正实部的特征根，所以系统个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。不稳定。 3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定

20、判据（劳斯）稳定判据 （2 2）如果当）如果当RouthRouth表的任意一行中的所表的任意一行中的所有元均为零时，系统的特征根中，或存有元均为零时，系统的特征根中，或存在两个符号相异，绝对值相同的实根；在两个符号相异，绝对值相同的实根；或存在一对共轭纯虚根；或上述的两种或存在一对共轭纯虚根；或上述的两种类型的根同时存在；或存在实部符号相类型的根同时存在；或存在实部符号相异，虚部数值相同的两对共轭复数根。异，虚部数值相同的两对共轭复数根。 3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 在这种情况下，可利用该行的上一行的

21、在这种情况下，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程导数的系数组成式方程导数的系数组成RouthRouth计算表的一计算表的一行代替全行的元，便可按行代替全行的元，便可按RouthRouth稳定判稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完成据的要求继续运算下去，直到得出完成的的RouthRouth计算表。这些数值相同，符号相计算表。这些数值相同，符号相异的成对的特征根，可通过解辅助方程异的成对的特征根，可通过解辅助方程得到，即得到，即p p阶的辅助多项式有这样的阶的辅助多项式有这样的p p对特征根。对特征根。 5.5.2 2 RouthRou

22、th（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 系统特征方程为系统特征方程为举例举例4 4 5432( )224482550 0D ssssss用用RouthRouth表判别其稳定性。表判别其稳定性。解：解： 根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下： 5431242524850000sss3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 将系数带入将系数带入RouthRouth表第三行，继续进行表第三行，继续进行运算运算 3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 辅助方程辅助方程 42(

23、 )248500F sss求导得求导得 38960ss5.5.2 2 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 5432101242524850896024500112.7005000ssssss3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 改变改变1 1次符号次符号; ;有有1 1个具有正实部的特征根，所以系统个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。不稳定。 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 闭环系统的传递函数为闭环系统的传递函数为 )()(1)()()()(sHsGsGsXsXsGioB则闭环系统特征方程为则闭环系统特征方

24、程为 开环传递函数为开环传递函数为 )()()(sHsGsGK0)()(1sHsG闭环系统稳定的充要条件是其特征方程闭环系统稳定的充要条件是其特征方程的全部特征根位于的全部特征根位于 S S 平面的左半部。平面的左半部。 NyquistNyquist稳定判据是通过闭环系统的稳定判据是通过闭环系统的开环频率响应开环频率响应G(j)H(j)与闭环特征与闭环特征方程方程 1+G(j)H(j)=0 的根在的根在 s 平平面上分布之间的联系面上分布之间的联系, ,根据开环频率根据开环频率响应响应G(j)H(j)判别闭环系统稳定性判别闭环系统稳定性的一种准则。的一种准则。 5.5.3 3 NyquistN

25、yquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 1.1.幅角原理幅角原理5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 引入辅助函数，令引入辅助函数，令 ( )1( )( )F sG s H s 1110121( )1()()()()mm-mm-n-nb sbsb sbF sspspspsp式中，式中，pi为闭环系统的开环极点，为闭环系统的开环极点，zi 为为闭环系统的闭环极点闭环系统的闭环极点 121121()()()()()()()()n-nn-nk szszszszspspspsp1 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyqui

26、st（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 F(s) 具有以下特点：具有以下特点：（1 1）F(s) 与与 G(s)H(s) 只相差只相差1 1；（2 2）F(s) 的极点的极点 pi 为开环系统的为开环系统的开环极开环极点点；其零点；其零点 zi 为闭环系统的为闭环系统的闭环极点闭环极点；（3 3）对于物理可实现系统，其开环传递）对于物理可实现系统，其开环传递函数函数 G(s)H(sG(s)H(s) ) 分母多项式的阶数分母多项式的阶数n n大于大于或等于其分子多项式的阶数或等于其分子多项式的阶数m m，因此，因此，F(sF(s) ) 的极点、零点数目相同，都等于的极点、零点数目相同，都等

27、于n n。1 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 幅角原理幅角原理：( )F sujvsj设设F(s)是复变函数，以是复变函数，以F复平面上的复平面上的s为复变量，以为复变量，以s平面上的平面上的表示。表示。表示。表示。1 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 幅角原理幅角原理：如果在如果在s平面任取一个不穿过平面任取一个不穿过F(s)的零点的零点和极点的封闭轨线和极点的封闭轨线LS，它包围的，它包围的零点数和零点数和极点数分别为极点数分别为Z和和P，封闭轨

28、线封闭轨线 LS 通过通过F(s) 映射到映射到F平面上也是一条封闭轨线平面上也是一条封闭轨线 LF。那么，当复变量那么，当复变量s在在s平面中以顺时针方平面中以顺时针方向沿向沿 LS旋转一周时，复变函数旋转一周时，复变函数 F(s)在在F平面上的映射轨迹平面上的映射轨迹 LF 将按顺时针的方向将按顺时针的方向包围原点包围原点 N=Z-P 次次。 1 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 ImReF(s1)LFF(s2)Fjs1Lss2s1 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（

29、奈奎斯特）稳定判据 jsLssImReF(s)LFFz1z2s - z1s z21 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 向量向量F(sF(s) )的相位为的相位为 ：11( )()()mnijijF sszsp假设假设 LS 内只包围了内只包围了 F(s)的一个零点的一个零点 zi，其他零点和极点均在其他零点和极点均在 LS 之外，当之外，当s沿沿LS 顺时针方向移动一周时，向量（顺时针方向移动一周时，向量（s-zi）的）的相位角变化相位角变化 -2弧度，而其他各向量的相弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即位角变化为零。即

30、 F(s) 在在 F 平面上沿平面上沿映射轨迹映射轨迹 LF 绕原点顺时针转了一周。绕原点顺时针转了一周。 1 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 若若s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线 LS 内包围着内包围着 F(s) 的的 Z 个零点，则在个零点，则在F平面上的映射平面上的映射曲线曲线 LF 将绕原点顺时针转将绕原点顺时针转 Z 周。同理，周。同理，若若s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线 LS 内包围着内包围着 F(s) 的的 P 个极点，则在个极点，则在F平面上的映射平面上的映射曲线曲线 LF 将绕原点逆时针转将绕原点

31、逆时针转 P周。若周。若LS 包围了包围了 F(s) 的的 Z 个零点和个零点和 P 个极点，则个极点，则 F(s) 平面上的映射曲线平面上的映射曲线 LF 将绕原点顺时将绕原点顺时针转针转 N=Z-P 周周。 1 1幅幅角角原原理理 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 N ，表示，表示 LF 按顺时针方向包围原按顺时针方向包围原点点 N 次；次；N ，表示，表示 LF 按逆时针方向包围原按逆时针方向包围原点点 N 次；次；N =，表示，表示 LF 不包围原点。不包围原点。5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯

32、特）稳定判据 2 2NyquistNyquist稳定判据稳定判据（1 1） s s 平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹轨迹 设在设在ss平面上有封闭的曲线平面上有封闭的曲线 L LS S，其中，其中，L L1 1 段由段由到到的整个虚轴组的整个虚轴组成，成，L L2 2 段是由半径为段是由半径为R R趋于无穷大的圆趋于无穷大的圆弧组成。因此弧组成。因此 L LS S 就封闭的包围了整个就封闭的包围了整个ss平面的右半平面。平面的右半平面。j0sLsR5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 j-j2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据

33、2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 由于应用幅角原理时，由于应用幅角原理时，L LS S 不能通过函数的不能通过函数的任何极点，所以当函数任何极点，所以当函数 F F(s(s) )有若干个极有若干个极点处于点处于ss平面的虚轴或原点上时，平面的虚轴或原点上时，L LS S 应应被认为是以这些点为圆心，以无穷小为半被认为是以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向从这些点的右侧绕径的圆弧按逆时针方向从这些点的右侧绕过。由于这些小段圆弧紧贴极点绕过，因过。由于这些小段圆弧紧贴极点绕过，因此，可以认为此，

34、可以认为 L LS S 曲线包围了整个曲线包围了整个ss平面平面的右半平面，这一的右半平面，这一 L LS S 封闭曲线即为封闭曲线即为ss平平面上的面上的NyquistNyquist轨迹，当轨迹，当由由变到变到时，轨迹的方向为顺时针方向。时，轨迹的方向为顺时针方向。 jsLsR5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 j-j00+0- -2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 F平面上的平面上的Nyquist轨迹按轨迹按 F

35、(s)函数作出，函数作出，由前述可知，由前述可知，系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是 Z=0。已知的已知的F(s)函数，可以先求得函数，可以先求得F(s)位于位于s平平面的右半平面的极点数面的右半平面的极点数 P，从而可求得，从而可求得 Z=N+P。为保证系统稳定，应使。为保证系统稳定，应使Z=0，即，即 N=Z-P=-P。也就是，。也就是，当当F平面的平面的Nyquist轨轨迹迹 LF 逆时针包围原点的圈数为逆时针包围原点的圈数为N等于等于F(s) 函数位于函数位于s平面的右半平面的极点数平面的右半平面的极点数P时，时，系统稳定系统稳定。 （2 2）FF平面上的平面上的NyquistN

36、yquist轨迹轨迹2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 )()(1)(sHsGsF1)()()(sFsHsG（可见可见GH平面是将平面是将F平面的虚轴右移平面的虚轴右移1个个单位之后所构成的新复平面。单位之后所构成的新复平面。GH平面平面上的（上的（-1,j0）点就是）点就是F平面上的原点。平面上的原点。所以在所以在GH平面上包围点（平面上包围点（-1,j0）的圈）的圈数数 N，就等于在，就等于在F平面上平面上 LF 包围原点的包围原点的圈数圈数 N。（3 3）GHGH平面上的平面上的NyquistNyq

37、uist轨迹轨迹由由可得可得5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 0ImReGHLGH1G(s)H(s)(-1,j0)0ImReFLF1F(s)(1,j0)2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 0lim( )( )snmG s H snm当常量当 s 平面上半径为平面上半径为的半圆映射到的半圆映射到 GH 平面上为原点或实轴上的一点。平面上为原点或实轴上的一点。 s 平面上的虚轴平面上的虚轴 j 映射到映射到GHGH平面

38、平面上的开环上的开环NyquistNyquist轨迹轨迹 G(j )H(j ) 作作为包围点（为包围点（-1-1，j0j0）的评判依据。）的评判依据。2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 NyquistNyquist稳定判据：稳定判据：当当由由-到到+时，若在时，若在GH平面的开平面的开环频率特性环频率特性 GK(j)，即，即G(j)H(j)逆时逆时针方向包围点（针方向包围点（-1,j0-1,j0）P P圈，则闭环系圈，则闭环系统稳定。统稳定。 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 Nyq

39、uistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （1 1）当当P=0，从从-变到变到+时，若时，若GH平面平面上的上的G(j)H(j)不包围原点（不包围原点（-1,j0），即，即N=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。稳定。 （2）当）当P0， 从从-变到变到+时，若时，若GH平面平面上的上的G(j)H(j)逆时针包围点（逆时针包围点（-1,j0）P圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点（-1,j0）的圈数不到）的圈数不到P圈或顺时针包围点圈或顺时针包围点（-1,j0），则闭环系统不稳定。），则闭环系统不

40、稳定。 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 举例举例 稳定稳定不稳定不稳定ImRe(-1,j0)=00 GH =p=0=-ImRe(-1,j0)=00 GH =p=0=-2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （1 1）Nyquist 稳定判据不是在稳定判据不是在s平面，平面，而是在而是在 GH平面判别系统的稳定性平面判别系统的稳定性。是。是通过幅角原理将通过幅角原理将 s 平面的平面的Nyquist轨迹轨迹（虚轴）映射

41、为（虚轴）映射为 GH 平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹 G(j)H(j) ,然后根据然后根据 G(j)H(j)轨轨迹包围（迹包围（-1,j0）点的情况来判别闭环系）点的情况来判别闭环系统的稳定性，而统的稳定性，而G(j)H(j) 正是系统的正是系统的开环频率特性开环频率特性GK(j)。 几点说明几点说明 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （2 2）NyquistNyquist判据的证明比较复杂，但应用判据的证明比较复杂，但应用简单。由于一般系统的开环系统多为最小相简单。由于一般系统的开环系统多为

42、最小相位系统，当位系统，当P=0P=0，故只要看开环，故只要看开环NyquistNyquist轨迹轨迹是否包围点（是否包围点（-1,j0-1,j0），若不包围，则闭环），若不包围，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。 （3 3）当开环系统为非最小相位系统，）当开环系统为非最小相位系统，P0P0，先求出先求出P P，再看，再看NyquistNyquist轨迹包围点（轨迹包围点（-1,j0-1,j0）的圈数，并注意的圈数，并注意由小到大的轨迹方向由小到大的轨迹方向，若是逆时针包围点（若是逆时针包围点（-1,j0-1,j0）P P圈，则闭环圈，则闭环系统稳定；反

43、之，则系统不稳定。系统稳定；反之，则系统不稳定。 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （4 4）在）在P=0，即即G GK K(s(s) )在在ss平面的右半平面平面的右半平面无极点时，有时称为开环稳定；在无极点时，有时称为开环稳定；在P0P0，即，即G Gk k(s(s) )在在ss平面的右半平面有极点时，有时平面的右半平面有极点时，有时称为开环不稳定。开环不稳定，闭环系统仍称为开环不稳定。开环不稳定，闭环系统仍可稳定；开环稳定可稳定；开环稳定, ,闭环系统也可能不稳定。闭环系统也可能不稳定。但开环稳定

44、而其闭环不稳定的系统，在实用但开环稳定而其闭环不稳定的系统，在实用上有时是不可靠的。上有时是不可靠的。 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （5 5）开环）开环NyquistNyquist轨迹是关于实轴对称的，轨迹是关于实轴对称的，所以，一般只需绘出所以，一般只需绘出由由0 0到到+的曲线即可的曲线即可判别稳定性。判别稳定性。|()()| |()()|GjHjG jH j()()()()GjHjG jH j 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.5.3 3 NyquistNyquist（奈奎斯特）稳

45、定判据（奈奎斯特）稳定判据 （6 6）系统传递函数的分母反映了系统本系统传递函数的分母反映了系统本身的固有特性。现在系统传递函数的分母身的固有特性。现在系统传递函数的分母是是1 1+ G(+ G(s s) )H(sH(s) )，即，即F(sF(s).).而而F(sF(s) )包围包围FF平面上原点的情况与平面上原点的情况与G(G(s s) )H(sH(s) ) 包围包围GHGH平面上（平面上（-1,j0-1,j0）点的情况完全一样，因）点的情况完全一样，因此，此， G(G(s s) )H(sH(s) ) 这一开环传递函数包围这一开环传递函数包围GGHH平面上（平面上（-1,j0-1,j0）点的

46、情况就反映了闭）点的情况就反映了闭环系统的固有特性，因此，用它来判别系环系统的固有特性，因此，用它来判别系统的稳定性，即由统的稳定性，即由NyquistNyquist判据用开环传判据用开环传递数判别闭环系统的稳定性，从物理意义递数判别闭环系统的稳定性，从物理意义上来说也是容易解释的。上来说也是容易解释的。5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 1 1NyquistNyquist图和图和BodeBode图的对应关系图的对应关系 -180GHc0g20lg|GH|1234ImRe(-1,j0)=00 GH =c1234+-g1 1奈奈奎奎斯斯特特图图与与伯伯德德图图关关系系

47、 极坐标的单位圆相当于极坐标的单位圆相当于BodeBode图上的图上的0 0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。分贝线，即对数幅频特性图的横轴。 极坐标图上的负实轴相当于极坐标图上的负实轴相当于BodeBode图图上的上的-180-180线，即对数象相频特性图的线，即对数象相频特性图的横轴。横轴。5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 （cc为为NyquistNyquist轨迹与单位圆交点的频率，轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入与输出幅值相等时的频率，称为亦即输入与输出幅值相等时的频率，称为剪切频率或幅

48、值穿越频率，幅值交界频率。剪切频率或幅值穿越频率，幅值交界频率。 gg为为NyquistNyquist轨迹与负实轴交点的频率，轨迹与负实轴交点的频率，亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率。称为相位穿越频率或相位交界频率。 1 1奈奈奎奎斯斯特特图图与与伯伯德德图图关关系系 5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 开环开环NyquistNyquist轨迹在（轨迹在（-1-1，j0j0）点以左穿）点以左穿过负实轴称为穿越。过负实轴称为穿越。2 2穿越的概念穿越的概念 若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的

49、方向，开环NyquistNyquist轨轨迹自上而下（相位增加）穿过（迹自上而下（相位增加）穿过（-1-1，j0j0）点以左的负实轴称为正穿越；点以左的负实轴称为正穿越；若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨轨迹自下而上（相位减小）穿过（迹自下而上（相位减小）穿过（-1-1，j0j0）点以左的负实轴称为负穿越。点以左的负实轴称为负穿越。5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨迹自（轨迹自（-1-1，j0j0）点以左的负实轴开）点以左的负实轴开始向下称为半

50、次正穿越；始向下称为半次正穿越；若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨迹自（轨迹自（-1-1，j0j0）点以左的负实轴开始）点以左的负实轴开始向上称为半次负穿越向上称为半次负穿越 2 2穿穿越越的的概概念念 5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 反之，沿频率反之，沿频率增加的方向，对数相频特增加的方向，对数相频特性曲线自上而下（相位减小）穿过性曲线自上而下（相位减小）穿过-180-180线为负穿越。线为负穿越。对应于对应于BodeBode图上，在开环对数幅频特性为图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿频率正值的频率范围内

51、，沿频率增加的方向，增加的方向，对数相频特性曲线自下而上（相位增加）对数相频特性曲线自下而上（相位增加）穿过穿过-180-180线为正穿越；线为正穿越；2 2穿穿越越的的概概念念 5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 反之，沿频率反之，沿频率增加的方向，对数相频增加的方向，对数相频特性曲线自特性曲线自-180-180线开始向下，为半次线开始向下，为半次负穿越。负穿越。 若沿频率若沿频率增加的方向，对数相频特性增加的方向，对数相频特性曲线自曲线自-180-180线开始向上，为半次正穿线开始向上，为半次正穿越；越；2 2穿穿越越的的概概念念 5.5.4 4 BodeBod

52、e（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 2 2穿穿越越的的概概念念 5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 -180 GH正半次穿越正半次穿越负半次穿越负半次穿越3 3BodeBode稳定判据稳定判据 设设P P为系统开环传递函数在为系统开环传递函数在SS平面的右平面的右半平面的极点数。半平面的极点数。 P=0P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即频特性先交于横轴，即cc gg，则闭环系统不稳定；若则闭环系统不稳定；若cc= =gg，则闭环，则闭环系统临界稳定。系统临界稳定。 5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定

53、判据）稳定判据 3 3伯伯德德稳稳定定判判据据 P0P0时，时， 在在BodeBode图上，当图上，当由由0 0变到变到+ + 时，开环对数相频特性在时，开环对数相频特性在0 0到到cc的频率的频率范围内，正穿越和负穿越范围内，正穿越和负穿越-180-180 轴线的轴线的次数之差为次数之差为P/2P/2时，闭环系统稳定；否则时，闭环系统稳定；否则不稳定。不稳定。 5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 3 3伯伯德德稳稳定定判判据据 若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，则取剪切频率最大值来判别稳定频率，则取剪切频率最大值来判别稳定性

54、，因为最大频率判别系统是稳定的，性，因为最大频率判别系统是稳定的，则低于它的频率自然是稳定的。则低于它的频率自然是稳定的。5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 -180 GH c30 20lg|GH| c1 c20 4 4BodeBode图判别稳定性的优点图判别稳定性的优点 BodeBode图可以用做渐进线的方法作出，图可以用做渐进线的方法作出，比较简便；比较简便； 用用BodeBode图上的渐进线可以粗略地判图上的渐进线可以粗略地判别系统的稳定性；别系统的稳定性；5.5.4 4 BodeBode（伯德伯德）稳定判据）稳定判据 3 3伯伯德德图图判判别别稳稳定定性性的的优优点点 在调整开环增益在调整开环增益K K时，只需将时，只需将BodeBode图图中的对数幅频特性上、下平移即可，因此中的对数