专题五直线圆锥曲线平面向量

1、专题五直线 圆锥曲线平面向量一 能力培养1,函数与方程思想2,数形结合思想3,分类讨论思想4,转化能力5,运算能力二 问题探讨问题1 设坐标原点为O,抛物线y22x与过焦点的直线交于A,B两点,求OA OB的值.问题 2 已知直线 L 与椭圆 x2y21交于 P,Q 不同两点 ,记 OP,OQ 的斜率分别为a2b2kOP , kOQ ,如果 kOP kOQb2,求 PQ 连线的中点 M 的轨迹方程 .a2问题 3 给定抛物线C: y24x ,F 是 C 的焦点 ,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点 .(I) 设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小 ;(II) 设

2、FBAF ,若4,9 ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围.问题 4 求同时满足下列三个条件的曲线是椭圆或双曲线;原点C 的方程O 和直线 x:1 分别为焦点及相应准线;被直线xy0 垂直平分的弦AB的长为 22 .三 习题探选择题1已知椭圆x2y21 的离心率 e105k,则实数 k 的值为5A,325C,5D,15B,3 或15 或332一动圆与两圆x2y21和 x2y28x12 0都外切 ,则动圆圆心的轨迹为A, 圆B, 椭圆C,双曲线的一支D,抛物线3已知双曲线的顶点为 (2,1) 与 (2,5), 它的一条渐近线与直线3x 4 y0 平行 ,则双曲线的准线方程是A, y29B, x2

3、9C, y2 12D, x21255554抛物线 y22x 上的点 P 到直线 yx4 有最短的距离 ,则 P 的坐标是A,(0,0)B, (1,1 )C,(1,1)D,(1,1)已知点 F (1 ,0) ,直线 l : x212225,点 B 是 l 上的动点 .若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段44BF 的垂直平分线交于点M,则点 M 的轨迹是A, 双曲线B,椭圆C,圆D, 抛物线填空题6椭圆x2y21 (a b0) 上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离a2b2为 10,则此椭圆的方程为.37与方程 xy3 的图形关于 yx 对称的图形的方程是.8设 P 是抛物线 y24

4、y4x0 上的动点 ,点 A 的坐标为 (0,1) ,点 M 在直线 PA 上,且分 PA 所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是.9设椭圆与双曲线有共同的焦点F1 (1,0), F2 (1,0) ,且椭圆长轴是双曲线实轴的2 倍 ,则椭圆与双曲线的交点轨迹是.解答题10已知点 H(3,0),点 P 在 y 轴上 ,点 Q 在 x 轴的正半轴上 ,点 M 在直线 PQ 上 ,且满足 HP PM0 ,PM3MQ .2(I) 当点 P 在 y 轴上移动时 ,求点 M 的轨迹 C;(II)过点T ( 1,0)作直线l与轨迹C交于A,B,E (x0 ,0) ,两点 若在 x 轴上存在一点使得ABE

5、 是等边三角形,求 x0 的值 .x2y21 ( a 0, b 0) ,点 B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点 ,11 已知双曲线 C:2b2aO 为坐标原点 .点 A 在 x 轴正半轴上,且满足 OA , OB , OF 成等比数列 ,过点 F 作双曲线 C 在第一 ,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为 P.(I) 求证 : PA OPPA FP;(II) 设 a 1,b2 ,直线 l 与双曲线 C 的左 ,右两分DF的值 .支分别相交于点D,E, 求DE12 已知双曲线的两个焦点分别为F1 , F2 ,其中F1 又是抛物线y24 x的焦点 ,点A ( 1,2),B (3, 2)在双曲

6、线上.(I) 求点F2 的轨迹方程;(II) 是否存在直线yxm 与点F2 的轨迹有且只有两个公共点?若存在 ,求实数 m 的值 ,若不存在 ,请说明理由 .四参考答案问题 1解 :(1)当直线 ABx 轴时 ,在 y22x 中,令 x1,有 y1,则A( 1 ,1),B(1 ,(1,1) (1,321),得 OA OB1).222241(2)当直线AB与 x 轴不互相垂直时设的方程为: yk ( x, AB)2yk ( x1),消去 y ,整理得 k2 x2(k22)x1 k 20 ,显然 k0 .由2y224设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1x2k 22,

7、x1 x21 ,得k24OA OB (x1, y1) ( x2 , y2 ) = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2+ k( x1) k (x21)122= (1 k2 ) x1 x2k2( x1x2 )1 k 224= 1 (1 k 2 )k2 k 22 1 k 2 =3 .42k244综(1),(2) 所述 ,有 OA OB3.4问题 2解 :设点 P,Q,M 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , ( x, y)2222y由条件知 x1y11x2y21pa2b2a2b2xxx1x2 ,yy1y2y1 y2b2o2Q22x1 x2a+得 x1 2x22y1

8、2y222a2b2即( x1x2 )2( y1y2 )22x1 x22 y1 y22,将 ,代入得4x24y2a2b2a2b2a2b22 ,于是点 M 的轨迹方程为x2y21.a2b222问题 3解 :(I)C的焦点为F(1,0), 直线 l 的斜率为 1,所以 l的方程为 yx 1,把它代入 y24x ,整理得 x26x10设 A ( x1, y1 ) ,B (x2 , y2 ) 则有 x1x26, x1 x21.OA OB(x1, y1 ) (x2 , y2 )x1x2y1y22x1 x2(x1x2 ) +1=3 .OA OBx12y12x22y22x1 x2 x1x24( x1x2 )1

9、641cosOA, OBOA OB341OA OB41,所以 OA 与 OB 夹角的大小为arccos 341.41(II) 由题设 FBAF 得 (x21, y2 )(1x1,y1) ,即x21(1x1)y2y1.得 y222 y12,又 y124x1 , y224x2 ,有 x22 x1 ,可解得 x2,由题意知0 ,得B( ,2)或 (,2) ,又 F(1,0),得直线 l 的方程为(1) y 2( x 1) 或 (1) y2(x 1) ,当4,9时 , l 在 y 轴上的截距为2或2,由 222,可知111112在 4,9 上是递减的 ,于是 3214,4213,14334所以直线 l

10、 在 y 轴上的截距为 4 ,3 3,4.3443问题 4 解 :设 M ( x, y) 为曲线 C 上任一点 ,曲线 C 的离心率为 e (e0, e1) ,由条件 ,得x2y2e ,化简得 : (122y22e2x20(i)x1e )xe设弦 AB所在的直线方程为yxm(ii)(ii) 代入 (i) 整理后得 : (2e2 )x22( me2 )xm2e20(iii),可知 e22不合题意 ,有 2e20,设弦 AB的端点坐标为 A (x1, y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,AB的中点 P( x0 , y0 ) .则 x1 , x2 是方程 (iii) 的两根 .x1x22(me

11、2 ),y1y2(x1m)(x2m)2(me2 )2m2e22e2x0x1x2me2, y0y1y2(m 1)e2m ,又中点 P( x0 , y0 ) 在直线 xy 0 上 ,2e222e22有 me2+ (m1)e2m =0, 解得 m2,即 AB的方程为 yx2 ,方程 (iii) 为e22e22(2e2 )x22(e22) x4e20 ,它的8(e22)0 ,得 e22 .x1x22(2e2 )2, x1 x24e22e22e2由 AB1k2x1x2 ,得 AB2( x1x2 ) 2 (1k 2 )( x1x2 ) 24x1x2 (1k2 )2224e2222即 (22)(242 )(

12、1 1 ) ,得 e42 ,将它代入 (i) 得 3xy8x40 .( x4) 2y2所求的曲线C 的方程为双曲线方程:31 .44931焦点在 x 轴得 k3 ;焦点在 y 轴得 k25,选 B.32设圆心 O(0,0), O1 (4,0)'''( r4)(r 1)3,选 C., O 为动圆的圆心 ,则OO1OO3知双曲线的中心为(2,2),由 3x4y0 变形得y2x290 ,于是所求双曲线方程为16( y2) 2( x 2) 21 ,它的准线为 y9,即 y9,选 A.91622554设直线 yxm 与 y22x 相切 ,联立整理得 x22(m 1)xm20 ,由

13、4(m1)24m20 ,得 m1,这时得切点 (1,1),选 B.225由 MFMB 知点 M 的轨迹是抛物线 ,选 D.ac 810 ,消去 c ,整理得 3a286可得 a2a7a 400 ,有 a5或(舍去 ), 得 c3 ,c33b 4 ,所以所求的椭圆方程为x2y21.25167 设点 P (x, y) 是所求曲线上任一点,它关于 yx 对称的点 P' (y,x) 在 xy3 上 ,有 y( x)3 ,即 y x3 .8 设点 P (x0 , y0 ) ,M ( x, y) ,有 xx020y02(1)3x , y03 y 23, y3,得 x0而 y024 y04x00,于

14、是得点 M 的轨迹方程是 9 y212x40 .9 由条件可得PF13 PF2或 PF23 PF1,设 P ( x, y) 代入可知交点的轨迹是两个圆 .10 解 :(I)设点 M (x, y) ,由 PM3 MQ ,得 P(0,y ), Q( x ,0)y3y223由HP PM0 ,得2(3,)(x,) 0,所以y4x .Q在,x0 .22又点x 轴的正半轴上 得所以 ,动点 M的轨迹 C 是以 (0,0)为顶点 ,以 (1,0)为焦点的抛物线 ,除去原点 .(II) 设直线 l : y k( x1) ,其中 k0,代入 y24x ,整理得 k 2 x22( k 22) xk 20设 A (

15、 x1, y1 ) ,B (x2 , y2 ) , x1x22( k 22), x1x21, y1y2k( x11) k(x21)k2= k (x1x2 )2k4,有 AB的中点为 ( 2k 2,2),kk 2kAB 的垂直平分线方程为y212k 20, x021,有 E(21,0)k( xk2) ,令 yk2k2k由 ABE 为正三角形 ,E 到直线 AB的距离为3 AB,知AB4 1k 21k2.2k2由 2 3 1 k 22 1k 2,解得 k3 ,所以 x011 .k 2k2311(I) 证明 :直线 l 的方程为 : ya( x c)bya( x c)a2bab由b x,得 P(,)

16、,又 OA,OB,OF 成等差数列 ,ycca得 A(a2ab),OPa2,ab(b2,abc,0),有 PA(0,(), FPcc) ,ccc于是 PA OPa2b2,PA FPa2b2PA FP.c2c2 ,因此 PA OP(II) 由 a1,b2,得 c5 , l : y1 (x5)2y1 ( x5)由2,消去 x ,整理得 15 y216 5 y160y2x214设 D ( x1, y1 ) ,E (x2 , y2 ) ,由已知有y1y2,且 y1 , y2是方程的两个根 .y1 y216 5 , y1 y216 ,y1y2( y1 y2 )22 y1 y210 ,解得 y23或1.1515y2y1y1 y23y13又 yy ,得 y2 = 1 ,因此DFy113 .12y3DEyyy222111y112 解 :(I)F1 (1,0) ,AF1BF222 ,设 F2 (x, y) 则AF1AF2BF1BF22a0,去掉绝对值号有两种情况,分别得 F2 的轨迹方程为 x1 和 ( x 1)2( y2) 21 (y0, y4 )84(II) 直线 l1 : x1 , l2 : y(x1)2( y2)