高数重积分习题课

1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2重积分习题课重积分习题课2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分一、主要内容一、主要内容2007年8月南京航空航

2、天大学 理学院 数学系4二、典型例题二、典型例题1 利用重积分的性质或交换积分次序来利用重积分的性质或交换积分次序来 证明等式或不等式。证明等式或不等式。2 重积分与累次积分的转化。重积分与累次积分的转化。3 重积分的计算。重积分的计算。2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5例例1 1。有有界界区区域域，求求围围成成的的平平面面及及是是由由曲曲线线其其中中满满足足设设连连续续函函数数),(),()cos(),(),(2yxfxyxyDdxdyyxfxyxexyxfyxfDy 解解332),()cos(),(),(102aedxdyadyxedxdxdyyxfaaxyxexyxfadx

3、dyyxfDxxyDyD 239ea 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6239)cos(),(exyxexyxfy 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7xyxDdxdyyxD2:,)(2222 ：计算：计算答案：答案：23 累次积分；累次积分；为极坐标系中的为极坐标系中的、化、化dyyxfdxx 2010),(32007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8例例4 4.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf1)(11)(

4、.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9例例5 5解解所围成所围成及及由由其中其中计算计算00, 1.)cos( yxyxDdxdyyxyxID,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 则则,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10),(),(vuyxJ ,2121212121 DdudvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11所所围

5、围成成的的与与由由其其中中，计计算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐标利用球面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12例例7 7.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证明证明 证证思路：从改变积分次序入手思路：从改变积分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xx

6、tdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13练习：练习： 11101112222221xyxzyxdzdydxI、计计算算：所围。所围。由由、1,:,1222222 zyxzdvzyx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14为为四四分分之之一一球球： 2221111011yxzxyx 1110111222222xyxzyxdzdydxI计计算算： 00cos224cos1)247(6sindrrrddI ddrdrdvsin2 用用球球坐坐标标做做： cos2cos1400: r例例3解解oxyz2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15所围。所围。由由1,:,122222 zyxzdvzyx 11111222222222222222zyxzyxzyxzyxzyx解解212221 分成二部分：分成二部分：将将用球：用球：zyx12oxyzdvzyxdvzyxdvzyx 21 11 12222222222007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16) 12(6sin) 1(sin)1 (201202001024cos14 drrdddrrrddoxyz122007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17所所围围立立体体体体积积三三、求求：由由0,)( ,22222222 zyxyxyxz2