数学分析 第一学期教案

1、.§1 实数一、实数及其性质 有理数：用分数形式表示，有限十进制小数或无限循环小数 实数 无理数：无限不循环小数 有限无限化：正当时，记 当为正整数时， 对于负的先正再加负号 0=0。0000定义两个实数大小的关系：定义1：给定两个非负实数， 其中为非负整数，为整数 若有 则称 若或存在非负整数，使得而 ，则称。 对于负实数，定义2：设为非负实数，称有理数 为实数的位不足近似，而有理数为实数的位过剩近似。 对于负实数 注意：不足近似，当n增大时不减。而过剩近似当n增大时不增。 命题：设，则的 例1 设为实数，。证明：存在有理数满足 实数的主要性质：1、 四则运算是封闭的。2、 有序的

2、。3、 大小关系具有传递性。4、 阿基米德性，即对，若，则5、 稠密性6、 数轴例2：，证明：对于任何正数，有，则。二、绝对值与不等式1、 定义：2、几何意义 3、性质 |a|=|-a|0 -|a|a|a| |a|<h-h<a<h |a|-|b|a+b|a|+|b| |ab|=|a|b| |a/b|=|a|/|b|三、注解1. 本书记号全称量词：，从而引入了谓词逻辑，谓词逻辑的三个主要关键难点和要害是：存在性的验证（取出则存在，存在则能够取出），命题的否定（先把命题公式化，然后写出否定表达，然后做出解释），蕴涵关系的公式化（对于任意或者存在逻辑变元，在命题的内层已经确定，内层

3、和外层的区分在于对命题的习惯性或经验性描述）；注 概念的命题性描述。2. 集合的表示： 正整数集，整数集，有理数集，实数集；3. 实数域中的符号： ，；4. 的合理性；5. 实数域和有理数域；6. 典型例题（实数的稠密性）：例2设，证明：若有则；反证法 是证明上述命题的逆否命题成立，外层的蕴涵的逆否是结论不成立在前提不成立，前提不成立的逻辑描述是，验证此命题的关键是存在性的验证，通常有三种取法：取0=ab，取0=（ab）/2，取0=cb其中c是取a，b之间的一个实数，共同的本质是实数的稠密性；作业：1-6思考题：7-9§2 数集与确界原理一、 区间与邻域区间：开区间、闭区间、半开半闭

4、区间、无限区间。邻域：（a；）0（a；）+（a；）-（a；）（；）二、 有界集·确界原理1、 有界集：设S为R中的一个数集。若存在数M（L），使得对一切，都有，则称S为有上界（下界）的数集数M（L）称为S的一个上界（下界）。若既有上界又有下界，则称有界集，否则为无界集。 注意：区间与界集的关系；界的个数。例：证明数集N+=n|n为正整数有下界而无上界。 2、确界1） 定义：设S是R中的一个数集，若数满足： 对于一切，有 对于任何存在，使得则称为数集S的上（下）确界，记作 例1：设S=x|x为区间（0，1）中的有理数，证supS=1，infS=0例2：E=，（0，1）0，1 N注意：唯

5、一性且infSsupS；确界可能属于S，也可能不属于S例3：设数集S有上确界。证明2） 确界原理 定理：设S为非空数集。若S有上（下）界，则必有上（下）确界。例4：设A、B为非空数集，满足对一切和有。证明A，B有上、下确界且supAinfB 例5：设A、B为非空有界数集，S=AB。证明： supS=max（supA，supB） infS=min（infA，infB）三、注解1. 原理是存在性的验证为取到；2. 上述两个例题的证明可以用概念的两条来证明（用的是谓词逻辑），也可以用上确界是最小上界，下确界是最大上界来证明（用的是命题逻辑），显然用命题逻辑更简单；3. 问题是命题逻辑虽然简单，但是概

6、念是语言性描述，而不是数学语言描述，而用谓词逻辑虽然是数学语言，却因为是谓词逻辑，因而对于初学者来说接受起来更难一点；作业：1、2、4、5 思考题：2、6、7、8 §3 函数概念一、 定义1、 概念：给定两个数集D和M，若有对应法则，使得D内每一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在D上的函数，记作：D定义域，2、 几点说明：1）两个主要因素 2）定义域3）单值对应（映射）4）多值对应二、 函数的表示法：解析法、列表法、图象法1、 分段函数 sgnx 2、语言描述法 D（x），R（x）三、 四则运算：给定两个函数和，记，并设，则F（x）+，G（x）-，H（X）*L（x）/注意

7、：若D=，不能运算四、 复合函数1、 定义：设有两函数 记E* =，则对每一个 ，可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u有通过函数对应唯一的一个。这就确定了一个定义在 E* 上的函数，它以为自变量，为因变量，记作或2、注意：复合的条件 3、例五、反函数2、 概念：设函数满足：对于值域中的每一个值，D中有且有一个值使得则按此对应法则得到一个定义在上的函数，叫的反函数，记 或 3、 注意问题：存在的条件； 与的区别六、 初等函数a) 基本初等函数（6类）b) 初等函数 作业：1、4、6 思考题：3、5、7、8、11 §4具有某些特性的函数一、 有界函数有界无界1、 定义1：是定义在D上

8、的函数，若存在M（L），使得对每一个，有 ，称为D上的有上（下）界函数注意：有界一定有无数个界。定义2：是定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个，有 称为D上的有界函数。M-MyxoX界与上（下）界的关系M-Myxoy=f(x)X2、几何意义：3、例 例1：证明为（0，1）上的无界函数 例2：设为D上的有界函数，证明 二、 单调函数1、 定义：单调函数和严格单调函数 2、例如：2、 设为严格单调函数，则必有反函数且严格单调。3、 注意：单调性与区间有关。三、 奇函数和偶函1、 定义：设D为对称于原点的数集 2、几何意义：3、例四、 周期函数1、 定义 2、基本周期 3、例 作业：1、3、

9、6 小结习题课一、 知识要点二、 存在问题三、 重点题型四、 作业§1 数列极限的概念一、定义1、 数列：若函数的定义域为全体正整数集合N+ ，则称N+R或 为数列，可以写作2、 收敛数列：设为数列，为定数。时有（ 则称数列收敛于。极限不存在则发散。二、例1： 三、几点说明 1、的任意性 2、N的相依性 3、几何意义3、 等价定义：，若在之外数列中的项至多有有限个则收。，使得有无穷多个项落在之外则发散。 例：发散例设证明：例：增加、减少或改变有限项，不改变连散性四、无穷小数列1、 若，则称为无穷小数列2、 数列收敛于为无穷小数列作业：2、4、5、7、8思考题：1、3 §2收

10、敛数列的性质一、唯一性、有界性（有界不一定收敛）、保号性、保不等式性例：设。若，则迫敛性 例：的极限为1 设：二、 四则运算 三、 子列 1、概念：设数列，为N+的无限子集，且，则数列称为子列 注意：1） 2）平凡子列：数列本身以及去掉有限项的到的子列。3、 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛。 数列有一个子列发散或有两个子列收敛而极限不相等，则发。作业：1-4、6思考：7、8§3 数列极限存在的条件一、 单调有界定理证明：由上确界的定义知使得又由递增知 例1 例3 设S为有界数集，证明：若supS=a，则存在严格递增数列使得 例4 二、可西收敛自准则：数列收敛 例5 收敛

11、作业：1、3、5、7思考题：2、8 习题课一、 知识要点二、 重要题型三、 小测验§1 函数极限概念一、趋于时函数的极限 1、 定义：设为定义在上的函数，A是定数，若对，使得当时有 称函数当趋于+时以A为极限。记作 或）2、几何意义： A + A A - 0 M 3、的比较4、例 二、趋于时函数的极限（3种情况）1、趋于 定义：设在内有定义，A是定数，若对，存在正数，使得当时有称函数当趋于时以A为极限。记作 或 例 说明几点：；等价命题 几何意义：A+ A A- 0 2、单侧极限：设在或内有定义，A是定数，若对，存在正数，使得当（或）时有称函数当趋于时以A为极限。记作 或 例：在点

12、处的单侧极限3、 关系： 三、注解1. 定义2中的正数相当于数列极限定义中的，它依赖于，但是也不是由所唯一确定。一般说来，愈小，也相应地要小一些，而且把取的更小也无妨；2. 定义2中只要求函数在点的某个空心邻域有定义，而不考虑在点处是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当过程中函数值的变化趋势；3. 定义2中的不等式等价于，而不等式等价于。于是，定义又可写成：，使得对于一切有。或简单的表为：，使得。4. 定义的几何意义如图所示，在坐标平面上画一条以直线为中心线、宽为的横带，使函数的图象在该竖带中的部分全部落在横带内，但是点可能例外（或无意义）作业：1、3-7思考题：2、

13、8 §2 函数极限的性质 唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算例： 作业：1-7 §3 函数极限存在的条件定理3.8 （归结原则）设在内有定义，极限存在的充要条件是：对于任何含于 且以为极限的数列，极限都存在且相等。注1 归结原则也可简述为：对任何有注2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在。例1 证明极限不存在。对于，这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式。现以这种类型为例阐述如下：定理3.9 设函数在点的某空心右邻域内有定义。极限存在的充要条件是： 对于任何含于 且以为极

14、限的递减数列，极限。相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：定理3.10 设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在。最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。定理3.11 设函数在内有定义。存在的充要条件是：若，使得 当时有 ，按照函数极限的柯西收敛准则，我们能写出极限不存在的充要条件：， ，使得作业：§4 两个重要的极限一 证明例1 ， 例2 。二 证明例3 求 例4 求 例5 求三 注解1. 证明：若 1) 函数在内有定义，；2) 函数在内有定义，；3) 当时，则2. 作业 1、连续性的概念四 函数在一个点的连续定义1 设函数

15、在某内有定义。若则称在点连续。例如，在处连续。在点连续，其中称为自变量在点的增量或改变量。而相应的函数的增量记为 。函数在一个点的连续性也可通过语言来定义，即 若 ，使得 当时有 称在点连续。还可写成 例1 证明函数在点连续。定义2设函数在某内有定义。若（或）称在点右（左）连续。定理4.1函数在点连续的充要条件是：在点既是右连续，又是左连续。例2 讨论函数 在点的连续性五 间断点及其分类定义3 设函数在某内有定义。若在无定义，或在有定义但是不连续，则称点为函数的间断点或不连续点。间断点分类：1. 可去间断点 若 而在无定义，或有定义但是，则称为的可去间断点。例如为函数的可去间断点，为函数的可去

16、间断点。2. 跳跃间断点 若在的左、右极限都存在，但是 则称点为的跳跃间断点。 例如，函数在时为跳跃间断点，是的跳跃间断点。 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。3. 第二类间断点 函数至少有一侧极限不存在。例如为函数和的第二类间断点。六 区间上的连续函数若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数的连续是指左连续或右连续。例如，函数，都是上的连续函数，而函数是区间上的连续函数。函数在区间上仅有第一类间断点，则称在区间上分段连续，例如函数和在上是分段连续函数。七 作业§2 连续函数的性质一 连续函数的局部性质定理4.2 （局部有界性）若

17、函数在点连续，则在某内有界。定理4.3 （局部保号性）若函数在点连续，且（或），则对于任何正数（或），存在某，使得对于一切有 （或）定理4.4 （四则运算）若函数和在点连续，则，（）也都在点连续。定理4.5 若函数在点连续，在点连续。，则复合函数在点连续。注解 根据连续性的定义，上述定理的结论可以表为 例1 求例2 求（1）；（2）。二 闭区间上连续函数的基本性质定义1 设函数定义在数集。若，使得对一切有（或），则称在上有最大（最小）值，并称为在上的最大（最小）值。定理4.6（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大（最小）值。推论（有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在闭区

18、间上有界。定理4.7（介值性定理）设函数在闭区间上连续，且，若是介于与之间的数，则至少存在一点使得 。推论（根的存在性定理）若函数在闭区间上连续，且与异号，则至少存在一点使得 例3 证明：若，为正整数，则存在唯一的正数使得 。例4设函数在闭区间上连续，满足 证明：使得 。三 反函数的连续性定理4.8若函数在闭区间上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续。例5 在区间上连续。例6 在区间上连续。例7 在区间上连续.例8 在区间上连续.例9 在其有定义的区间上连续.四 一致连续性定义2设是定义在区间的函数。若，使得且时有，则称在区间上一致连续。例10 证明函数在一致连续。例11 证明函数在内不

19、一致连续。定理4.9（一致连续性定理）若函数在闭区间上连续，在在闭区间上一致连续。例12 设区间的右端点为，区间的左端点也为。试按照一致连续的定义证明：若分别在区间、上一致连续，则在上一致连续。证明：，因为分别在区间、上一致连续， 所以，当且时有， ，当且时有， 取则当且时i. 则；ii. 则；iii. ，且则且，则；iv. ，且则且，则； 即 所以在上一致连续。五 注解1. 复合函数的连续性：，1) 第一个等式表示外函数可与极限交换次序，用于外函数简单而内函数复杂时候；2) 最后一个等式表示求极限过程可以换元，用于外函数复杂而内函数简单：3) 另外，把内函数的连续性可以改为极限存在，因为内函

20、数可以延拓为连续函数；4) 对于其它类型的极限也有类似结果。2. 作业§3 初等函数的连续性一 指数函数的连续性定理4.10 设，为任意实数，则有 ，。定理4.11 指数函数在上是连续的。例1 设，。证明： 二 初等函数的连续性定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。定理4.13 任何初等函数都是在其定义域区间上的连续函数。例2求；例3求；三 注解1. 函数在区间上连续且严格单调，则逆函数在其有定义区间上也是连续函数；2. 本章我们学到用初等函数的连续性求极限；3. 本章我们学到用闭区间上连续函数的性质证明某些数学论断；4. 作业 1、 拉格朗日定理及函数的单调性四

21、、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔（Rolle）中值定理）若f满足如下条件：（1）fa,b；（2）f在(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)，则存在(a,b)，使得。定理6.2(拉格朗日 (Lagrange)中值定理)若函数f满足以下条件：（1）f在a,b上连续；（2）f在(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点，使得。推论1 若函数f在区间I上可导，且，则f为I上的一个常量函数。几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。简单应用：证明：（1）在-1,1上恒有 ， （2）在上恒有 推论2 若函数f和g均在I上可导，且，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在

22、常数C，使得。推论3 （导数极限定理）设函数f在点的某邻域内连续，在内可导，且存在，则f在点可导，且。例1设f为R上的可导函数，证明若方程没有实根，则方程f(x)=0至多只有一个实根。例2设f，在连续可微，在（a,b）二阶可微，且，证明：在(a,b)中至少有一个根。例3已知，证明至少有一正实根。例4设，证明于（0,1）中至少有一根。例5设，在（0,1）可导，证明：若f(0)=f(1)=0，则在（0,1）内存在一点，使得。例6证明 对一切h>-1，h0有公式五 函数的单调性定理6.3 设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增（减）.例7 设，试讨论函数f的单调区间。定理6.4 若函数

23、f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（）对一切，有；（）在(a,b)内的任何子区间上。推论 若f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且y=f(x)在右端点a右连续，则f在a,b上变为严格递增（减），对左端点b也有类似讨论。例8 证明等式：当时，例9 证明 时，§4 柯西中值定理和不定式极限一 柯西中值定理定理6.5(柯西(Cauchy)中值定理)若函数f，g（xg(u)，yf(u)，ua,b）满足如下条件：（1）；（2）f，g在(a,b)内可导；（3）至少有一个不为0；（4）g(a)g(b)。在存在(a,b)，使得。例1设f

24、在a,b（a>0）上连续；在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f(b)-f(a)=二 不定式极限1型不定式定理6.6（洛必达法则） 若函数f和g满足：（1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则。注 （1）将改为时，上述结论都对；（2）是分子，分母分别求导时极限和不同，更不能认为是。例2例3 2.型极限定理6.7 （LHospital法则）（1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则。注 （1）将改为时，上述结论都对；（2）如果，满足条件，则可再次使用该法则。例3例4注 使用LHospital法则应注意的一些问题：（1）、不能对任何比较类型的极限都用LH

25、ospital法则来求解，必须是型和型才可以；（2）、若不存在，就不能用，但这不意味着不存在；（3）、可以使用LHospital法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方法；（4）、只有当比简单时，用LHospital法则才有价值，否则另找方法，故LHospital法则不是“万能工具”。3其它类型不定式极限如型、型、型、型、型、型、型等，经过变换，它们一般均可以化为型和型的极限，如下列各例例5 例6 例7（k为常数）例8例9例10设，已知，试求。例11 §5 泰勒公式 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一

26、般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？在“微分在近似计算中的应用”中我们知道，如果函数f在点可导，则有有限增量公式；即在附近，用一次多项式逼近函数f(x)时，其误差为。然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式易见,，（多项式的系数由其各阶导数在的取值唯一确定）。对于一般的函数，设它在点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下称为函数f在点处泰勒多项式，的各项函数，（k1,2,n）称为泰勒系数。一 带有皮亚诺余

27、项的泰勒公式定理6.8 若函数f在点存在直至n阶导数，则有，即即函数f在点处的泰勒公式；称为泰勒公式的余项。形如的余项称为皮亚诺（peano）型余项。若f(x)在点附近函数满足，其中，这并不意味着必定是f的泰勒多项式。但并非f(x)的泰勒多项式。（因为除外，f在x0出不再存在其它等于一阶的导数。）；2、满足条件的n次逼近多项式是唯一的。由此可知，当f满足定理1的条件时，满足要求的多项式一定是f在点的泰勒多项式；3、泰勒公式0的特殊情形麦克劳林（Maclaurin）公式定理6.8给出了用泰勒多项式来代替函数yf(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当时，误差是较高阶的无穷小量，这是一种

28、“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来。为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。二 带有Lagrange型余项的Taylor公式定理6.9（泰勒定理） 若函数f在a,b上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n1阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得：注（1）、当n0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；（2）、当时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式 例1带Penno余项的Maclaurin公式例2带Lagrange型

29、余项的Maclaurin公式 ， ， ， ， ， ，三 常见的Maclaurin公式的初步应用利用上述Maclaurin公式，可求得其它一些函数的Maclaurin公式或Taylor公式。例3 写出的Maclaurin公式，并求与例4求在x2处的Taylor公式例5 例6（1）计算e的值，使其误差不超过；（2）证明e为无理数。例7用Taylor多项式逼近正弦函数sinx，要求误差不超过，试求m1和m2两种情形分别讨论x的取值范围。§6 函数的极值与最大（小）值一 极值判别定理6.10（极值的第一充分条件）：设f在点连续，在某邻域U(,)内可导，（1）若当时，；当时，则f在点取得最小值

30、；（2）若当时，；当时，则f在点取得最大值；（3）若在和内不等号，则点不是极值点。若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法定理6.11（极值的第二充分条件） 设f在点的某邻域U(,)内一阶可导，在x处二阶可导，且，则有：（1）若，则f在出取得极大值；（2）若，则f在出取得极小值。注 对于二阶导数无法判别的问题，可借助于更高阶的导数来判别。定理6.12（极值的第三充分条件）设f在的某邻域内存在直到n1阶导函数，在处n阶可导，且，（k1，2，n1），则（1）当n为偶数时，f在取得极值，且当时，取极大值；当时，取极小值；（2）当n为奇数时，f在不取得极值。例1 求的单调区间、极值点和极值。例2 求的极值点与极值。例3 试求函数的极值二 最大值与最小值由连续函数在a,b上的性质，若f在a,b上一定有最大、最小值。这为求连续