第九章第1节多元函数的基本概念

1、1推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: : 善于类比善于类比, , 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 2第九章第九章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第八节第八节 多元函数的极值及其求法多

2、元函数的极值及其求法3 第九章 第一节第一节二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 五、小结五、小结一、平面点集一、平面点集 n维维空间空间41.1.邻域邻域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx 一、平面点集一、平面点集 n维维空间空间 )(0oppu00 pp说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0pu点点p p0 0的的去心邻域去心邻域记为记为5(1) (1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点

3、设有点集设有点集e e及一点及一点p p : : 若存在点若存在点p p的某邻域的某邻域 u u( (p p) ) e e , , 若存在点若存在点p p的某邻域的某邻域 u u( (p p) )e e = = , , 若对点若对点p p的任一邻域的任一邻域u u( (p p) )既含既含e e中的内点也含中的内点也含e ee则称则称p p为为e e的的内点；内点；则称则称p p为为e e的的外点外点 ; ;则称则称p p为为e e的的边界点边界点 . .的外点的外点 , ,显然显然, ,e e 的内点必属于的内点必属于e e , , e e 的外点必不属于的外点必不属于e e , , e e

4、 的的边界点可能属于边界点可能属于e e, , 也可能不属于也可能不属于e e . . 2. 2. 区域区域6若对任意给定的若对任意给定的 , ,点点p p 的去心的去心) ,(pue邻域邻域内总有内总有e e 中的点中的点 , , 则则称点称点p p是是e e 的的聚点聚点. .2) 2) 聚点可以属于聚点可以属于e e , ,也可以不属于也可以不属于e e ( (因为聚点可以为因为聚点可以为 e e 的边界点的边界点 ) )（2 2）聚点）聚点1)1) 内点一定是聚点；内点一定是聚点；10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合yx| )y,x(1

5、22 例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合7d d(3) (3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集e e的点都是的点都是内点内点，则称，则称e e为为开集开集； 若点集若点集e e e e , , 则称则称e e为为闭集闭集； 若点集若点集d d中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于d d的折线相连，的折线相连， 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .则称则称d d是是连通的；连通的； 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域，简称，简称区域区域 ；。 。 e e 的边界点的全体称为的边界点的全体称为e

6、e 的的边界边界, ,记作记作 e e ; ;8例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域 xyo21xyoxyoxyo219 整个平面整个平面 点集点集 1),(xyx是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 . .11o oxy 对区域对区域d d, ,若存在正数若存在正数k k, ,使一切点使一切点p p d d与某定点与某定点 a a 的距离的距离 apapk k , ,则称则称d d为为有界域有界域 , , 界域界域 . .否则称为否则

7、称为无无103. 3. n n 维空间维空间n n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为的全体称为n n维空间维空间, ,rnn n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的kx数称为该点的第称为该点的第k k个个坐标坐标 . .记作记作即即rrrrnnkxxxxkn,2, 1,r),(21一个一个点点, , 111). n维空间的记号为维空间的记号为;nr2). n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxp),(21nyyyq.)()()(|2222211nnxyxyxypq 3). n维空间中邻域、区域等概念维空

8、间中邻域、区域等概念 nrpppppu ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为12二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrv ,(为常数）为常数）rvtrp )2(cbap cba 0, 0),( hrhr 0, 0),(ttvtv cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpapps hr13定义定义1. 1. 设非空点集设非空点集,rnd dppfu , )(或或数集

9、数集 dp,pfuu )(称为函数的称为函数的值域值域 . .2r),(),( dyxyxfz3r),(),( dzyxzyxfu映射映射r:df称为定义称为定义),(21nxxxfu 在在 上的上的 元函数元函数 , , 记作记作dn点集点集 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; ; d特别地特别地 , ,当当 时时, ,有二元函数有二元函数2 n当当 时时, , 有三元函数有三元函数3 n14:说明说明;会求函数的定义域会求函数的定义域xyz 0 xyd:xyoyxz111 yxd:xy15例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222y

10、xyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd 16二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.的图形的图形二元函数二元函数),(yxfz 17xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:18图形图形)(221yxzxyzo221yxzxyz19三三、多元函数的极限多元函数的极限,r),(ndppf 点点 , , ),(0pudp , -)( apf( (也称为也称为n n重极限重极限) )当当n n =

11、2=2时时, , 记记20200)()(yyxxpp 二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：ayxf ),(lim0 apfpp )(lim0p p0 0 是是d d 的聚的聚对一对一记作记作，时的极限时的极限当当0)(pppfayxfyyxx ),(lim00都有都有对任意正数对任意正数 , ,总存在正数总存在正数 , ,切切)(语言语言 定义定义2.2. 设设 元函数元函数n若存在常数若存在常数 , ,a则称则称 为函数为函数a20例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 取

12、取当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立 01sin)(2222yxyx要使要使,22 yx只要只要21说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxxapfppapfpp)(,)(lim)(时时以任意方式趋于以任意方式趋于0030p22;)(法求二元函数的极限法求二元函数的极限用一元函数求极限的方用一元函数求极限的方411300 xyxyyxlim例例xyxyxyyx)(lim11002yxxyxx21140)(lim例例y

13、xxxyxx)(lim110e23例例5 5 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 24apfapfpppp)(lim,)(,)(005不能断定不能断定时时只取某些特殊路径趋于只取某些特殊路径趋于如果点如果点:由此知由此知.,则则函函数数极极限限不不存存在在若若存存在在两两路路径径极极限限不不同同在的方法在的方法判别多元

14、函数极限不存判别多元函数极限不存25.lim不存在不存在证明证明例例2222006yxyxyx000yoxyxp此时此时轴趋于轴趋于沿沿当点当点解解),(),(:222200yxyxyxlim220 xxx lim1000 xoyyxp此时此时轴趋于轴趋于沿沿当点当点),(),(222200yxyxyxlim220yyylim1极限不存在极限不存在26例例7 7 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在27（2）

15、 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：288例例?)ln(lim是否存在是否存在yxxyxyx100:解解xxy 取取yxxyxyx)ln(lim100yxyxyx200lim xxxx320lim)(lim 320 xxx33031 ,.极限不存在极限不存在29四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 3 . .设设n n元函数元函数)(pf定义在定义在d d上上, ,)(

16、)(lim00pfpfpp 0)(ppf在点在点,0dp 聚点聚点如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续, ,0p此时此时称为称为间断点间断点 . .则称则称n n元函数元函数连续连续, , 二元函数在点二元函数在点p p0 0处连续性的表达方法处连续性的表达方法: : 00,lim. 100yxfyxfyxyx 2. 2. 全增量全增量 0, 000,yxfyyxxfzx 0lim00, zyxyx则则)(00yyyxxx 30:说明说明下三条同时成立下三条同时成立点连续点连续在在 ),(),()1(000yxpyxfz点有定义。点有定义。在在),(),()1000yxpyxfz 存在

17、存在),(lim)200yxfyyxx),(),(lim)30000yxfyxfyyxx 一不成立一不成立上三条至少有上三条至少有点不连续点不连续在在 ),(),()2(000yxpyxfz31.),(,),()3(内的连续函数内的连续函数是是称称内各点都连续内各点都连续在在如果如果dyxfzdyxfz 曲面。曲面。一个无孔洞、无裂缝的一个无孔洞、无裂缝的二元连续函数的图形是二元连续函数的图形是)4()(122yxz 如如32例例9 9讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)(0,0)处的连续性处的连续性解解,)0 ,

18、 0(),(点有定义点有定义在在yxf),(lim00yxfyx223300limyxyxyx )sin(coslim330sincos rrryrx0 )0 , 0(),(lim00fyxfyx 即连续即连续33例例1010 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续34闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域d

19、d上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在d d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在d d上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理35 多元初等函数：多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表

20、示的多元函数叫多元初等函数所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域)1cos( xyz如如1322yxxyz36四四. .小结小结1. 1. 区域区域 邻域邻域 : :, ),(0pu),(0pu 区域区域连通的开集连通的开集 空间空间nr2. 2. 多元函数概念多元函数概念n n 元函数元函数),(21nxxxf 常用常用二元函数二元函数 ( (图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面) )三元函数三元函数dp )(pfu nr 37apfpp )(lim0,0 ,0 时，时，当当00 pp有有)( apf3. 3. 多元函数的极限多元函数的极限4. 4. 多元函数的连续性多元函数的连续性1) 1) 函数函数