第4章数值积分

1、2021-11-251第四章第四章 数值积分数值积分求得定积分求得定积分1.插值型求积公式插值型求积公式2.代数精度代数精度3.牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式4.梯形公式、辛卜生梯形公式、辛卜生(Simpson)公式公式5.复化求积公式复化求积公式6.龙贝格公式龙贝格公式(逐次分半加速法逐次分半加速法)。2021-11-2524.0 引言引言 函数函数f(x)在区间在区间a,b上连续且其原函数为上连续且其原函数为F(x),则有则有Newton-Leibnitz公式公式baaFbFdxxf)()()(求得定积分求得定积分N-L 公式公式 无论在理论上还是在解决实

2、际问题上都起无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：2021-11-253 (1) 被积函数被积函数f(x)不一定能找到初等函数形式的原函不一定能找到初等函数形式的原函数数F(x)，例如：，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了公式就无能为力了dxedxxxx10102sin和(2) 被积函数被积函数f(x)的原函数能用初等函

3、数表示，但的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数表达式太复杂，例如函数 32)(22xxxf 积分后其原函数积分后其原函数F(x)为：为： ) 322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF2021-11-254(3) 被积函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式没有具体的解析表达式, 其函数其函数 关系由表格或图形表示。关系由表格或图形表示。 对于这些情况对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见困难的。由此可见, 通过原函数和通过原函数和N-L公式不能或公式不能或很难解决所有的积分问题很难解决所有的积分问题, ,

4、 这时就需要用数值解法这时就需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分将积分区间细分, ,在每一个小区间内用简单函在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用用代数插值多项式去代替被积函数代数插值多项式去代替被积函数f(xf(x) )进行积分是进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。本章讨论数值积分的主要内容。 2021-11-2554.1 4.1 数值积分概述数值积分概述4.1.1 4.1.1 数值积分的基本思想数值积分的基本思想 积分值积分值 在几何上可以解释为由在几何上可以解释

5、为由x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)y=f(x)这四条边所围成的曲边梯这四条边所围成的曲边梯形面积。如图形面积。如图4-14-1所示，而这个面积之所以难于计所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边算是因为它有一条曲边y=f(x) y=f(x) badxxfI)( y= f(x) a b 图图4-1 数值积分的数值积分的几何意义几何意义 2021-11-256 建立数值积分公式的途径比较多建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的其中最常用的有两种：有两种： 方法（方法（1）由积分中值定理可知，对于连续函数）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在

6、积分区间，在积分区间a,b内存在一点内存在一点，使得，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为，高为 的矩形面积。但是点的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的的具体位置一般是未知的, 因而因而 的值也是未知的的值也是未知的, 称称 为为f(x) 在区间在区间a,b上上的平均高度。那么的平均高度。那么只要对平均高度只要对平均高度 提供一种算法，提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法相应地就获得一种数值求积方法 bafabdxxfba,)()()( )( f)(f)(f)(f2021-11-257三个求积分公式三个求积分公式 梯形公式梯形公式y

7、=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形公式中矩形公式)2()()(bafabdxxfba按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如例如 分别取分别取 和和则分别得到则分别得到梯形梯形公式和公式和中矩中矩形形公式。公式。)(f)2()(baff 2)()()(bfaff y=f(x)abab2021-11-258y=f(x)yab(a+b)/2的近似值而获得的一种数值的近似值而获得的一种数值积分方法。积分方法。 )()(21bfaf 2bafab(a+b)/2梯形公式把梯形公式

8、把f(a), f(b)的加权平均值的加权平均值 作为平均高度作为平均高度 中矩形公式把中矩形公式把a,ba,b 的中点处函数值的中点处函数值 作为作为平均高度平均高度f(f( ) )的近似值而获得的一种数值的近似值而获得的一种数值积分方法。积分方法。 )( f2021-11-259 一般情况下，只要对平均高度一般情况下，只要对平均高度 提供一种算法，提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法，具体方法如下：相应地就获得一种数值求积方法，具体方法如下： bafabdxxf)()()()( f 0)()(iiixfBf的的加加权权平平均均然然后后用用上上适适当当选选取取一一些些节节点点在在区区间间

9、)(,iixfxba的的近近似似值值，得得到到平平均均高高度度)( f则： 0)()(iiixfBab nkkkbaxfAdxxf0)()(即：？何何选选取取求求积积系系数数接接下下来来的的问问题题就就是是，如如iA请大家注意 的取法不唯一，其最重要形式为插值型系数iA函数值的线性组合2021-11-2510方法方法(2) 先用某个简单函数先用某个简单函数 近似近似f(xf(x),),用用 的积的积分分, , 近似近似函数函数f(x)f(x)的积分的积分，即，即 )(x)(x babadxxdxxf)()(以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数应对函

10、数应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。多项式是并且容易计算其积分。多项式是十分理想的选择，它能很好地逼近连续函数十分理想的选择，它能很好地逼近连续函数,且又容易且又容易计算积分计算积分,因此将因此将 选取为插值多项式选取为插值多项式, 这样这样f(x)的积的积分分就可以就可以用其插值多项式的积分来近似代替用其插值多项式的积分来近似代替 )(x )()(xPxfn banbadxxPdxxf)()(2021-11-2511设已知设已知f(x)f(x)在节点在节点 有函数值有函数值, ,作作n n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 ), 1 , 0(nkxk)(

11、kxf nkkknxlxfxP0)()()()()()(,)()()()(100nkknkjjjkjkxxxxxxxxxxxxxxxxl 式中式中 )()()(xRxPxfnn 多项式多项式P(x)P(x)易于求积易于求积, ,所以可取所以可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)()()(xPxfn 4.1.2 插值求积公式插值求积公式 2021-11-2512 baknkkbanbadxxlxfdxxPdxxf)()()()(0 bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中 称为求积系数。称为求积系数。定义定义4.1 4.1 求积公式求积公式

12、 nkkkbaxfAdxxf0)()(称为插值型求积公式。称为插值型求积公式。 (4.1)(4.1) baknkkdxxlxf)()(0knkkAxf 0)(，其其中中 bakkdxxlA)(函数值的线性组合2021-11-2513设插值求积公式的余项为设插值求积公式的余项为 , ,由插值余项定理得由插值余项定理得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()() 1(ba,其中其中 当当f(x)f(x)是次数不高于是次数不高于n n的多项式时，有的多项式时，有 =0,=0,求积公式求积公式(4.1)(4.1)能成为准确的等式。由于闭能成为准确的等式。由于闭区间区间a

13、,ba,b上的连续函数可用多项式逼近，上的连续函数可用多项式逼近，所以一所以一个个求积公式能对多大次数的多项式求积公式能对多大次数的多项式f(x)f(x)成为准确等成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给为此给出以下定义。出以下定义。 0)()1(xfn)( fR2021-11-2514定义定义 （代数精度）（代数精度） 设求积公式（设求积公式（4.1）mmmxaxaxaaxfxxxf 2210)(, 1)(或或是准确的，而对于次数为是准确的，而对于次数为m+1m+1的多项式是不准确的，的多项式是不准确的，则称该求积公式具有则称该求积公式具有m

14、 m次代数精度（简称代数精度）次代数精度（简称代数精度） 由定义可知，若求积公式（由定义可知，若求积公式（4.14.1）的代数精）的代数精度为度为n n，则求积系数，则求积系数 应满足线性方程组：应满足线性方程组： kA nkkkbaxfAdxxf0)()(对于一切次数小于等于对于一切次数小于等于 m m 的多项式的多项式2021-11-2515 这是关于这是关于 的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵nAAA,10nnnnnnxxxxxxxxx102212010111是范得蒙矩阵是范得蒙矩阵, 当当互异时非奇异互异时非奇异, 故故 有唯一解。有唯一解。 ), 1 ,0(nkxkkA

15、nkkkbaxfAdxxf0)()(1:)( xfx nx 时时，当当nxxxf, 1)( ,10abAAAn ,2221100abxAxAxAnn .1111100 nabxAxAxAnnnnnnn2021-11-2516定理定理4.1 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代次代数精度。数精度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(证证: :必要性必要性 设设n+1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式为插值型求积公式, ,求积系数为求积系数为 又又 当当f(x)f(x)为不高于为不高于n

16、 n次的多项式时次的多项式时, ,f(x)=P(x),f(x)=P(x),其余项其余项R(f)=0R(f)=0。因而这时求积公式至少。因而这时求积公式至少具有具有n n次代数精度。次代数精度。nkkkbaxfAdxxf0)()(dxxlAbakk)()()()(xRxPxf2021-11-2517 nkjjjkjkxxxxxl0)(), 1 , 0(nk 充分性充分性 ： 若求积公式至少具有若求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度, ,则对则对n n次多项式次多项式精确成立精确成立, ,)()()(0ijjknjjkjbakxlxlAxxl ，其中即d时，取)()(xlxfk njjkjb

17、akbaxlAxxldxxf0)()()(d所以有所以有 , ,即求积公式为插值型求积公式即求积公式为插值型求积公式 dxxlAbakk)( njkkjjAA02021-11-2518（1 1） 2)()()()(bfafabdxxfba两个低阶插值积分公式abaxbfbabxafxP )()()(1bax)()(bfafy已知已知)(21)(0abdxbabxdxxlbaba 梯形公式梯形公式)(21)(1abdxabaxdxxlbaba 2021-11-2519（2 2）)2)()2)()()2)(2()()2()(2()(2()()(2bababbaxaxbfbbaababxaxbafb

18、abaabxbaxafxP 抛物线公式或辛卜生抛物线公式或辛卜生(Simpson)(Simpson)公式公式bbaax2 )()2()(bfbafafy 已知已知)(64)()(2abdxbabxaxba )(61)()2)()()(2(22abdxabbaxaxdxbabxbaxbaba )()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba2021-11-2520例例4.1 设积分区间设积分区间a, b为为0, 2，取，取 时时, , 分别用梯形和辛卜生公式分别用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(432 20)2()0()()(2)(ffbfafabdxxf )2()1(4)

19、0(31)()2(4)(6)(20fffbfbafafabdxxf 计算其积分结果并与准确值进行比较。计算其积分结果并与准确值进行比较。解解: :梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示：所示： 2021-11-2521 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式计算值梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生计算值辛卜生计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以看出从表中可以看出, ,当当f(x)f(x)是是 时时, ,梯形公式、梯形公式、辛

20、卜生公式精确成立。辛卜生公式精确成立。 x,1xexxxxxfdxxf, 1)(,)(43220 2021-11-2522 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式计算值梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生计算值辛卜生计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以看出从表中可以看出, ,当当f(x)是是 时时, ,辛辛卜生公式比梯形公式更精确卜生公式比梯形公式更精确 432,xxx 一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有梯形公

21、式和中矩形公式具有1 1次代数精度，辛卜生公次代数精度，辛卜生公式有式有3 3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证 2021-11-2523 babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1时，时， abab )11(2两端相等两端相等 取取f(x)=xf(x)=x时时, , )(21)(2)(212222abbaababxdxba 取取f(x)=xf(x)=x2 2 时时, , baabbabaababdxx)(21)(2)(312222332两端不相等两端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代数精度。次代数精度。 两端相等两

22、端相等 baabdx1 2021-11-2524例例4 4.2 试确定一个至少具有试确定一个至少具有2次代数精度的公式次代数精度的公式 )3()1()0()(40CfBfAfdxxf 解解: : 要使公式具有要使公式具有2 2次代数精度次代数精度, ,则对则对f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 求积公式准确成立，即得如下方程组。求积公式准确成立，即得如下方程组。 920,34,94CBA解之得，解之得， ) 3(20) 1 (12)0(491)(40fffdxxf所求公式为：所求公式为： 4 CBA83 CB3649 CB2021-11-2525例例4 4.3 试确定求积系数试确定

23、求积系数A,B,C A,B,C 使使 具有最高的代数精度具有最高的代数精度解解: :分别取分别取f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 使求积公式准确成立使求积公式准确成立, ,即即 得如下方程组。得如下方程组。所得求积公式为：所得求积公式为：11) 1 ()0() 1()(CfBfAfdxxf3202CACACBA对于对于f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2,x,x3 3都准确成立都准确成立, ,对于对于f(x)=xf(x)=x4 4 就不就不准确了，所以此求积公式准确了，所以此求积公式 3 3 次代数精度。次代数精度。) 1 (31)0(34) 1(31)(11fffdx

24、xf2021-11-2526 代入公式两端，左端和右端都等于代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数次代数精度。精度。 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba3)(xxf 将由于由于n+1节点的插值求积公式至少有节点的插值求积公式至少有n次代数精次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如公式的代数精度。例如 插值求积公式插值求积公式有三个节点至少有有三个

25、节点至少有2次代数精度，是否有次代数精度，是否有3次代数精次代数精度呢？度呢？2021-11-2527可以验证可以验证, 对于对于f(x)=1, x 时公式两端相等时公式两端相等, 再将再将f(x)=x2代入公式代入公式) 1 () 0(2) 1(21)(11fffdxxf例例4.4 考察求积公式考察求积公式两端不相等两端不相等, 所以该求积公式只具有所以该求积公式只具有 1 次代数精度次代数精度.3231113112 xdxx左左端端 11121) 1 ()0(2) 1(21 fff右右端端的代数精的代数精度度三个节点不一定具有三个节点不一定具有2 2次代数精度，次代数精度，但插值型的一定但

26、插值型的一定有有2 2次代数精度。次代数精度。2021-11-2528例例4.5 给定求积公式如下：给定求积公式如下： 4322141231)(10fffdxxf试证此求积公式是插值型的求积公式。试证此求积公式是插值型的求积公式。 证证: :设设43,21,41210 xxx分析：要证此求积公式是插值型的求积公式，只需证分析：要证此求积公式是插值型的求积公式，只需证明求积系数为插值基函数的积分即可。明求积系数为插值基函数的积分即可。 三点为插值节点，三点为插值节点，以此三点为插值节点的以此三点为插值节点的LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 2021-11-2529则以这三

27、点为插值节点的则以这三点为插值节点的LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 43,21,41210 xxx 4321843412141/4321)(0 xxxxxl 43411643214121/4341)(1xxxxxl 2141821434143/2141)(2xxxxxl2021-11-2530dxxxdxxxdxxl102101008345843218)(3223882318832145318dxxxdxxxdxxl10210101163)16(4341)16()(3136161636116163213116）（）（dxxxdxxxdxxl10210102814382

28、1418)(322388121433182021-11-2531由插值型求积公式的定义知，所给的求积公由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。式是插值型求积公式。 4322141231)(10fffdxxf插值型求积公式为插值型求积公式为2021-11-2532 ) 1 ()0(2) 1(21)(11fffdxxf 例例4.6 求证求证不是插值型的不是插值型的证明证明: 设设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函插值基函数为数为2021-11-2533 1

29、200102202110121022021112011()()(1)1( )(1)()()1( 11)2()()(1)(1)( )(1)()()1( 1)()()(1)1( )(1)()()(11)21112( )()2223xxxxx xlxx xxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx xlxx xxxxxlx dxxx dx 1121111122111102324( )(1)233111211( )()0222323lx dxxdxlx dxxx dx2021-11-2534 012012( )0,1, 214133311A =,A =1,A = 22bkkaAlx dxkAAA插

30、值 型 求 积 系 数 为，与 原 求 积 公 式 系 数 不 一 致（ 原 求 积 公 式 系 数若 与 原 求 积 系 数 一 致 ， 则 是 插 值 型 的 ）原 求 积 公 式 不 是 插 值 型 的 。证 毕 。2021-11-2535 例例4.7 给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度数精度，并指出其代数精度)() 0()()(10221hfAfAhfAdxxfhh解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有准确成立，则有312121110131604hA

31、hAhhAhAhAAA2021-11-2536)(2)0()(234)(38,3422110hffhfhdxxfhAAhAhh解之得解之得其代数精度至少为其代数精度至少为2。将将f(x)=x3代入求积公式两端相等代入求积公式两端相等,而将而将 f(x)=x4代入求代入求积公式两端不相等积公式两端不相等,所以其代数精度为所以其代数精度为3次。次。2021-11-2537 例例 4.8 确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度使其具有尽可能高的代数精度)()()()(321afAbfAafAdxxfba解：不妨设解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数设所求公式的代数

32、 精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即 322232213121hhAhAhAhAA2021-11-2538 )()(2)(46)(32,6,31232afhbfafhdxxfhAhAhAba 其中其中h=b-a, 令令f(x)=x3代入上式代入上式, 两端不等两端不等, 说明求积说明求积公式只有公式只有2次代数精度。次代数精度。解之得：解之得： 322232213121hhAhAhAhAA2021-11-2539构造插值求积公式有如下特点：构造插值求积公式有如下特点：(1)复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的

33、积分(2) 求积系数求积系数Ak只只与积分区间及节点与积分区间及节点xk有关有关，而与被，而与被积函数积函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值(3) n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度(4) 求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性 abAnkk 02021-11-2540例例 4.9 求证当节点为求证当节点为n+1个时个时, 插值求积系数之和为插值求积系数之和为 nkkabA0)()()(kbanokkbaxfAdxxPdxxf 证明：次代数精度。

34、个时，插值积分公式有当节点为nn1 也严格相等，上式严格相等，取对于1)(,)( xfxxfn.10abAdxnkkba 因此有2021-11-2541 (1) (1) 在积分区间在积分区间a,ba,b上选取节点上选取节点x xk k (2) (2) 求出求出f(xf(xk k) )及利用及利用 或解关于或解关于A Ak k的线性方程组求出的线性方程组求出A Ak k, ,得到得到(3) 利用利用f(x)=xn,验算代数精度验算代数精度 构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤 bakkdxxlA)()()(0kbankkxfAdxxf 2021-11-2542例例4.10 对对 构造一个

35、至少有构造一个至少有3次代数精度次代数精度 的求积公式的求积公式30)(dxxf解解: 3次代数精度需次代数精度需4个节点个节点, 在在0,3上取上取0,1,2,3四个四个 节点构造求积公式节点构造求积公式) 3()2() 1 ()0()(321300fAfAfAfAdxxf确定求积系数确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式利用求积系数公式302330083) 6116(61) 30)(20)(10 () 3)(2)(1(dxxxxdxxxxA)3()2(3)1 (3)0(83)(83,89,89)31)(21)(01 ()3)(2)(0(3032301ffffdxxfAAd

36、xxxxA因为求积公式有因为求积公式有4个节点，所以至少具有个节点，所以至少具有3次代数精次代数精度，只需将度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有代入两端不相等，所以只有3次代数精度次代数精度2021-11-25434.2 牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式 在插值求积公式在插值求积公式 nkkkbanbaxfAdxxPxxf0)()()(d中中,当所当所取取节点等距节点等距时时称为称为牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公式公式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 )()()(0 nkkknx

37、fxlxP bakkdxxlA)(这里这里 是插值基函数。即有是插值基函数。即有 )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(2021-11-2544为了计算系数为了计算系数nabh ), 1 ,0(nkkhaxk hikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110 bakkdxxlA)(将积分区间将积分区间a,b 划分为划分为n等分等分, 步长步长求积节点为求积节点为)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl 的分母为的分母为)(xlk2021-11-2545),

38、1 ,0(nkkhaxk )()()(110nkkxxxxxxxx 为求分子，作变量代换为求分子，作变量代换 当当 时时,有有 ,于是可得于是可得 thax bax, nt, 0 bakkdxxlA)(nhntktkttt)() 1)(1() 1( 求积节点为求积节点为)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl khaxk 2021-11-2546dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthknknnnkn 0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnkabnnkiikn 00) )(

39、)!( !) 1()(2021-11-2547 ( k=0,1,n ) 代入插值求积公式代入插值求积公式( (4.1)有有 ( )0( )d()()knbnkakf xxbaCf x称为牛顿称为牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式,C,Ck k称为柯特斯系数称为柯特斯系数引进记号引进记号( )()knkAba C则则nkdtitknnkCnnkiiknnk, 1 , 0,) )()!( !)1(00)( dtitknnkabAnnkiiknk 00) )()!( !)1()(2021-11-2548容易验证容易验证 10nkkC bakkkkdxxlAAabC)(1 nkbaknkkdxxl

40、abC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab显然显然, , C Ck k是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积函数以及被积函数f(x)f(x)的常数的常数, ,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数. . 2021-11-2549譬如当譬如当n=1n=1时时, , 10021)1(! 1! 011dttCnkdtitknnkCnnkiiknnk, 1 , 0,) )()!( !)1(00)( 1 , 0, 1 kn 10121! 0! 111tdtC2021-11-2550当当n=2=2时时 202061)2)(1(!2!02)

41、1(dtttC6432)2(! 1! 12)1(2011 dtttC 200261)1(!0!22)1(dtttC柯特斯系数有表供查柯特斯系数有表供查。nkdtitknnkCnnkiiknnk, 1 , 0,) )()!( !)1(00)( 2021-11-2551柯特斯系数2121n54321)(nkC61646181838381907903290129032907288192887528850288502887528819P P104 104 表表4-14-1给出了给出了n从从1 18 8的柯特斯系数的柯特斯系数。当当n = 8n = 8时，出现了负系数，时，出现了负系数，从从而影响稳定性

42、和收敛性，因此实用的只是低阶公式。而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。 2021-11-2552Newton-Cotes公式下面分别考虑几种特殊请况。下面分别考虑几种特殊请况。)()()(0)(xCjbanjnjfabdxxf2021-11-2553几个低阶求积公式几个低阶求积公式 在牛顿在牛顿- -柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)(1) 梯形公式梯形公式 当当n=1=1时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()(

43、)(21)(bfafabdxxfba定理定理4.2 （梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在 a,b 上具有上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为),()(12)()(31bafabfR 2021-11-2554证证: :由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 dxxnffRbann)()!1()()()1()()()(),(10nxxxxxxxba badxbxaxffR)()(21)(1由于由于(x-a)(x-b)(x-a)(x-b)在在a,ba,b中不变号中不变号,

44、, 在在a,ba,b上上连续连续, ,根据高等数学中的积分中值定理根据高等数学中的积分中值定理 , ,在在a,ba,b上上存在一点存在一点，使，使 )(f )(6)()()()()(3fabdxbxaxfdxbxaxfbaba ),()(12)()(31bafabfR 因此因此 2021-11-2555（2 2） 辛卜生辛卜生(Simpson)(Simpson)公式公式 当当n=2=2时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式就是辛卜生公式（或柯特斯公式就是辛卜生公式（或 称抛物线公式）称抛物线公式） )()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba定理定理4.34.3（辛卜生公式的误差）设在

45、（辛卜生公式的误差）设在a,ba,b上具有连上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 55(4)(4)21()( )( )( )( , )9022880b ab aR fffa b定理证明从略。定理证明从略。 2021-11-2556（3 3） 柯特斯公式。柯特斯公式。 当当n=4=4时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式为柯特斯公式为 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理定理4.44.4（柯特斯公式的误差）设在（柯特斯公式的误差）设在a,ba,b上具有上具有连续的连续的6 6阶导数，则柯特斯求积

46、公式的误差为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 ),()(49458)()6(74bafabfR定理的证明从略。定理的证明从略。 2021-11-2557例例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算定积分公式计算定积分 的近似值的近似值 ( (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字) ) 15 . 0dxx(1) (1) 用梯形公式计算用梯形公式计算 10.51 0.5d (0.5)(1) 0.25 0.70711 1 0.42677670.4267772x xff2121)()()(21)(bfafabdxxfba2021-11-2558

47、例例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算定积分公式计算定积分 的近似值的近似值 ( (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字) ) 15 . 0dxx(2) (2) 用辛卜生公式用辛卜生公式 /).(.d.xx10.70711 4 0.86603 10.430934030.4309312 616461)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba2021-11-2559(3) (3) 用柯特斯公式计算，系数为用柯特斯公式计算，系数为 , 17875. 03275. 012625. 0325 . 07 905 . 0115

48、. 0 xxd d积分的准确值为积分的准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 43096. 073326.2939223.1029822.2594975. 41801 125. 045 . 01 h43096. 0,43093. 0,426777. 0 CST43096441.03215 .02315 .0 xxxd2021-11-2560例例4.12 4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估计其误差并估计其误差( (计算结果取计算结果取5 5位小数位小数) )

49、解解: : 辛卜生公式辛卜生公式 )(24)(6bfbafafabS辛卜生公式余项辛卜生公式余项 572)(23 xxxxf0)()4( xf bafabfR,),(2880)()()4(5 知其误差为知其误差为 0)( fR 322036225941613 2021-11-2561解解:柯特斯公式柯特斯公式 其误差为其误差为 )(7)3(32)2(12)(32)(790bfhafhafhafafabC 该定积分的准确值该定积分的准确值 ,这个例子告诉我们，由这个例子告诉我们，由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被

50、积函数为三次多项式当然是精确成立的。数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。 3220 I 322097812532912835327451) 3(7) 5 . 2(32) 2(12) 5 . 1 (32) 1 (79013 fffffC)(49458)()6(74 fabfR0 2021-11-25624.1.5、求积公式的收敛性和稳定性、求积公式的收敛性和稳定性若中在求积公式 ,(1.3) 定义2定义200 lim()( )d ,nbkkankhA f xf xx.(1.3),(max11是收敛的则称求积公式其中iinixxh一般地，求积公式)3 . 1()(0 bankkkf

51、Adxxf称为机械求积公式插值型求积公式的余项为)7 . 1()()!1()()()()1(dxxnfdxxLxffRbanban 2021-11-25630(), () (0,1, ), |( )( )| () .kkkkknnnkkkkf xf xfknIfIfAf xf设有误差即则有0 0,0,() (0, ), |()() |()(),(1.3).kknnnkkkkf xfknIfIfAf xf x义若只要就有则称求积公式是稳定的定定3 3 (1.3)0 0,1, ),.kn若求积公式中系数A（则求积公式是稳定的定定理理2 200, () (0,), |()()() .kknnnkkk

52、kkkfxfknRAfxfxAba这是因为当时 有2021-11-25644.3 复化求积公式复化求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于提高。但由于n88时的牛顿时的牛顿柯特斯求积公式开始柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的并且往往难以估

53、计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。方法来提高计算精度。2021-11-2565 复化求积公式的思想复化求积公式的思想 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个区间，在每个小区间小区间上采用低阶求积公式，然后把上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。 2021-11-25664.

54、3.1 复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分, ,步长步长求积节点为求积节点为 在每个小在每个小区间区间 上应用梯形公式上应用梯形公式 nabh ), 1 , 0(nkkhaxk)1, 1 ,0(,1nkxxkk )()(2)(11 kkxxxfxfhdxxfkk求出积分值求出积分值I Ik k, ,然后将它们累加求和然后将它们累加求和, ,用用作为所求积分作为所求积分I I的近似值。的近似值。 10nkkI)()(2)()(110101kkbankxxnkxfxfhdxxfdxxfIkk )()(.)()()()(212110nnxfx

55、fxfxfxfxfh )()(2)(211bfxfafhnkk2021-11-2567 )()(2)(211bfxfafhTnkkn记记 (4.5)(4.5)(4.5)(4.5)式称为复化梯形公式。式称为复化梯形公式。 当当f(x)f(x)在在a,ba,b上有连续的二阶导数上有连续的二阶导数, ,在子区间在子区间 上梯形公式的余项已知为上梯形公式的余项已知为 1,kkxx13,)(12 kkkkTxxfhRk在在a,ba,b上的余项上的余项 10310)(12nkknkTTfhRRk2021-11-2568设设 在在 a,b 上连续，根据连续函数的介值定理知，上连续，根据连续函数的介值定理知，

56、存在存在 ，使，使 )(xf ba,)()(110ffnnkk ba,因此因此, ,余项余项 )(12)()(1223fhabfnhRT ba,复化梯形求积算法实现复化梯形求积算法实现 （1 1）复化梯形公式计算步骤）复化梯形公式计算步骤 确定步长确定步长h=(b-a)/N ( N h=(b-a)/N ( N 为等分数为等分数 ) ) 对对k=1,2,k=1,2,N,N，计算，计算T=T+f(a +khT=T+f(a +kh) ) T= h T= h f(a)+ 2T + f(b) f(a)+ 2T + f(b) /2/22021-11-2569（2 2）复化梯形公式的流程图）复化梯形公式的流

57、程图 开 始 定 义f(x ) 输 入a , b , N (b -a )/N h , 0 T 对k = 1 ,2 , , N -1 T + f (a + k * h ) T h * f (a )+ 2 T + f(b ) / 2 T 结 束 2021-11-25704.3.2 复化辛卜生公式及其误差复化辛卜生公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为2 2n等分等分, ,记子区间记子区间 的中点为的中点为 在每个小区间上应用辛卜生公式，则在每个小区间上应用辛卜生公式，则有有 222, kkxx12 kx )()(4)(62)()(221221010222 kkkbankxxnkxf

58、xfxfhdxxfdxxfIkk )()(2)(4)(310112212bfxfxfafhnknkkk记记 (4.6)(4.6)称为复化辛卜生公式称为复化辛卜生公式 )()(2)(4)(31111212bfxfxfafhSnknkkkn2021-11-2571 类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜生公式生公式 (4.6) 的求积余项为的求积余项为 4(4)4(4)( )( )18022880sbahbaRfh f ba,如果把每个子区间如果把每个子区间 四等分四等分, ,内分点依次记内分点依次记 1,kkxx432141, kkkxxx同理可得复化柯特斯

59、公式同理可得复化柯特斯公式 1010)(12)(32)(7902141nknkkknxfxfafhC )(7)(14)(32111043bfxfxfnkknkk)(4945)( 2)6(6fhabRc求积余项为求积余项为 ba,2021-11-2572 1010)(12)(32)(7902141nknkkknxfxfafhC )(7)(14)(32111043bfxfxfnkknkk)(6hORc )()(2)(4)(31111212bfxfxfafhSnknkkkn )()(2)(211bfxfafhTnkkn)()(12)(22hOfhabRT )(4hORS 2021-11-2573 复

60、化求积公式的余项表明，只要被积函复化求积公式的余项表明，只要被积函数数 f(xf(x) )所涉及的各阶导数在所涉及的各阶导数在 a,b 上连续，上连续，那么复化梯形公式、复化辛卜生公式与复化那么复化梯形公式、复化辛卜生公式与复化柯特斯公式所得近似值柯特斯公式所得近似值 的余项的余项和步长的关系依次为和步长的关系依次为 、因此，当因此，当h0 (即即n)时时, ,都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。快。 nnnCST,)(2h)(4h)(6hnnnCST,2021-11-2574复化辛卜生求积算法实现复化辛卜生求积算法实现（1 1）复化辛卜生公式计算步