第3章振动和波动3

1、 第三章第三章 振动和波动振动和波动机械振动：物体在一定的位置附近作往复运动机械振动：物体在一定的位置附近作往复运动振动：物理量在一定值附近做反复变化振动：物理量在一定值附近做反复变化波动：是振动的传播波动：是振动的传播第一节第一节 简谐振动（简谐振动（simple harmonic motionsimple harmonic motion）SHMSHM是最简单、最基本的振动是最简单、最基本的振动一一 SHMSHM的方程的方程1 1、SHMSHM的动力学描述的动力学描述以弹簧振子为例，物体所受以弹簧振子为例，物体所受弹力为弹力为F F，物体的位移为，物体的位移为x xkxF定义：物体在线性回复

2、力的作定义：物体在线性回复力的作用下所作的振动称为简谐振动用下所作的振动称为简谐振动F F称为线性回复力称为线性回复力2 2、SHMSHM的运动学描述的运动学描述由牛顿第二定律，物体的运动方程为由牛顿第二定律，物体的运动方程为kxdtxdm220,222222xdtxdxdtxd其中其中mk2该方程是物体的运动方程，解此方程得位移表达式得：该方程是物体的运动方程，解此方程得位移表达式得： )cos(tAx速度表达式：速度表达式：加速度表达式：加速度表达式：)sin(tAdtdxvxtAdtxda2222)cos()sin(tAx或或3 3、SHMSHM的特征量的特征量 ： 振幅振幅A A、周期

3、、周期T T（频率（频率 、角频率、角频率）、）、 相位相位1) 1) 振幅振幅A A：振动物体离开平衡位置的最大位移：振动物体离开平衡位置的最大位移2) 2) 周期周期T T：振动物体完成一次振动所需要的时间：振动物体完成一次振动所需要的时间频率频率 ：在单位时间内所完成振动的次数：在单位时间内所完成振动的次数角频率角频率( (固有固有) ) ：mk2mk212kmT21周期周期： ( (固有固有) )频率频率( (固有固有) )3)初相位和相位：初相位和相位：即简谐振动在即简谐振动在t时刻的相位，决定质点在时刻的相位，决定质点在t时刻的振时刻的振动状态。动状态。:为振动初时刻为振动初时刻t

4、=0的相位的相位初相位初相位:t角频率的物理意义：单位时间内振动的相位增量角频率的物理意义：单位时间内振动的相位增量,也是也是振动在振动在0t时间内的相位增量时间内的相位增量)(t振幅振幅A A、周期、周期T T（频率（频率、角频率）、角频率）、相位为简谐振动的相位为简谐振动的三要素或特征量。三个量确定后，简谐振动就可以完三要素或特征量。三个量确定后，简谐振动就可以完全确定。全确定。mk由系统本身决定。若已知由系统本身决定。若已知t=0t=0振动的位移振动的位移x x0 0和和速度速度v v0 0，即初位移和初速度，即初位移和初速度, , 称为初始条件。称为初始条件。则有：则有：sincos0

5、0AvAx22020vxA00arctanxv可确定：可确定：注：注：v v0 0 和和x x0 0是有正负符号的是有正负符号的, ,与设定的正方向比较。与设定的正方向比较。见例题见例题3-13-1二、二、SHM的矢量图解法的矢量图解法)cos(tAx三、三、SHM的能量的能量在任意时刻，振动系统的动能：在任意时刻，振动系统的动能：)(sin21212222tAmmvEk系统的势能：系统的势能：)(cos2121222tkAkxEp系统的总能量：系统的总能量：222222222121)(cos21)(sin21kAAmtkAtAmEEEpkmNk/180kgm2 . 0向上运动时，,/6 .

6、0000smvx若不计空气阻力，求：若不计空气阻力，求：2.2.该弹簧的振动频率、周期、振幅和能量该弹簧的振动频率、周期、振幅和能量3.3.选取竖直向上为选取竖直向上为x x轴正方向，平衡位置为坐标原点，轴正方向，平衡位置为坐标原点，试写出该简谐振动的位移、速度、加速度方程试写出该简谐振动的位移、速度、加速度方程解解1.1.sradmk/302 . 0180Hzmkv76. 4230211.1.该运动是否是简谐振动运动该运动是否是简谐振动运动kxmgxlkF)(2.2.xl l例题例题3-1 3-1 如图如图 已知：已知：)(2/30cos(02.0)cos(mttAx3.3.)(2)0306

7、 . 0()(00radarctgxvarctg)/)(2/30sin(6 . 0)cos(smttAv注：注：v v0 0与与x x轴轴方方向向相相同，同，取取正。正。mvxA02. 0306 . 02222020JkAE222106 . 302. 01802121例题例题3-2 3-2 如图一根不可伸长的细绳上端固定，下端挂一如图一根不可伸长的细绳上端固定，下端挂一小球做摆动。试证明，当偏角小球做摆动。试证明，当偏角 很小时，单摆的小球很小时，单摆的小球的运动为简谐运动，并求其周期。的运动为简谐运动，并求其周期。解解lsOQsinmgPtsinslmgmgPtslmgdtsdm22slgd

8、tsd22)cos(tAslgglT2因因 很小很小mgtPOQl第三节第三节 振动的合成与分解振动的合成与分解一、两个同频率、同方向简谐振动的的合成一、两个同频率、同方向简谐振动的的合成)cos()cos(222111tAxtAx合位移：合位移：)cos(21tAxxx合振动的振幅：合振动的振幅：)cos(212212221AAAAA合振动的初相位：合振动的初相位：22112211coscossinsinarctanAAAA讨论：讨论：（1）), 2, 1, 0(212kk21AAA（2）), 1, 0() 12(12kk21AAA2AA1A2AA1A2AA1A(3)为任意值为任意值1221

9、21AAAAAA 1A 2A 1A 2A 二、两个振动方向相同、频率的相近二、两个振动方向相同、频率的相近SHM的合成的合成tAxtAx2211cos;cos合位移：合位移：)cos(cos2121ttAxxxttAx2cos2cos212122,21212令：ttAxcoscos2ttAxcos)(其中其中tAtAcos2)(由于两个分振动频率的微小差异，它们产生的合振动的由于两个分振动频率的微小差异，它们产生的合振动的“振幅振幅”是时强时弱具有周期性的变化，称为拍现象。是时强时弱具有周期性的变化，称为拍现象。122T121221T合振动在合振动在1s1s内加强或减弱的次数称为拍频：内加强或

10、减弱的次数称为拍频：三、两个同频率、振动方向相互垂直的三、两个同频率、振动方向相互垂直的SHMSHM的合成的合成)cos()cos(2211tAytAx消去参数消去参数t t，得到，得到xyxy平面内的轨迹方程平面内的轨迹方程)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx该方程是椭圆方程。其形状由振幅及相位差决定该方程是椭圆方程。其形状由振幅及相位差决定讨论：讨论：或0.112xAAyAyAx12221, 0)(2.2121222212AyAx四、两个方向相互垂直、不同频率的四、两个方向相互垂直、不同频率的SHM的合成（李的合成（李萨如图形）萨如图形）yxyxnn五、频谱分析

11、原理五、频谱分析原理)sincos(2)(10tnbtnaatxnnn220)(2TTdttxTa22cos)(2TTntdtntxTa22sin)(2TTntdtntxTb.)5sin514sin413sin312sin21sin(1)(wtwtwtwtwttx 第四节第四节 波动的基本规律波动的基本规律波动：振动的传播。波动：振动的传播。一、波的产生和描述一、波的产生和描述1 1都是由物质间的相互影响引起的。都是由物质间的相互影响引起的。2 2以有限的速度传播，伴随着能量的传递。以有限的速度传播，伴随着能量的传递。3 3都有干涉、衍射现象都有干涉、衍射现象，横波有偏振。横波有偏振。4 4服

12、从共同的数学规律。服从共同的数学规律。机械波机械波电磁波电磁波物质波物质波波波本质不同，但具有共同特征本质不同，但具有共同特征 波源（激发波动的振动系统）、连续的弹性媒质。波源（激发波动的振动系统）、连续的弹性媒质。1 1、机械波产生的条件、机械波产生的条件2 2、波的几何描述、波的几何描述（1 1）波阵面（波面）：波阵面（波面）：振动相位相同的各点振动相位相同的各点组成的面。组成的面。 球面：球面波球面：球面波平面：平面波平面：平面波点波源产生球面波点波源产生球面波波阵面波阵面球面波在远处可看成平面波球面波在远处可看成平面波平面波平面波波波前前波波面面波波线线（2 2）波前：最前面的波面又称

13、为波前位波前：最前面的波面又称为波前位（3 3）波线：发自波源，与波面垂直波线：发自波源，与波面垂直 指向波的传播方向的射线指向波的传播方向的射线波波线线波波面面波前波前二、描述波动的物理量二、描述波动的物理量：4 4频率频率 : : 单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波（长）的数目（长）的数目。注意注意 ：Tu1 Tu振振波波振振波波 , TT振波vu 1 1波速波速u u：单位时间内，振动所传播的距离。振动状态单位时间内，振动所传播的距离。振动状态（位相）传播的速度（大小由媒质的性质决定（位相）传播的速度（大小由媒质的性质决定) )2 2波长波长

14、 ：同一波线上，两相邻的位相差为同一波线上，两相邻的位相差为2 2 的质点间的的质点间的距离（一个完整的波的长度距离（一个完整的波的长度 ）3 3周期周期T:T:波传播一个波长所用的时间波传播一个波长所用的时间1 1）波的传播过程是）波的传播过程是振动状态的传播过程振动状态的传播过程，是相位的是相位的传播，也是能量的传播，而质点本身不随波运动。传播，也是能量的传播，而质点本身不随波运动。2 2）波是指媒质整体表现的运动状态，其特点是：）波是指媒质整体表现的运动状态，其特点是：相相邻质点的振动位相依次落后邻质点的振动位相依次落后。3 3）两种振动方式：横波：振动方向垂直于传播方向）两种振动方式：

15、横波：振动方向垂直于传播方向（固体）。纵波：振动方向平行于传播方向（固、液、（固体）。纵波：振动方向平行于传播方向（固、液、气），又称疏密波气），又称疏密波波是波是振动的传播振动的传播理解：理解：4-30固体中横波的波速固体中横波的波速 Gu (G为切变模量，为切变模量， 为密度为密度) 固体中纵波的波速固体中纵波的波速 Yu (Y为杨氏模量为杨氏模量) 流体中纵波的波速流体中纵波的波速 Bu B为体变模为体变模量，定义为量，定义为VVpB附：波速附：波速三、平面简谐波的波动（形）方程三、平面简谐波的波动（形）方程平面简谐波：平面简谐波：当波源作简谐振动并沿一维方向传播，引当波源作简谐振动并沿

16、一维方向传播，引起各质点都做简谐振动时所形成的波起各质点都做简谐振动时所形成的波。它是一种最简单、。它是一种最简单、最基本的波。任何复杂的波都可以看成是又若干频率不最基本的波。任何复杂的波都可以看成是又若干频率不同，振幅不同的平面简谐波叠加而成。同，振幅不同的平面简谐波叠加而成。1.1.波动方程：波动方程：已知某点振动方程已知某点振动方程 下面讨论在无吸收、无限下面讨论在无吸收、无限大的均匀介质中，沿大的均匀介质中，沿OXOX轴轴方向传播的平面简谐波波方向传播的平面简谐波波动方程。动方程。)cos( tAyo)cos(tAyp求出任意求出任意X X点的振动方程，点的振动方程，upxyOx图图1

17、 1O O点振动点振动 引起引起P P点以点以相同的振幅和频率重复相同的振幅和频率重复O O点振动点振动, , 但但P P点点在某一时刻在某一时刻的振动状态在时间上的振动状态在时间上落后于落后于O O点：点：也即：也即：P P点在点在t t 时刻的振动时刻的振动状态状态，是，是 t t前前O O点的振动点的振动状状态态，用数学形式用数学形式t-t- t=t-t=t-x/ux/u时刻时刻O O点的振动。因此点的振动。因此P P点点的振动方程是：的振动方程是：)2(00 xux)cos()2cos(0tAxtAypuxt/Atxucos ()0 ttytyP0)cos(tAyo坐标为坐标为 x 的

18、质元振动相位比原点的质元振动相位比原点O处质元的振处质元的振动相位落后了动相位落后了 。x2nx 当当tnxytxy,结论结论：波长波长 标志着波在空间上的周期性标志着波在空间上的周期性。结论：结论：随着随着x值的增大，即在传播方向上，值的增大，即在传播方向上，各质各质点的相位依次落后点的相位依次落后。这是波动的一个基本特征。这是波动的一个基本特征。根据根据T 2 uT)(cos uxtAy有以下形式：有以下形式：)(2cos xTtAy)(2cos xtAy)(2cos xutAy)(2cos utxAyupOxyx注意：波动（形）方程的表达式与坐标轴、坐标原点注意：波动（形）方程的表达式与

19、坐标轴、坐标原点的选择有关。的选择有关。上图其实就是图其实就是 若波的传播方向向左，而若波的传播方向向左，而x x轴的方向不变，如图轴的方向不变，如图)(cosuxtAP P点振动状态比点振动状态比O O点处在时间上要超前，超前的时间是点处在时间上要超前，超前的时间是 t=x/ut=x/u （对应超前的位相是（对应超前的位相是t ）即即P P点在点在t t 时刻的振动状态，是时刻的振动状态，是 t t之后之后O O点的振动状态。点的振动状态。数学形式表示就是数学形式表示就是t+t+ t t=t+=t+x/u x/u 时刻，时刻，O O点的振动。所以点的振动。所以P P点的振动方程是：点的振动方

20、程是： ttytyP0 xyuOp2.2.波动（形）方程的意义：波动（形）方程的意义： )(cos0uxtAy),(txfy （1 1）确定确定X=XX=X0 0 得该处振动方程得该处振动方程 （描述该处质点在（描述该处质点在不同时刻不同时刻的的态态）（2 2）确定确定t = tt = t0 0， )(cos0 uxtAy（表示（表示t t0 0时刻，波线上各点的时刻，波线上各点的态态）（3 3）当）当 t t、x x 均为变量时均为变量时, ,波动方程表示任意时刻、波动方程表示任意时刻、任意质点的任意质点的态态。不同点不同时刻的位移。形象反应。不同点不同时刻的位移。形象反应了波形的传播。了波

21、形的传播。xy1t2t)(cos)(cosutuxttAuxtAy左边：左边：t 时刻，时刻，x 处质点的振动位移。处质点的振动位移。右边：右边：t + t 时刻，时刻，x + u t 处质点的振动位移。处质点的振动位移。t 时刻时刻x 处质点的振动状态，经处质点的振动状态，经 t 时间传时间传到了到了x + u t 处。处。结论：结论：例题例题3-3已知：简谐波的周期为已知：简谐波的周期为T=0.5s，波长，波长m1mA1 . 0并且初相位为并且初相位为0。试求波动方程，并求距波源为。试求波动方程，并求距波源为 处处的质点的振动方程。的质点的振动方程。2/解：解：将将T=0.5sm1mA1

22、. 0代入波动方程：代入波动方程：)(2cosxTtAy)(2(2cos1 . 0mxty距波源距波源2/)(14(cos1 . 0mtyoTtAy2cos0第五节第五节 波的能量与衰减波的能量与衰减)(cosuxtAy )(sinuxtAtyv 2)(cos uxtA)(cos222uxtAtya )(cos2 uxtA2 2 0max av 反之亦然反之亦然一、波的能量一、波的能量看出：看出：1.v 1.v 是质点的振动速度，与波速是不同的是质点的振动速度，与波速是不同的2.v2.v与与 y y的相的相位位差为差为3.v3.v与与 a a的相的相位位差为差为得：得：波的能量波的能量设一平面

23、余弦波在密度为设一平面余弦波在密度为 的理想媒质中沿的理想媒质中沿x x方向传播方向传播X X处处 V V的振动速度为的振动速度为)(sinuxtAv2)(21vmEk)(sin)(21222uxtAV)(sin)(212121222222uxtAVVxyuVEEppkEEEV)(sin222uxtVA总能量是时间和位置的函数！总能量是时间和位置的函数！xXoV能量密度：能量密度：VEw)(sin222uxtA也是时间和位置的函数也是时间和位置的函数平均能量密度：平均能量密度：dtuxtATwT0222sin12221A是常数是常数注意：注意：谐振子谐振子波波minmaxpkWWmaxmaxp

24、kWW能量守恒能量守恒能量不守恒！能量不守恒！二、能流和能流密度二、能流和能流密度能流：能流：单位时间单位时间通过垂直于波传播方向通过垂直于波传播方向某面积某面积S S的能量的能量平均能流：平均能流：uSAuSwP2221能流密度：能流密度：单位时间单位时间通过垂直于波传播方向通过垂直于波传播方向单位面单位面积积的能量的能量平均能流密度平均能流密度: :uAuwSPII2221I I 习惯称为波的强度（习惯称为波的强度（intensity of wave)intensity of wave)1)1)在无吸收的理想媒质中在无吸收的理想媒质中21AA uAI222112122212211SSAAS

25、ISI三、波的衰减三、波的衰减2)2)有介质吸收时有介质吸收时IdxdIxeII0比尔比尔朗伯定律朗伯定律1.1.平面简谐波在各向同性介质中传播规律：平面简谐波在各向同性介质中传播规律：根据根据xeAAII200 xeAA210实际平面简谐波在介实际平面简谐波在介质的波动方程为：质的波动方程为：)(cos210uxteAyx0 xdxI0I-dIx xu1S2S1I2I14444222122212221212211rrAArrIISISI1221rrAA21AA 1S2S1r2r2 2、球面简谐波在各向同性介质中传播规律：、球面简谐波在各向同性介质中传播规律：在无吸收理想介质在无吸收理想介质穿

26、过波面穿过波面 S S1 1、S S2 2 的总能量相等的总能量相等212221rrII)(cos0urtrAy)(cos210urtreAyr有介质吸收球面波波动方程：有介质吸收球面波波动方程：无介质吸收球面波波动方程：无介质吸收球面波波动方程：例题例题3-4 3-4 已知声波在空气中传播，其吸收系数为已知声波在空气中传播，其吸收系数为:114000m在钢中的吸收系数在钢中的吸收系数: :128 m试求频率为试求频率为10Mhz10Mhz的声波在空气和钢中的各自传播的距的声波在空气和钢中的各自传播的距离为多少时，波的强度变为原来的四分之一？离为多少时，波的强度变为原来的四分之一？解：由比尔解

27、：由比尔朗伯定律得：朗伯定律得：xeII00ln1IIxmx000346.020002ln41ln400011mx173.042ln41ln812由此可见高频率波很难通过空气，但比较容易通过固体由此可见高频率波很难通过空气，但比较容易通过固体一、惠更斯原理和波的叠加原理一、惠更斯原理和波的叠加原理球面波球面波平面波平面波第六节第六节 波的叠加和干涉波的叠加和干涉惠更斯原理：惠更斯原理：波是振动状态的传播，振动状态传到的各波是振动状态的传播，振动状态传到的各点都可以看成新的子波波源，发出新的子波来，这些子点都可以看成新的子波波源，发出新的子波来，这些子波的包络就是下个时刻新的波阵面波的包络就是下

28、个时刻新的波阵面二、波的干涉二、波的干涉波的叠加原理，又称独立传播原理：波的叠加原理，又称独立传播原理：几列波同时在介几列波同时在介质中传播，相遇时遵守下列规律：质中传播，相遇时遵守下列规律：1 1）在相遇区域内，任意一点的振动，为各列波引起的）在相遇区域内，任意一点的振动，为各列波引起的振动的矢量和。振动的矢量和。2 2）相遇后，各列波仍保持它们各自原有的特性（频率、）相遇后，各列波仍保持它们各自原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，按照自己原来的传播波长、振幅、振动方向等）不变，按照自己原来的传播方向继续前进，好象在各自的传播过程中没有遇到其它方向继续前进，好象在各自的传播过程中

29、没有遇到其它波一样。波一样。水波干涉：有些地方振动（起伏）加剧（合振幅大），水波干涉：有些地方振动（起伏）加剧（合振幅大），有些地方振动有些地方振动（起伏）（起伏）减弱（合振幅小），甚至有些地减弱（合振幅小），甚至有些地方没有起伏（合振幅为零）方没有起伏（合振幅为零）声波干涉：有些地方声很强，有些地方声很弱。声波干涉：有些地方声很强，有些地方声很弱。光波干涉：有些地方光很亮，有些地方光很暗。光波干涉：有些地方光很亮，有些地方光很暗。波与波间波与波间无固定关系的叠加，无固定关系的叠加，在叠加区域内波强都为：在叠加区域内波强都为：222121AAIII222121AAIII波与波之间波与波之间有一

30、定特殊关系的叠加有一定特殊关系的叠加干涉干涉下面讨论这种特殊波间的叠加情况下面讨论这种特殊波间的叠加情况干涉干涉所谓的特殊波是指相遇的所谓的特殊波是指相遇的这些波之间有如下关系：这些波之间有如下关系：干涉加强、减弱的分布干涉加强、减弱的分布（无吸收媒质）：（无吸收媒质）：设：设： S S1 1、S S2 2的振动方程：的振动方程：) cos(111 tAy) cos(222 tAyP P点的振动方程为：点的振动方程为：)( cos1111 urtAy)( cos2222 urtAy将将 =2=2 /T/T，u=u= /T/T代入：代入：)2 cos(1111 rtAy)2 cos(2222 r

31、tAy振动方向相同、频率相振动方向相同、频率相同、有恒定的相位差同、有恒定的相位差S S1 1S S2 2r r1 1r r2 2P P)2 cos(1111rtAy)2 cos(2222rtAy )(21212rr合振动为：合振动为： y = A c o s（ t+ ） cos2212221AAAAA（若（若 相干波源的初位相相干波源的初位相 相同，即相同，即 ： 1= 2时）时）加强和减弱加强和减弱“波程差波程差”条件：条件： )(212rr) 12 (2kkmax12Akrrr min2)12(Akr （k=0， 1， 2）21max 2AAAk21min )12(AAAk（k=0， 1， 2）加强和减弱加强和减弱“相位差相位差”条件：条件：S1S2r1r2