电磁场与电磁波第2章

1、电子科技大学成都学院第第2 2章章 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电磁学有三大实验定律：电磁学有三大实验定律： 库仑定律库仑定律 安培定律安培定律 法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律以此为基础，麦克斯韦进行了归纳总结，建立了描述宏观以此为基础，麦克斯韦进行了归纳总结，建立了描述宏观电磁现象的规律麦克斯韦方程组电磁现象的规律麦克斯韦方程组电子科技大学成都学院2.1 电磁理论中的基本物理量和实验定律电磁理论中的基本物理量和实验定律 自然界中最小的带电粒子包括电子和质子自然界中最小的带电粒子包括电子和质子 一般带电体的电荷量通常用一般带电体的电荷量通常用q表示表示 从微观上看，电荷是以离散的方式出现

2、在空间中的从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的 从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中间范围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中 几种表示法：体积中电荷体密度几种表示法：体积中电荷体密度 曲面上电荷面密度曲面上电荷面密度 s 曲线上电荷线密度曲线上电荷线密度 l2.1.1 电荷与电荷分布电荷与电荷分布电子科技大学成都学院 体电荷密度：设分布于体积元体电荷密度：设分布于体积元 V中的电荷电量为中的电荷电量为 q，则体电，则体电荷密度荷密度 的定义为的定义为 0lim

3、VqV r VqdV r 0limSSqS r SSqdS r 0limllql r llqdl r V r O (r) V 面电荷密度：设分布于面积元面电荷密度：设分布于面积元 S中的电荷中的电荷电量为电量为 q，则面电荷密度，则面电荷密度 s的定义为的定义为 线电荷密度：设分布于线元线电荷密度：设分布于线元 l中的电荷电量为中的电荷电量为 q，则线电，则线电荷密度荷密度 l的定义为的定义为电子科技大学成都学院 点电荷：电量为点电荷：电量为q、集中在体积为零的几何点上的电荷、集中在体积为零的几何点上的电荷 00,0lim,0VqV rrr点电荷密度的点电荷密度的 函数表示法函数表示法 函数的

4、定义和性质函数的定义和性质设坐标原点为设坐标原点为O，选定空间某观察点（移动点）的坐标为，选定空间某观察点（移动点）的坐标为r，源点（固定）的为坐标源点（固定）的为坐标r，R = r-r。 函数的定义和性质如下：函数的定义和性质如下：电子科技大学成都学院 0, rrrrrr 0,1,VVdVV rrrrrr不不包包括括包包括括 0,VVfdVfV rrrrrrrr不不包包括括包包括括 用用 函数表示点电荷体密度函数表示点电荷体密度设点荷设点荷q位于位于r处，空间任意点处，空间任意点r的电荷体密度可以表示成：的电荷体密度可以表示成： 0,q rrrrrrr 0,VVVQdVqdVq V rrrr

5、rrr不不包包括括包包括括 V rO dV r R 源点源点 观察点观察点 电子科技大学成都学院电流由定向流动的电荷形成，通常用电流由定向流动的电荷形成，通常用I表示电流强度。设表示电流强度。设t时时间内流经某截面的电量为间内流经某截面的电量为q ，则电流强度定义为，则电流强度定义为 当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，此时当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，此时称为恒定（稳恒）电流称为恒定（稳恒）电流 空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况穿过某截面的电荷量无法描述电流的

6、分布情况 引入电流密度来描述电流的分布情况引入电流密度来描述电流的分布情况2.1.2 电流及电流密度电流及电流密度0limtqdqItdt 电子科技大学成都学院其中：其中：J= v 即为即为电流密度矢量电流密度矢量，由此可以，由此可以得到通过截面积得到通过截面积S的电流的电流设单位体积内有设单位体积内有n个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷q，且都以相同的速度且都以相同的速度v运动，体积中的总电荷将在运动，体积中的总电荷将在 dt 时间内经时间内经 dS 流出柱体，可以得到流出柱体，可以得到 dt 时间内通过时间内通过 dS 的电荷量为的电荷量为 dQnqdtd

7、ddtddt vSvSJS 其中：其中：en为曲面为曲面S的法向单位矢量的法向单位矢量dQdIdddtS JS 通通过过的的电电流流强强度度为为：nSSIddS JSJ e v P dS vdt 体电流密度体电流密度如图，设如图，设P为空间中的任意点，过为空间中的任意点，过P取面积元取面积元dS。电子科技大学成都学院 反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场 一般是座标一般是座标r和时间和时间t的函数，即的函数，即J = J(r, t) J在空间某点的方向为该点电流流动的方向在空间某点的方向为该点电流流动的方向 J在空间某点的大小

8、为单位时间内垂直通过单位面积的电量在空间某点的大小为单位时间内垂直通过单位面积的电量 如有如有N种带电粒子，电荷密度分别为种带电粒子，电荷密度分别为 i，平均速度，平均速度vi，则有，则有关于体电流密度的说明关于体电流密度的说明1Niii Jv0Jvvv = 0时可能存在电流。如导体中电荷体密度为时可能存在电流。如导体中电荷体密度为0，但因正电，但因正电荷不动，有荷不动，有电子科技大学成都学院 h Js en l S 式中式中Js=Jh 即为面电流密度，单位为即为面电流密度，单位为A/m（安培（安培/米）米） 如图，设电流集中在厚度为如图，设电流集中在厚度为h的薄层内流动，薄层的横截面的薄层内

9、流动，薄层的横截面 S，en为表示截面方向的单位矢量。为表示截面方向的单位矢量。显然穿过截面的电流为显然穿过截面的电流为 0limsSlnnnIh lhllIdIJldl JSJJJeee 面电流密度面电流密度 当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量度矢量 Js 来表示。来表示。电子科技大学成都学院 Js是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量场分布空间

10、矢量场分布 Js在某点的方向为该点电流流动的方向在某点的方向为该点电流流动的方向 Js在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量 当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流 只有当电流密度只有当电流密度J趋于无穷，面电流密度趋于无穷，面电流密度Js才不为零，即才不为零，即0lim0shhJJJ关于面电流密度的说明关于面电流密度的说明 线电流密度线电流密度 当电流沿一横截面可以忽略的曲线流动，电流被称为线电流。当电流沿一横截面可以忽略的曲线流动，电流被称为线电流。长度元长度元dl上的电流上的电流Idl称为

11、电流元。称为电流元。电子科技大学成都学院 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。实验证明，电电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。实验证明，电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。 取电流流动空间中的任意一个体积取电流流动空间中的任意一个体积V，其中的电荷在单位时，其中的电荷在单位时间内减少的数量应该等于流出包围间内减少的数量应该等于流出包围V的封闭曲面的封闭曲面S的电流，即的电流，即SVdqdddVdtdt JS 考

12、虑到上式右端的体积分是在静止或固定的体积考虑到上式右端的体积分是在静止或固定的体积V中进行，所中进行，所以式中的全导数可以改成偏导数，即有以式中的全导数可以改成偏导数，即有SVddVt JS 2.1.3 电荷守恒定律与电流连续性方程电荷守恒定律与电流连续性方程电荷守恒定电荷守恒定律积分形式律积分形式 电子科技大学成都学院1）当体积）当体积V为整个空间时，闭合面为整个空间时，闭合面S为无穷大界面，将没有电为无穷大界面，将没有电流经其流出，流经其流出， 此式可写成此式可写成0VdVt 对电荷守恒定律的进一步讨论对电荷守恒定律的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的。此式也称为电流连续性方程。即整个空

13、间的总电荷是守恒的。此式也称为电流连续性方程。2）在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变）在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得为体积分，得0VdVt J 0t J 电荷守恒定律微分形式电荷守恒定律微分形式电流连续方程微分形式电流连续方程微分形式 电子科技大学成都学院3）积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微）积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系。分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系。4）空间中某点电荷密度变化，此点即成为电流的散度源，发）空间中某点电荷密度变化，此点即成为

14、电流的散度源，发出或汇集电流。出或汇集电流。5）当电流不随时间变化时，称为恒定电流（或稳恒电流）。）当电流不随时间变化时，称为恒定电流（或稳恒电流）。此时要求电荷分布与时间无关，即此时要求电荷分布与时间无关，即 对时间的偏导数为零对时间的偏导数为零，可，可以得到以得到0J 0Sd JS 恒定电流场是无散度场（无源场、无散场）恒定电流场是无散度场（无源场、无散场）恒定电流形成不间断的闭合回路恒定电流形成不间断的闭合回路电子科技大学成都学院 例例1 在球面坐标系中，传导电流密度为在球面坐标系中，传导电流密度为J=er10r-1.5(A/m), 求求：（：（1）通过半径）通过半径r1mm的球面的电流

15、值；（的球面的电流值；（2）在半）在半径径r=1mm的球面上电荷密度的增加率；（的球面上电荷密度的增加率；（3）在半径）在半径r=1mm的球的球体内总电荷的增加率。体内总电荷的增加率。解：解： （1）21.521000.5110sin|40|3.97( )rmmSrmmIdrrd drA JS （2）在球面坐标系中）在球面坐标系中 21.522.58311105|1.58 10/rmmddrrdtr drrA m J （3）由电荷守恒定律得）由电荷守恒定律得3.97( )SdqIdAdt JS 电子科技大学成都学院2.1.4 库仑定律电场强度库仑定律电场强度 库仑定律库仑定律描述真空中静止点电

16、荷描述真空中静止点电荷q1和和q2的相互的相互作用力，其数学表达式为作用力，其数学表达式为12121230124q qR FR r2 O r1 R12 F12 q2 q1 式中式中F12表示表示q1作用在作用在q2上的静电力，上的静电力，R = r2 r1。电子科技大学成都学院 多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加矢量叠加，即，即 连续分布电荷系统的静电力必须进行矢量积分连续分布电荷系统的静电力必须进行矢量积分 只给出了作用力的大小和方向，没有说明传递方式或途径只给出了作用力的大小和方向，没有说明传递方式或途径30,4iiiiiiiiqqR FF

17、RRrr对库仑定律的进一步讨论对库仑定律的进一步讨论 大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上电子科技大学成都学院 304VqdVR rRF r 对电荷分布在曲面或曲线上的情况，对电荷分布在曲面或曲线上的情况，只需将电荷体密度、体积元和积分区域只需将电荷体密度、体积元和积分区域作相应的替换即可。如，对面电荷有作相应的替换即可。如，对面电荷有 304sSqdSR rRF r r O r R F q d V V r 例例2-1体积为体积为V的区域中体电荷密度为的区域中体电荷密度为 ，空间，空间r处有处有一个点电荷一个点电荷q，如图所示。写

18、出，如图所示。写出V中的电荷作用在点电中的电荷作用在点电荷荷q上的静电力表达式。如果电荷是分布在一个曲面或曲线上，上的静电力表达式。如果电荷是分布在一个曲面或曲线上，写出静电力的表达式。写出静电力的表达式。 r解：解：将将V分解成无数个体积元，各带电体积元可看成点电荷分解成无数个体积元，各带电体积元可看成点电荷 ，利用库仑定律得，利用库仑定律得 q 所所受静电力受静电力 dV r电子科技大学成都学院 电场的引入和定义电场的引入和定义 电场是电荷周围形成的物质，另外的电荷处于这个物质中时，电场是电荷周围形成的物质，另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用。静止电荷产生的电场称为静电场，随时

19、会受到电场力的作用。静止电荷产生的电场称为静电场，随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场 电场强度矢量电场强度矢量 电场中的单位正点电荷电场中的单位正点电荷q0所受的电场力除了与自身所带电所受的电场力除了与自身所带电量量q0有关，还与所在点的电场有关，即有关系式有关，还与所在点的电场有关，即有关系式0q F0q FE 超距作用观点：电荷间作用力超越时空，直接、瞬时发生超距作用观点：电荷间作用力超越时空，直接、瞬时发生 近距作用观点：电荷间作用力通过中介物质传递，有限速度近距作用观点：电荷间作用力通过中介物质传递，有限速度 现代电磁理论与实践证明，第二种

20、观点是正确的现代电磁理论与实践证明，第二种观点是正确的 电场力的作用方式与传递电场力的作用方式与传递电子科技大学成都学院对电场强度的进一步讨论对电场强度的进一步讨论 电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场 电场强度是单位点电荷受到的电场力，它只与产生电场的电电场强度是单位点电荷受到的电场力，它只与产生电场的电荷有关荷有关 此式对静电场和时变电场均成立此式对静电场和时变电场均成立 点电荷产生的电场点电荷产生的电场单个点电荷在空间任意点激发的电场为单个点电荷在空间任意点激发的电场为3004qqRFER N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激

21、发的电场为个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为31014NiiiiqR ER电子科技大学成都学院 连续分布的电荷系统产生的电场连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于体积连续分布于体积V中的电荷在空间任意点中的电荷在空间任意点r产生的电场为产生的电场为 3014VdVR rRE r 面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如积元和积分区域作相应替换即可，如 3014sSdSR rRE r 3014lldlR rRE r 线电荷线电荷 面电荷面电荷电子科技大学成都学院例例2-2 图中所示为一个半

22、径为图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单的带电细圆环，圆环上单位长度带电位长度带电 l，总电量为，总电量为q。求圆环轴线上任意点电场。求圆环轴线上任意点电场。 r O R d E z d l l d Ez 解：解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷 l(r)dl，则线元在轴线任意点产生的电场为则线元在轴线任意点产生的电场为2014lRdldR Ee由对称性和电场的叠加性，合电场只由对称性和电场的叠加性，合电场只有有z分量，则分量，则 2033330000cos424444zlzzllzlzllzzllzdEdlRrzzzqzdldl

23、RRRR eEeeeee电子科技大学成都学院结 果 分 析（1）当）当z0，此时，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，消，E=0（2）当）当z，R与与z平行且相等，平行且相等，rz，带电圆环相当于一，带电圆环相当于一个点电荷，有个点电荷，有 204zqzR Ee电子科技大学成都学院2.1.5 安培定律安培定律 两个电流元间的作用力两个电流元间的作用力真空中的两个恒定电流元之间也真空中的两个恒定电流元之间也存在相互作用力，其数学表达式为存在相互作用力，其数学表达式为 O r2 I2dl2 C1 r1 C2 I1dl1 I2 I1 R12 22111201

24、23124I dI ddR llRF安培定律的微分形式安培定律的微分形式对微分形式安培定律的讨论对微分形式安培定律的讨论 两个电流元之间静磁力的大小与电流元成正比、与距离的平两个电流元之间静磁力的大小与电流元成正比、与距离的平方成反比，方向由电流元方向及二者连线方向确定方成反比，方向由电流元方向及二者连线方向确定 dF12 dF21，这与库存仑定律不同。这是因为孤立的恒定，这与库存仑定律不同。这是因为孤立的恒定电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已电子科技大学成都学院 两个电流环的相互作用力两个电流环的相互作用力在回路在回路C1上式积分，得到回

25、路上式积分，得到回路C1作用在电流元作用在电流元I2dl2上的力上的力11011122223124CCI ddI dR lRFl 再在再在C2上对上式积分，即得到回路上对上式积分，即得到回路C1对回路对回路C2的作用力的作用力121011122232124C CCCI dI dR lRFl 安培定律的积分形式安培定律的积分形式对安培定律的讨论对安培定律的讨论 满足牛顿第三定律满足牛顿第三定律 只给出作用力的大小和方向，并没有说明作用力如何传递只给出作用力的大小和方向，并没有说明作用力如何传递电子科技大学成都学院 磁感应强度磁感应强度 磁力是通过磁场来传递的磁力是通过磁场来传递的 电流或磁铁在其

26、周围空间会激发磁场，当另外的电流或磁电流或磁铁在其周围空间会激发磁场，当另外的电流或磁铁处于这个磁场中时，会受到力（磁力）的作用铁处于这个磁场中时，会受到力（磁力）的作用 处于磁场中的电流元处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力所受的磁场力dF与该点磁感应强度与该点磁感应强度B、电流元强度和方向有关，即、电流元强度和方向有关，即dId FlB2.1.6 比奥比奥-萨伐尔定律萨伐尔定律 磁感应强度磁感应强度安培力公式安培力公式电子科技大学成都学院 比奥萨伐尔定律比奥萨伐尔定律设闭合回路设闭合回路C上通有稳恒电流上通有稳恒电流I，它在空，它在空间任意点间任意点r处产生的磁感应强度处产生的磁感应强度B

27、，由，由和和比较得比较得 O r C r Idl I R 03( )4CIdR lRB r 比奥萨伐尔定律比奥萨伐尔定律 体电流产生的磁场体电流产生的磁场 03( )4VdVR J rRB r O r V r P R JdV 运动电荷的磁场运动电荷的磁场03( )4qR vRB r电子科技大学成都学院 洛伦兹力公式洛伦兹力公式 点电荷在磁场点电荷在磁场B中以速度中以速度v运动时所受的力，可由安培力公运动时所受的力，可由安培力公式求得式求得dIdq FlBvB对安培力和洛伦兹力的比较对安培力和洛伦兹力的比较 安培力公式给出的是磁场中电流元的受力，而洛伦兹力公安培力公式给出的是磁场中电流元的受力，

28、而洛伦兹力公式给出的则是运动点电荷在磁场中的受力式给出的则是运动点电荷在磁场中的受力 由于运动电荷形成电流，电流是由运动电荷组成的，因此由于运动电荷形成电流，电流是由运动电荷组成的，因此安培力和洛伦兹力本质上是一样的，都是电荷受的力，只是安培力和洛伦兹力本质上是一样的，都是电荷受的力，只是二者讨论问题的角度不同二者讨论问题的角度不同电子科技大学成都学院例例2-3 求有限长直线电流在空间产生的磁感应强度。求有限长直线电流在空间产生的磁感应强度。解：在导线上任取电流元解：在导线上任取电流元Idl，其方向沿着电流流动的方向，其方向沿着电流流动的方向，即即 z 方向。由比奥方向。由比奥萨伐尔定律，电流

29、元在导线外一点萨伐尔定律，电流元在导线外一点P处产处产生的磁感应强度为生的磁感应强度为a 1 R A z Idl B O 2 P 0032sin44IdldIdRR BlRe02sin4BAIdlR Be2csc ,ctg ,cscRaladla 其中其中 210012sincoscos44IIdaa Bee当导线为无限长时，当导线为无限长时， 10， 2 02Ia Be电子科技大学成都学院2.2.1 真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程 电场的散度电场的散度 高斯定理高斯定理设静止电荷设静止电荷 分布在区域分布在区域V中，空间任意点中，空间任意点r的电场强度为的电场强度为 3014V

30、dVR rRE r利用关系式利用关系式31RR R 0114VdVR E rr两边取散度，由于两边取散度，由于 与源座标无关，可将其移到积分号中，得与源座标无关，可将其移到积分号中，得 20114VdVR E rr 214R rr利利用用关关系系式式，得得2.2 静态场的基本方程静态场的基本方程电子科技大学成都学院 01VdV E rrrr 再利用函数的挑选性，得再利用函数的挑选性，得 001VV rE rrr ， 位于区域 外， 位于区域 外， 位于区域 内， 位于区域 内显然可以合并写成更简单的形式，即有显然可以合并写成更简单的形式，即有0 E 高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式两边取体

31、积分，考虑散度定理（即数学中的高斯定理），有两边取体积分，考虑散度定理（即数学中的高斯定理），有001VVQdVddV SEES 高斯定理的高斯定理的积分形式积分形式电子科技大学成都学院对静电场高斯定理的讨论对静电场高斯定理的讨论 空间任意点电场的散度空间任意点电场的散度只与只与当地的电荷分布有关当地的电荷分布有关 静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 穿过任意闭合面的电通量正比于闭合面所包围的总电量穿过任意闭合面的电通量正比于闭合面所包围的总电量 电场散度与电场强度是不同的物理量电场散度与电场强度是不同的物理量 无电荷处，源的强

32、度无电荷处，源的强度( (散度）为零，但电场不一定为零散度）为零，但电场不一定为零 电场的旋度电场的旋度 静电场环路定理静电场环路定理由于式由于式中微分算子与源座标无关，可以从积分号中提出，得中微分算子与源座标无关，可以从积分号中提出，得 014VdVR rE r电子科技大学成都学院两边取旋度，得两边取旋度，得 014VdVR rE任意标量任意标量 利用矢量恒等式得利用矢量恒等式得0 0E环路定理的微分形式环路定理的微分形式利用斯托克斯公式，得利用斯托克斯公式，得0Cd El 环路定理的积分形式环路定理的积分形式等式两端在任意曲面等式两端在任意曲面S上进行面积分，有上进行面积分，有0Sd ES

33、 电子科技大学成都学院对环路定理的讨论对环路定理的讨论 空间中静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电空间中静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路力线不构成闭合回路 静电场沿任意闭合回路的积分都为零静电场沿任意闭合回路的积分都为零 电场旋度和电场强度是不同的两个物理量，从不同角度描电场旋度和电场强度是不同的两个物理量，从不同角度描述同一个物理对象述同一个物理对象 虽然空间中电场的旋度处处为零，但电场却可能存在，二虽然空间中电场的旋度处处为零，但电场却可能存在，二者没有必然的联系者没有必然的联系 电子科技大学成都学院 静电场的性质静电场的性质 矢量场的性质可以用其散度

34、和旋度全面地描述。前者描述矢矢量场的性质可以用其散度和旋度全面地描述。前者描述矢量场场线扩散的状况，而后者则描述矢量场场线的形状。量场场线扩散的状况，而后者则描述矢量场场线的形状。 有源场。电力线由电荷发出，电荷是电场的源有源场。电力线由电荷发出，电荷是电场的源 无旋场。电力线不构成闭合回路无旋场。电力线不构成闭合回路 有源无旋的静电场呈现扩散状的分布形式有源无旋的静电场呈现扩散状的分布形式电子科技大学成都学院例例2-4 电量电量Q均匀分布在半径为均匀分布在半径为a的球形区域中，求空间的的球形区域中，求空间的电场分布、电场的散度和旋度电场分布、电场的散度和旋度 。解：解：电量电量Q均匀分布在球

35、形区域中，其体密度为均匀分布在球形区域中，其体密度为 334Qa 高斯定理得高斯定理得得得 232220002333230000011044413,4444rQQQrrarrrrrQQQQr rraaaa rra erErr ，3003300104411044sinQQrarrQQrrraaarr rEree，330044QQrarara ErEr，；，电子科技大学成都学院2.2.2 真空中静磁场的基本方程真空中静磁场的基本方程 磁场的散度磁场的散度 静磁场的散度定理静磁场的散度定理31RR R将关系式 代入比奥萨伐尔定律 得将关系式 代入比奥萨伐尔定律 得 0031( )44VVdVdVRR

36、 J rRB rJ r FFF利利用用矢矢量量恒恒等等式式得得 0001( )444VVVdVRRdVRdVR J rB rJ rJ rJ r等于零等于零一个矢量一个矢量电子科技大学成都学院 0 F 两两边边取取散散度度，并并考考虑虑得得0B 磁通连续性原理微分形式磁通连续性原理微分形式VSdVd FFS 再再利利用用散散度度定定理理 得得0VSdVdBBS 磁通连续性原理积分形式磁通连续性原理积分形式对静磁场散度定理的讨论对静磁场散度定理的讨论 静磁场的散度处处为零，不存在磁力线的扩散源和汇集源静磁场的散度处处为零，不存在磁力线的扩散源和汇集源 磁场散度与磁场感应强度是不同的物理量，磁场散度

37、描述磁场散度与磁场感应强度是不同的物理量，磁场散度描述磁力线的分布特点，而不是磁场本身磁力线的分布特点，而不是磁场本身 磁力线连续不断，无头无尾，穿过任何闭合面的通量为零磁力线连续不断，无头无尾，穿过任何闭合面的通量为零电子科技大学成都学院 磁场的旋度磁场的旋度 安培环路定理安培环路定理对式对式两边取旋度，并利用两边取旋度，并利用 函数的挑选性、恒定磁场的散度函数的挑选性、恒定磁场的散度定理可以得到定理可以得到安培环路定理积分形式安培环路定理积分形式再利用斯托克斯定理，将面积分变换成回路积分，得再利用斯托克斯定理，将面积分变换成回路积分，得 0CdI B rl 两边取面积分，得两边取面积分，得

38、安培环路定理微分形式安培环路定理微分形式 0 B rJ 00SSddIB rSJS电子科技大学成都学院 静磁场的性质静磁场的性质 无源（无散）场。磁力线无头无尾且不相交无源（无散）场。磁力线无头无尾且不相交 有旋场。电流是磁场的旋涡源有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路，磁力线构成闭合回路对安培环路定理的讨论对安培环路定理的讨论 空间任意点磁场的旋度空间任意点磁场的旋度只与只与当地的电流密度有关当地的电流密度有关 恒定电流是静磁场的旋涡源，电流激发旋涡状的静磁场，恒定电流是静磁场的旋涡源，电流激发旋涡状的静磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向并决定旋涡源的强度和旋涡方向 磁场旋度与磁感

39、应强度是不同的物理量，取值没有必然联磁场旋度与磁感应强度是不同的物理量，取值没有必然联系。没有电流的地方，磁场旋度为零，但磁场不一定为零系。没有电流的地方，磁场旋度为零，但磁场不一定为零 任意回路上恒定磁场的回路积分，等于穿过回路所围区域任意回路上恒定磁场的回路积分，等于穿过回路所围区域的总电流强度的总电流强度电子科技大学成都学院例例2-5 无限长同轴线内导体的半径为无限长同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径，外导体的内半径为为b、厚度为、厚度为t，内外导体分别通有电流，内外导体分别通有电流I和和I。求各区域。求各区域的磁感应强度、磁场的散度和旋度。的磁感应强度、磁场的散度和旋度。 a b

40、t I -I 解：解：由于电流沿由于电流沿z轴方向流动，所以磁场只有轴方向流动，所以磁场只有 分量。电流均匀分布在导体内，有分量。电流均匀分布在导体内，有 2zIa Je内内 22zIbtb eJ外外在在ra区域，将安培环路定理应用于半径为区域，将安培环路定理应用于半径为r的任意的任意回路，有回路，有 2220022000rIIrB rdrd draa 022IrBa Bee电子科技大学成都学院在在arb 区域区域02IBr Bee在在brb+t区域，回路所围区域，回路所围电流强度为零，电流强度为零，B=0 计算机模拟的磁计算机模拟的磁感应强度随感应强度随r的变的变化，图中的化，图中的c=b+

41、t 电子科技大学成都学院求求B：在柱坐标系中，：在柱坐标系中， 11rzrBBBrrrz B 其中其中Br=Bz=0，各区域中，各区域中B 与与 无关，故各区域均有无关，故各区域均有B=0 求求B：在柱坐标系中，：在柱坐标系中，考虑到考虑到B只有只有 分量且与分量且与z无关，有无关，有 可见，所有区域磁场散度都为零，旋度由电流密度确定。另外，可见，所有区域磁场散度都为零，旋度由电流密度确定。另外， 磁场的散度、旋度和磁感应强度的取值没有相互联系磁场的散度、旋度和磁感应强度的取值没有相互联系 2000221=2zzzIIrarBrrra r ra BeeeJ内内 1=0zarbrBrr Be 2

42、200022221-2zzbrbtIIrbrrbtbbtb BeeJ外外电子科技大学成都学院2.2.3 介质的极化介质的极化当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下将发生极化，当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下将发生极化，介质中因极化会出现电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加介质中因极化会出现电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。于原来电场之上，使电场发生变化。 介质极化有关概念介质极化有关概念 介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统 电偶极子和电偶极矩：由两个相距电偶极子和电偶极矩：由两

43、个相距l的等量异号点电荷的等量异号点电荷q组组成的带电体系，其电特性用电偶极矩成的带电体系，其电特性用电偶极矩p =ql表示，是个矢量表示，是个矢量 介质分子的分类：无极分子和有极分子。在热平衡时，分子介质分子的分类：无极分子和有极分子。在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，宏观上不显出电特性无规则运动，取向各方向均等，宏观上不显出电特性电子科技大学成都学院 介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩 极化电荷（束缚电荷）：介质极化后，其表面和内部出现极化电荷

44、（束缚电荷）：介质极化后，其表面和内部出现的宏观电荷分布的宏观电荷分布 极化强度矢量极化强度矢量描述介质极化的程度，等于描述介质极化的程度，等于单位体积内的电偶极矩，即单位体积内的电偶极矩，即0limiiVV pP 极化电荷密度极化电荷密度设分子的电偶极矩设分子的电偶极矩p= =ql。凡负电。凡负电荷处于体积中的电偶极子必定穿过荷处于体积中的电偶极子必定穿过面元面元dS，则正电荷将穿出体积。，则正电荷将穿出体积。 dS p l 电子科技大学成都学院 dS p l 显然，经显然，经dS穿出体积的正电荷总量为穿出体积的正电荷总量为nq dnddlSpSPS在空间中任意取一个体积在空间中任意取一个体

45、积V，其边，其边界为界为S，则经，则经S穿出穿出V的正电荷量为的正电荷量为，则，则V中出现的极化电荷中出现的极化电荷qP为为Sd PS PPVSqdVd PS P P 在介质表面上，极化电荷面密度为在介质表面上，极化电荷面密度为SPn e P SPnP 空气空气介质介质en电子科技大学成都学院对介质极化问题的讨论对介质极化问题的讨论 P=常数时称为均匀极化，此时介质内部不会出现极化电常数时称为均匀极化，此时介质内部不会出现极化电荷，极化电荷只会出现在介质表面上荷，极化电荷只会出现在介质表面上 均匀介质内部一般不存在极化电荷均匀介质内部一般不存在极化电荷 自由电荷所在地一定有极化电荷出现自由电荷

46、所在地一定有极化电荷出现 两种介质分界面上的极化电荷为两种介质分界面上的极化电荷为其中其中en是由介质是由介质1指向介质指向介质2。 21SPn ePP 极化电流极化电流当外加电场随时间发生改变时，极化强度当外加电场随时间发生改变时，极化强度P将随时间变化，将随时间变化，极化电荷会在一定范围内运动而形成极化电流极化电荷会在一定范围内运动而形成极化电流JP，有，有0PPPtt PJJ 且且电子科技大学成都学院2.2.4 介质的磁化介质的磁化磁磁介质分子可等效地看作一个小的环电流，称为分子电流。介质分子可等效地看作一个小的环电流，称为分子电流。与介质中的电荷产生微观电场一样，分子电流会产生微观磁与

47、介质中的电荷产生微观电场一样，分子电流会产生微观磁场。当受到宏观外磁场作用时，分子电流的分布会产生变化，场。当受到宏观外磁场作用时，分子电流的分布会产生变化，从而出现宏观的附加电流，并由此影响到原来的宏观磁场。从而出现宏观的附加电流，并由此影响到原来的宏观磁场。 磁介质磁化有关概念磁介质磁化有关概念 分子电流及磁矩：分子电流可看成载流小线圈或小电流环，分子电流及磁矩：分子电流可看成载流小线圈或小电流环，其特性可用磁矩其特性可用磁矩m= i S来表示，是个矢量来表示，是个矢量 介质的磁化：没有外场时，分子电流无规则排列，取向均匀，介质的磁化：没有外场时，分子电流无规则排列，取向均匀，介质不显宏观

48、电流和宏观磁矩。外加磁场时，磁矩取向沿磁场介质不显宏观电流和宏观磁矩。外加磁场时，磁矩取向沿磁场方向排列并趋于一致，介质出现宏观磁矩和宏观磁化电流方向排列并趋于一致，介质出现宏观磁矩和宏观磁化电流 磁化电流：介质磁化后内部和表面出现的宏观电流磁化电流：介质磁化后内部和表面出现的宏观电流JM和和JSM电子科技大学成都学院 磁化强度矢量磁化强度矢量描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即0limiiVV mM 磁化电流密度磁化电流密度在介质内部取曲面在介质内部取曲面S，边界为，边界为C，穿过，穿过S的总电流的总电流IM。显然，。显然，只有被回

49、路只有被回路C穿过的分子电流对穿过的分子电流对IM才有贡献。才有贡献。 dl i S 有贡献有贡献 无贡献无贡献 无贡献无贡献 电子科技大学成都学院设设dl是回路是回路C上的一个线元，上的一个线元， S为分子电流环的面积。显为分子电流环的面积。显然，中心处于体积为然，中心处于体积为 Sdl的柱体内的分子电流一定被回路的柱体内的分子电流一定被回路C穿过，则被回路穿过，则被回路C穿过的分子总数为穿过的分子总数为另一方面，从另一方面，从S背面流出背面流出的电流的电流IM可以表示为可以表示为Cnd Sl MMSId JS 其中其中JM为磁化电流体密度。综合两式，得为磁化电流体密度。综合两式，得 S d

50、l 有贡献有贡献 无贡献无贡献 dl M JMMMSCCCSIdnidndddJSSlmlMlMS在磁介质表面上，有在磁介质表面上，有SMn JMeSMtJM 电子科技大学成都学院对介质磁化问题的讨论对介质磁化问题的讨论 M=常数时称为均匀磁化，此时磁介质内部不会出现磁化常数时称为均匀磁化，此时磁介质内部不会出现磁化电流，磁化电流只会出现在磁介质表面上电流，磁化电流只会出现在磁介质表面上 均匀磁介质内部一般不存在磁化电流均匀磁介质内部一般不存在磁化电流 传导电流所在地一定有磁化电流出现传导电流所在地一定有磁化电流出现 两种磁介质表面上的磁化电流为两种磁介质表面上的磁化电流为其中其中en是由介质

51、是由介质1指向介质指向介质2，M1t和和M2t分别表示分别表示M1和和M2的切向的切向分量分量。 2121SPnSMttJMM JeMM或或电子科技大学成都学院 介质中静电场的基本方程介质中静电场的基本方程 电位移矢量电位移矢量D当介质中出现极化电荷的时候，极化电荷会产生与自由电荷当介质中出现极化电荷的时候，极化电荷会产生与自由电荷相同的电场，即有相同的电场，即有 000PP EEEP0Sdq DEPDDS 令 令 介质中的高斯定理介质中的高斯定理2.2.5 介质中静态场的基本方程介质中静态场的基本方程介质极化后会产生极化电荷，极化电荷本身又会激发电场，介质极化后会产生极化电荷，极化电荷本身又

52、会激发电场，从而影响到原宏观电场分布；介质磁化后会产生磁化电流，磁从而影响到原宏观电场分布；介质磁化后会产生磁化电流，磁化电流本身又会激发磁场，从而影响到原宏观磁场分布。化电流本身又会激发磁场，从而影响到原宏观磁场分布。所以介质中静电场和静磁场所满足的基本方程会发生改变。所以介质中静电场和静磁场所满足的基本方程会发生改变。电子科技大学成都学院对介质中静电场基本方程有关问题的讨论对介质中静电场基本方程有关问题的讨论 电位移矢量电位移矢量D为有源场，其散度源为自由电荷为有源场，其散度源为自由电荷 真空中高斯定理右侧除自由电荷外还包括极化电荷，它在真空中高斯定理右侧除自由电荷外还包括极化电荷，它在求

53、出场分布之前是未知的，故不能用于求解介质中的场分布求出场分布之前是未知的，故不能用于求解介质中的场分布 介质中高斯定理的右侧只包括自由电荷，极化电荷的影响介质中高斯定理的右侧只包括自由电荷，极化电荷的影响已经包括在已经包括在D中，不需要再考虑极化电荷中，不需要再考虑极化电荷电子科技大学成都学院对介质中静磁场基本方程有关问题的讨论对介质中静磁场基本方程有关问题的讨论 磁场强度磁场强度H为有旋场，其旋度源为传导电流为有旋场，其旋度源为传导电流 真空中安培环路定理右侧除传导电流外还包括磁化电流，真空中安培环路定理右侧除传导电流外还包括磁化电流，它在求出磁场分布之前一般是未知的，故不能用于求解介质它在

54、求出磁场分布之前一般是未知的，故不能用于求解介质中的磁场分布中的磁场分布 介质中安培环路定理的右侧只包括传导电流，磁化电流的介质中安培环路定理的右侧只包括传导电流，磁化电流的影响已经包括在影响已经包括在H中，不需要再考虑磁化电流中，不需要再考虑磁化电流 磁场强度和磁介质中的安培环路定理磁场强度和磁介质中的安培环路定理介质中的磁化电流会产生与传导电流相同的磁效应，即有介质中的磁化电流会产生与传导电流相同的磁效应，即有 0M001 BBJJBJMMJ-CdI 0BHMHJHl 令 令 介质中的安培环路定理介质中的安培环路定理电子科技大学成都学院0e PE 001er DEEE 电介质的本构关系电介

55、质的本构关系 对于线性各向同性介质，有对于线性各向同性介质，有介质的本构关系介质的本构关系 对于均匀介质，对于均匀介质， 为与坐标（位置）无关的常数为与坐标（位置）无关的常数 线性介质，介电常数与电场强度无关，否则为非线性介质线性介质，介电常数与电场强度无关，否则为非线性介质 对于线性各向异性介质，有对于线性各向异性介质，有xxxyxzxxyyxyyyzyzzxzyzzzDEDEDEDE ，或写成，或写成2.2.6 电磁性质的本构关系电磁性质的本构关系电子科技大学成都学院m MH 001mr BHHH 磁介质的本构关系磁介质的本构关系 对于线性各向同性介质，有对于线性各向同性介质，有介质的本构

56、关系介质的本构关系 对于均匀磁介质，对于均匀磁介质， 为与坐标（位置）无关的常数为与坐标（位置）无关的常数 线性介质，磁导率与磁场强度无关，否则为非线性介质线性介质，磁导率与磁场强度无关，否则为非线性介质 对于线性各向异性介质，有对于线性各向异性介质，有xxxyxzxxyyxyyyzyzzxzyzzzBHBHBHBH ，或写成，或写成电子科技大学成都学院2.3 麦克斯韦方程组的建立麦克斯韦方程组的建立自从自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流。相反的问题，即磁场能否产生电流。1881年法拉第发现，当穿过导体

57、回路的磁通量发生变化时，年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的回路中会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉弟电磁感应定律。变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉弟电磁感应定律。 法拉第电磁感应定律的表述法拉第电磁感应定律的表述 当通过导体回路所围面积的磁通量当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时，回路中发生变化时，回路中产生的感应电动势产生的感应电动势in的的大小等于磁通量的时间变化率的负值，大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即方向是要阻止回路中磁通量

58、的改变，即 2.3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律电子科技大学成都学院inddt iEa式中负号表示感应电动势总是要阻止磁通量的变化。已设感式中负号表示感应电动势总是要阻止磁通量的变化。已设感应电动势正方向和磁通量正方向之间存在右手螺旋关系。应电动势正方向和磁通量正方向之间存在右手螺旋关系。设任意导体回路设任意导体回路C围成的曲面为围成的曲面为S，其单位法向矢量为，其单位法向矢量为n，回路附近的磁感应强度为回路附近的磁感应强度为B，则穿过回路的磁通为，则穿过回路的磁通为 Sd BS inSdddt BS E 法拉第电磁感应定律的积分与微分形式法拉第电磁感应定律的积分与微分形式电流由电

59、荷定向运动形成，电荷定向运动是电场力作用的电流由电荷定向运动形成，电荷定向运动是电场力作用的结果，即空间中存在结果，即空间中存在感应电场感应电场Ein。 n B C S dl 电子科技大学成都学院当一个单位正电荷在电场的作用下绕回路当一个单位正电荷在电场的作用下绕回路C一周时，电场力一周时，电场力所做的功与电动势之间的关系为所做的功与电动势之间的关系为电源对电荷做的功电源对电荷做的功电源电动势电源电动势感应电动势感应电动势EinCd El CSddddt ElBS 法拉第电磁感应法拉第电磁感应定律的积分形式定律的积分形式等式右端表示穿过等式右端表示穿过S的磁通量随时间的变化率，有两种情况的磁通

60、量随时间的变化率，有两种情况:(1)(1)当回路静止时：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，有当回路静止时：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，有SSddddtt BBSSCSddt BElS t BE法拉第电磁感应法拉第电磁感应定律的微分形式定律的微分形式 incCCCdddElEElEl另外另外库仑电场，在库仑电场，在任意回路上的任意回路上的线积分为零线积分为零电子科技大学成都学院对法拉第电磁感应定律的讨论对法拉第电磁感应定律的讨论 Ein是磁场随时间变化而激发的是磁场随时间变化而激发的(E=Ec+Ein) 时变电场时变电场(含感应电场含感应电场)是有旋场，磁场随时间变化处会激发是有旋场，磁场