计算机图形学第6章三维变换及三维观察

1、提出问题提出问题 如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 如何进行投影变换 如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察实现三维几何形体显示的流程实现三维几何形体显示的流程snmlrihgqfedpcbaTD3snmlrjihqfedpcbazyxTpzyxpD113T1T4T2T3T1: 与比例、对称、旋转、错切变换相关与比例、对称、旋转、错切变换相关;T2: 与平移变换相关与平移变换相关;T3: 与透视投影变换相关与透视投影变换相关;T4: 产生整体比例变换产生整体比例变换; 三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换 假设p (x,y,z)为三维形体变换前的点,经变换

2、后为p (x,y,z)。ZYX(x,y,z)(x,y,z)图7-5 平移变换1010000100001TzTyTxTt 11TzzTyyTxxTpzyxpt1000000000000jeaTs 11izeyaxTpzyxps其矩阵计算形式如下:11101111110111001010101110011000100002/100003/100002/112301232120212001030103210021000sTS000010000100001 11szsysxTspzyxpzyX图7-7 旋转变换的角度方向1000010000cossin00sincosRZTzyX 1cossinsin

3、cos1zyxyxTpzyxpRtzyX10000cossin00sincos00001RXT 1cossinsincos1zyzyxTpzyxpRtzyX10000cos0sin00100sin0cosRYT 1cossinsincos1zxyzxTpzyxpRt1000010000100001FxyT 11zyxTpzyxpxyF1000010000100001FyzT 11zyxTpzyxpyzF1000010000100001FzxT 11zyxTpzyxpzxF1000010000100001FxT 11zyxTpzyxpxF1000010000100001FyT 11zyxTpzy

4、xpyF1000010000100001FzT 11zyxTpzyxpFz1000010101hgfdcbTSH 11zfycxhzybxgzdyxTpzyxpSH10000100010001gdTSHx10000100010001hbTSHy10000100010001fcTSHz10100001000011zyxtTTTT10000100001000011ieaTssTS100001000010000111000010000cossin00sincos1000010000)cos()sin(00)sin()cos(1RZT) 1( )(321nTTTTPTPPn(x,y,z)zyxzyx(

5、x,y,z)zyx(x,y,z)zy(x,y,z)xFF图7-8 相对参考点F的比例变换(a)原图(b)移至坐标原点(c)基本比例变换(d)移回F点原来位置例例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换XYZABPP图7-9 P点绕AB轴旋转RABTzyxzyx 1 1111tARxRyRzRyRxtARABTTTTTTTTxzyB(a,b,c)BvcEbOxzyB(a,b,c)vOvaaaB 图7-10 OA经两次旋转与Z轴重合(a)(b)Dc由上可知由上可知,针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成：针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成：(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平

6、移变换。(2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换， 且旋转变换可能不止一次。(3)针对该坐标轴完成变换。(4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。(5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。投影变换投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。投影变换包括投影变换包括平面几何投影平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。观察投影观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。观察投影观察投影:为了能够使用户方便的从不同角度观察物体,得到物体的不同视图,以了解物体的各个局部位置的图形信息,我们引入观察空间的投影变

7、换.为了能够实现观察投影,我们介绍三维形体的输出流水线的过程:SSS(a)透视投影(b)正投影(c)斜投影图7-2 平面几何投影分为透视投影和平行投影平面几何投影平行投影透视投影正投影斜投影三视图正轴测斜等测斜二测正等测正二测正三测主视图侧视图俯视图一点透视二点透视三点透视图7-3 平面几何投影的分类投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面(a)正投影(b)斜投影7-11 平行投影投影平面法向不具有透视缩小性不具有透视缩小性平行线经平行投影变换后仍保持平行平行线经平行投影变换后仍保持平行投影方向投影平面(a)三视图(b)正轴测7-12 正投影xzyO投影平面投影方向zxyxzyOZYXY主

8、视图俯视图侧视图7-13 三维形体及其三视图正轴测图正轴测图正轴测有等轴测、正二测等轴测、正二测和正三测正三测三种l当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为 等轴测等轴测l当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为 正二测正二测l当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测正三测。xzyOxzyOxzyOxzyOxzyOxzyO(a)等轴测(b)正二测(c)正三测图7-14 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面投影平面投影平面x y z 1 = x y z 1 * TH = x 0 -(y+z0) 1x y z 1 = x y z 1 * TW =-(y+x0) 0 z 1u侧视图的

9、投影变换矩阵表示侧视图的投影变换矩阵表示:xzyOABCDEF图7-15 正轴测图的形成100000sincossin00cos000cossincos TTTTRxRyxzyOABCDEF图7-15 正轴测图的形成1000004082. 07071. 0008165. 00004082. 07071. 0100000662200360006622TxzyOABCDEF图7-15 正轴测图的形成100000sin222200cos000sin2222T u由于正轴测图的投影面不与任何坐标轴垂直由于正轴测图的投影面不与任何坐标轴垂直,所以正轴测图所以正轴测图能同时反映物体的多个面能同时反映物体的

10、多个面,具有一定的立体效果具有一定的立体效果u平行线仍保持平行平行线仍保持平行,沿三个主轴方向都可测量距离沿三个主轴方向都可测量距离u等轴测图在三个主轴方向上距离因子相等等轴测图在三个主轴方向上距离因子相等 正二测图在两个主轴方向的距离因子相等正二测图在两个主轴方向的距离因子相等 正三测图在三个主轴方向的距离因子都不相等正三测图在三个主轴方向的距离因子都不相等投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等测(b)斜二测7-16 斜平行投影pOp投影方向投影平面pOp投影平面法向其中,图(a)中=45 图(b)中=arctan2yzxp(0,0,zp)p(xp,yp,0)投影平面投影方向m7-17 斜平

11、行投影的形成oyzx投影平面mo(b)q点为空间任意一点(a)p点在z轴上q(xq,yq,zq)yqxqyqxqq(xq,yq,0)zq通常=30取30或45。 100000sincos00100001ctgctgT对于斜等测图有：=45,ctg=1斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2xzyxzyxzy 45 30 xzy 30 45111111/211/2(a)斜等测(b)斜二测7-18 单位立方体的斜平行投影下图示出了一个单位立方体在下图示出了一个单位立方体在xoy平面上的几种斜投影平面上的几种斜投影:yzxp(x,y,z)dp(x,y,z)o图7-19 点的一点透视假设假设投

12、影中心在z轴上(z=-d),投影面在xoy面上,投影面与投影中心的距离d,那么如何求取那么如何求取 空间一点空间一点p(x,y,z)的透视投的透视投影为影为p(x,y,z)点的坐标点的坐标 1000000000100001100011000010000111dzyxzyx灭点灭点(Vanishing Point)：对于透视投影,一束平行于投影面的平行线的投影可以保持平行,而不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点灭点.主灭点主灭点: 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点主灭点。基本概念基本概念透视投影按主灭点的个数分为透视投影按主灭点的个数分为: 有一个主灭点，即

13、投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。7-20 透视投影灭点灭点灭点灭点(a)一点透视(b)二点透视(c)三点透视灭点灭点分析分析：进行透视投影,要考虑下列几点：(1)三维形体与画面（投影面）的相对位置；(2)视距，即视点（投影中心）与画面的距离；(3)视点的高度。 xyz111ABCDEFGH图7-21 单位立方体的一点透视(a)单位立方体xy0.51.01.50.51.01.5ABCDHFEG(b)一点透视图过程动态演示过程动态演示xy1.02.03.01.02.03.0A B

14、DHFEGC图7-22 单位立方体的二点透视过程动态演示过程动态演示过程动态演示过程动态演示三维形体的显示过程包括：三维形体的显示过程包括：选择合适的投影平面和投影中心（视点），将选择合适的投影平面和投影中心（视点），将形体投影到二维投影平面。形体投影到二维投影平面。确定一个观察空间，在投影之前去掉观察空间确定一个观察空间，在投影之前去掉观察空间外的部分，只对这个空间内的图形投影和显示。外的部分，只对这个空间内的图形投影和显示。xyzxvyvzvpo(xo,yo,zo)图7-23 用户坐标系与观察坐标系 观察参考坐标系观察参考坐标系 XvYvZv 观察参考点观察参考点Po (xo,yo,zo)图7-26 沿zv轴的观察平面zvyvxv图7-27 观察窗口zvyvxvxwmin,ywminxwmax,ywmax观察窗口观察平面图7-28 正投影的观察空间zvyvxv(a) 无限观察空间(b) 有限观察空间yvxv投影方向投影方向观察窗口zv前截面后截面观察窗口zvyvxv图7-30 透视投影的观察空间观察窗口zvyvxv(a) 无限观察空间(b)