积分变换第1傅里叶变换

1、1.1傅氏变换傅氏变换 及单位脉冲函数及单位脉冲函数本章学习目标 1、了解傅里叶积分; 2、理解傅里叶变换; 3、掌握 Dirac 函数及傅里叶变换; 4、熟悉傅里叶变换的性质. (,) jj1( )( )dd2tf tfee一、傅里叶积分定理 若函数f(t) 在任何有限区间上满足狄氏条件，且在 上绝对可积。则有(0)(0)2f tf t 成立，而左端的f(t)在它的间断点t处值为 例1 求函数 的傅里叶积分表达式。1,1;( )0,.tf t其它 设设)(tf与与)( F在在),( 上上都都绝绝对对可可积积，则则 j( )( )dFfe称为称为)(tf的的 Fourier 变换变换； j1(

2、 )( )d2tf tFe称为称为)( F的的 Fourier 逆变换逆变换； )(tf)(1 F 二二.傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念 即即 )( F = = dtetfti )( )(tf )(tf = = deFti)(21 )(1 F )(tf = = )(1tf 例题例题: 例例1、求函数：、求函数： 的傅立的傅立叶变换，并求叶变换，并求 的值。的值。 1,010 ,1)(tttfdwww 0sin 例例 2、求指数衰减函数、求指数衰减函数的傅立叶变换，并求的傅立叶变换，并求的值。的值。 0,00,)(ttetft 022sincosdtwwtwwt 在物理和工程技术中, 常常会碰

3、到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等，研究此类问题就会需要我们介绍单位脉冲函数。三、单位脉冲函数 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, 某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电现在要确定电路上的电流流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, 则则. 0, 1; 0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0 当当t 0时时, i(t)

4、=0, 由于由于q(t)是不连续的是不连续的, 从而在从而在普通导数意义下普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数, 则得则得ttqtqitt1lim)0()0(lim)0(00 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电为了确定这样的电流强度流强度, 引进一称为狄利克雷引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数的函数, 简单简单记成记成d d-函数函数: 000tttd有了这种函数有了这种函数, 对于许多集

5、中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷例如点电荷, 点热源点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量就能够象处理连续分布的量那样那样, 以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决. -1td000100000( )( )lim( )ttttttttddd给给函函数数序序列列，定定义义。d d (t)1/ O0001( )dlim( )dlim1ttttdtdd（在极限与积分可交换意义下）（在极限与积分可交换意义下）工程上将工程上将d d-函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数。 可将可

6、将d d-函数用一个长度等于函数用一个长度等于1的有向线段表的有向线段表示示, 这个线段的长度表示这个线段的长度表示d d-函数的积分值函数的积分值, 称为称为d d-函数的强度函数的强度.tOd d (t)1d d-函数有函数有筛选性质筛选性质： 000( ) ( )d( )() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf tdd及及（为连续函数）（为连续函数）可见可见d d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。积分都有明确意义。因为因为d d 函数是广义函数函数是广义函数, 所以其所以其Fourier变换不变换不 是通常意义下的是通

7、常意义下的Fourier 变换变换. 根据根据Fourier 变换的变换的定义定义, 以及以及d d 函数的性质函数的性质, 可可 得得 ( )( )d1,i ttt et d dd d F F111 ( )( )d.22i te d d d d F F通常通常, 没有意义没有意义. 然而由然而由 1F F11 ( ),2d d F F在广义函数意义下在广义函数意义下, 12( ). d d F F 性质：性质：n1 - =200103-0-1)0dddd ddd( ).( )( ).( )d( ),( )( ),( ),.( )( ) ( )d( )( ) ( )d( ).tnttdu tu

8、 ttdttu ttf tt f ttft f ttf(n)(n)函数是偶函数，即；函数是偶函数，即；及及其中称为单位阶跃函数；其中称为单位阶跃函数；若为无穷次可微的函数，则有若为无穷次可微的函数，则有，一般地，有一般地，有证法证法2：若：若F( )=2d d ( ), 由傅氏逆变换可得由傅氏逆变换可得j01( )2( )ed12tj tf ted 例例3 证明：证明：1和和2d d ( )构成傅氏变换对构成傅氏变换对.证法证法1： 12.j tj sedtstedsd F 100000121222jjjjj( )( )ed()edee.e()tttttf tF d d 证：证：即和构成了一个

9、傅氏变换对。即和构成了一个傅氏变换对。002d je()t例4 证明和构成一个傅氏变换对。例4 证明和构成一个傅氏变换对。由上面两个函数的变换可得由上面两个函数的变换可得0jj()0ed2( )ed2()tttt d d 例如常数例如常数, 符号函数符号函数, 单位阶跃函数以及正单位阶跃函数以及正, 余弦函余弦函数等数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广在广义意义下义意义下, 同样可

10、以说同样可以说,原象函数原象函数f(t) 和象函数和象函数F( ) 构成一个傅氏变换对构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件即不满足条件|( )|df tt 例例5 求正弦函数求正弦函数f (t)=sin 0t的傅氏变换。的傅氏变换。0000000001221222jjjj()j(j( ) ( )esindeeed(ee)djj()()j()() .jttttttFf ttttt d d d d F例例6 证明：证明：0,0( ),1,0tu tt单位阶跃

11、函数1 ( )( ).u tjd F证：证：1011121112211221111222( )( )( )cossinsinsinj tj tj tedjjededjtjtdjttddd d d F0,20,2sin0ttdt11100221102111022,( ),( ),ttu tjtd F 例例5 计算计算 和和 0cos t F F0sin.t F F根据根据d d 函数函数Fourier变换的变换的 , 可得可得 00011cos22itittee F FF FF F00()() , d d d d 00011sin22ititteeii FFFFFF00()() .id d d

12、d 例例6 计算计算 22sin 3.t F F利用利用 , 可得可得 22sin 31cos6 1cos6 ttt FFFFFFFF 2 ( )(6)(6) .d d d d d d 因为因为d d (x)是是d d 逼近函数逼近函数 的弱极限的弱极限, 所以由所以由 ( )x d d, 也可以理解为也可以理解为 ( )xd dF F0 ( )lim( )xx d dd d FF(1) d d 函数函数Fourier变换的时移和频移性质变换的时移和频移性质 00 () ( ),i tttet d dd d F FF F0012().ite d d F F0sinlim1. d d-函数的傅氏

13、变换为函数的傅氏变换为:0 ( )()( )ede1j tj tttFttddF于是于是d d (t)与常数与常数1构成了一傅氏变换对构成了一傅氏变换对.11( )12i tte ddF2( )i te dtd根据根据Fourier变换的定义以及变换的定义以及d d 函数的性质函数的性质, 00 ()()di ttttt et d dd d F F000() ( ),iti ti teeetd d F F1001 ()()d2i te d d d d F F01,2ite 即即 0012().ite d d F F(2) d d 函数函数Fourier变换的微分性质变换的微分性质 ( )( )() ,nntid