第20讲_三角形与全等三角形

1、数学第五章图形的性质(一)第20讲三角形与全等三角形要点梳理 1三角形的边、角关系三角形的任意两边之和 第三边；三角形的内角和等于 2三角形的分类按角可分为 和 ，按边可分为 和 180大于大于直角三角形直角三角形斜三角形斜三角形不等边三角形不等边三角形等腰三角形等腰三角形要点梳理 3三角形的主要线段(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心要点梳理 (3)高：三角形的一个顶点和它对边

2、所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心(4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线(5)垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点要点梳理 4全等三角形的性质和判定(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等要点梳理 (2)判定： (SAS)； (ASA)； . (AAS)； 对应相等的两个三角形全等(SSS)； 对应相等的两个直角三角形全等(HL)两边

3、和夹角对应相等的两个三角形全等两角和夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等三边斜边和一条直角边要点梳理 一个防范按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定要点梳理 两种思考途径(1)当图形明显具有对称性(轴对称或中心对称)或旋转性时，思考途径是：从居于对称位置的线、角或部分证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次全等提供所

4、缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件；(2)图形不具有明显的对称性或旋转性，此时要证明两个三角形全等，在思考上的关键是找准对应关系其方法是：已知条件中相等的角、边对应，则它们所对的边、角对应；欲证相等的边、角对应，它们所对的边、角也是对应的；最后所余的一组边、一组角分别对应三种基本思路(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件四种思考方法(1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分

5、别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法六种全等模式(1)“公共角”模式；(2)“公共边”模式；(3)“对顶角”模式；(4)“角平分线”模式；(5)“平移”模式；(6)“旋转”模式1(2013陕西)如图，在四边形ABCD中，对角线ABAD，CBCD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有( C

6、 )A1对B2对C3对 D4对 2(2014陕西)如图，在RtABC中，ABC90，点D在边AB上，使DBBC，过点D作EFAC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.求证：ABBF. 3(2013陕西)如图，AOB90，OAOB，直线l经过点O，分别过A，B两点作ACl交l于点C，BDl交l于点D.求证：ACOD.解：AOB90，AOCBOD90，ACl，BDl，ACOBDO90，AAOC90，ABOD，又OAOB，AOC OBD(AAS)，ACOD 三角形的三边关系【例1】(1)(2013宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )A1，2，6B2，

7、2，4C1，2，3D2，3，4(2)(2013德阳)如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是( )A5.5 B5 C4.5 D4DA【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|ab|cab.1(1)(2014宜昌)已知三角形两边长分别为3 和 8，则该三角形第三边的长可能是( ) A5 B10 C11 D12 (2)(2013滨州)若从长度分别为3，5，6，9 的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为( ) A.12 B.34 C.13 D.14 BA三角形的

8、内角、外角的性质 【例2】(1)(2014赤峰)如图，把一块含有30角(A30)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果140，那么AFE( )A50 B40C20 D10D(2)一个零件的形状如图所示，按规定A90，B和C分别是32和21，检验工人量得BDC148，就断定这个零件不合格，请说明理由解：(2)延长 BD 交 AC 于 E.DEC 是ABE 的外角，DECAB9032122. 同理BDCCDEC21122143148，这个零件不合格 【点评】有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，

9、若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”2(1)(2013宁夏)如图，ABC中，ACB90，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若A22，则BDC等于( )A44 B60 C67 D77C(2)如图，P是ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“”表示BPC，BDC，BAC之间的关系解：BPC是PCD的外角，BPCBDC，同理BDCBAC，BPCBDCBAC全等三角形判定的运用【例3】(1)(2014深圳)如图，ABC和DEF中，ABDE，BDEF，添加下列哪一个条件无法证明ABC DEF( )AACDF BADCACDF DACBFC(2)(2013娄底)如图，ABAC，要使AB

10、E ACD应添加的条件是 (添加一个条件即可)BC或AEAD【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角3(1)(2013绥化)如图，A，B，C三点在同一条直线上，AC90，ABCD，请添加一个适当的条件 ，使得EAB BCD.AECB(2)(2014邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，ABCD，ABECDF，AFCE.从图中任找两组全等三角形；从中任选一组进行证明解： (2)ABE CDF ， AFD CEB ；ABCD，12

11、，AFCE，AFEFCEEF，即 AEFC， 在ABE 和CDF 中，12，ABECDF，AECF，ABECDF(AAS) 运用全等三角形的性质【例4】已知：如图，在ABC中，D是BC的中点，EDDF，求证：BECFEF.解：证明：延长ED 到 M，使 DMED，连接 CM，FM.D 是 BC 的中点，BDCD.在EDB 与MDC 中，BDDC，EDBCDM，EDDM，EDBMDC(SAS)，BECM.在FMC 中，CFCMMF，又EDDF，EDDM，EFFM.CFCMEF，即 CFBEEF 【点评】利用中线加倍延长法，把BE，CF，EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证4

12、(2014重庆)如图，ABC中，BAC90，ABAC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E.在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC.(1)求证：BECF；(2)在AB上取一点M，使BM2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：MEBC；DEDN. 如图，过点 E 作 EHAB 于 H，则BEH 是等腰直角三角形，HEBH， BEH45， AE 平分BAD， ADBC， DEHE， DEBHHE， BM2DE，HEHM，HEM 是等腰直角三角形，MEH45，BEM454590，MEBC 由题意得，CAE45124567.5，CEA1804567.567.5，CAECEA67.

13、5，ACCE，在 RtACM 和 RtECM中，CMCM，ACCE，RtACMRtECM(HL)，ACMECM124522.5，又DAE124522.5，DAEECM，BAC90，ABAC，ADBC，ADCD12BC， 在ADE 和CDN 中，DAEECM，ADCD，ADECDN，ADECDN(ASA)，DEDN 试题如图，已知D是ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EBEC，12.求证：BAECAE. 错解证明：在AEB和AEC中，AEAE，EBEC，12，AEB AEC(SSA)，BAECAE. 剖析(1)先看一个事实，如图，将等腰ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的DAB和DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟(2)全等三角形的证明是几何证明的基础，关系到以后几何学习的成绩，要熟练掌握判定三角形全等的方法，有“边边边”“边角边”“角角边”及“斜边、直角边”(3)怎样添加辅助线：做个比喻，思考某些题目，在沟通已知和结论的途中，一条河挡住了道路，这时添加必要的辅助线，就好像在河上架起桥梁添加辅助线的原则一是当分析思考出现上述需要时才添加，而不要在思考伊始就乱连乱添，把图形复杂化