第五章S域分析极点与零点

1、第五章第五章 S S域分析、极域分析、极点与零点点与零点决定系统的时域响应决定系统的时域响应决定系统频率响应决定系统频率响应决定系统稳定性决定系统稳定性系统函数的定义系统函数的定义系统零状态下，响应的拉氏变换与激励系统零状态下，响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作拉氏变换之比叫作系统函数系统函数，记作，记作H(s).可以是电压传输比、电流传输比、转移可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳)()()(sEsRsH系统函数的极零点分布系统函数的极零点分布niimjjpszsksH11)()()(j0z1z2z0p1p2p5.1 由系统函数

2、的极零点分布决定由系统函数的极零点分布决定 时域特性时域特性（1）时域特性）时域特性h(t)niimjjpszsksH11)()()(反变换niinitpiniiithekpskLthi1111)()(第 i个极点决定总特性Ki与零点分布有关（2） 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(a)一阶极点在一阶极点在原点原点j01pSsH1)(t)(th)()(tuth（2） 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(b)一阶极点在一阶极点在负实轴负实轴SsH1)(teth)(t)(thtej01p（2） 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(c)一阶极点在一阶极点在正实轴正实轴j0SsH1)(teth

3、)()(tht0te1p（2） 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(d)一阶共轭极点在一阶共轭极点在虚轴上虚轴上2121)(SsH)(.sin)(1tuttht)(th0j01j1j1p2p212)(SSsH)(.cos)(1tutth（2） 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(e)共轭极点共轭极点在虚轴上在虚轴上，原点原点有一零点有一零点t)(th0j01j1j1p2p（2） 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(f)共轭极点在共轭极点在左半平面左半平面2121)()(SsH)(.sin)(1tutethtt)(th0j01j1j2p1p（2） 几种典型的极点分布几种典型的极点分布(g)

4、共轭极点在共轭极点在右半平面右半平面2121)()(SsH)(.sin)(1tuttht)(th0j01j1j1p2p（3） 有二重极点分布有二重极点分布(a)在原点在原点有二有二重极点重极点j21)(SsH)(tht0tth)(j2)(1)(SsHtteth)()(tht0（3） 有二重极点分布有二重极点分布(b)在负实轴在负实轴上有上有二重极点二重极点（3） 有二重极点分布有二重极点分布(c)在在虚轴虚轴上有二上有二重极点重极点2212)(2)(SSsHttth1sin)(j)(tht0（3） 有二重极点分布有二重极点分布(d)在左半平面有二重共轭极点在左半平面有二重共轭极点2212)()

5、(2)(SSsHttetht1sin)(j1j1j)(tht0一阶极点j二重极点j极点影响小结：极点影响小结：极点落在左半平面极点落在左半平面 h(t) 逞衰减趋逞衰减趋势势极点落在右半平面极点落在右半平面 h(t)逞增长趋逞增长趋势势极点落在虚轴上只有一阶极点极点落在虚轴上只有一阶极点 h(t) 等幅振荡，不能有重极点等幅振荡，不能有重极点极点落在原点极点落在原点 h(t)等于等于 u(t)（4） 零点的影响零点的影响221)()(asassH222)()(asssH0ztethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat0z零点移动到原点（4） 零点的影响零点的影响零点的分布

6、只影响时域函数的幅度零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率和相移，不影响振荡频率tethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat幅度多了一个因子多了相移结论H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关与激励无关自由响应的幅度和相位与自由响应的幅度和相位与H(s)和和E(s)的零的零点有关，即零点影响点有关，即零点影响 K i , K k 系数系数E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，的极点决定了强迫响应的振荡频率，与与H(s) 无关无关用用H(s)只能研究零状态响应，只能研究零状态响应， H(s)中零中零极点相消将使某固有

7、频率丢失极点相消将使某固有频率丢失。激励E(s)的极点影响激励激励E(s)的极点也可能是复数的极点也可能是复数增幅，在稳定系统的作增幅，在稳定系统的作用下稳下来，或与系统用下稳下来，或与系统某零点相抵消某零点相抵消等幅，稳态等幅，稳态衰减趋势，暂态衰减趋势，暂态0Rekp0Rekp0Rekp例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态响应态响应。T)(tetRC) (te)(0tv（1）求）求e(t)的拉氏变换的拉氏变换)1 ()1 (1)1 (1)(0sTsnsnTseeseessE（2）求系统函数）求系统函数H(s)sCsRCssHRC111)(j

8、（3）求系统完全响应的拉氏变换）求系统完全响应的拉氏变换)(0sV)1)()1 ()().()(0sTsessesHsEsV)()()(000sVsVsVst暂态稳态(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)()1 ()().()(101ssesEsHsVs（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。sKsVt10)(TseessVK11)(01tTteeetv.11)(0固定常数衰减因子（7）求第一周期的稳态响应）求第一周期的稳态响应seessesVsVsVTsts1.11)()1()()()(00110)().1 ()(.111 )()()(10tuetueeetvttTTs1)(

9、1tVost0（8）整个周期矩形信号的稳态响应0100) 1()()()(nssTntunTtunTtvtv暂态响应稳态响应完全响应BBATeeA11TeeB115.2 由系统函数决定系统频由系统函数决定系统频率特性率特性什么是系统频率响应？什么是系统频率响应？不同频率的正弦激励下系统的稳态响应不同频率的正弦激励下系统的稳态响应一般为复数，可表示为下列两种形式：一般为复数，可表示为下列两种形式：)()()()()()(jjejHjHjjIjRjHtEtem0sin)(2020)(sEsEmniiijjpskjskjsksHsEsR10000)()()(由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定

10、的，该项最后衰减为零000)(jeHjH000)(jeHjHjeHEsRjskjmjsj2)()(0000jeHEsRjskjmjsj2)()(0000)sin()(000tHEtrm)()(000002)(tjtjmweejHEsR稳态响应有关的tEtem0sin)(幅度该变相位偏移000)(jeHjH)()()(jjejHjH若 换成变量 0系统频率特性幅频特性相位特性用几何法求系统频率特性用几何法求系统频率特性nllmiijnmniimjjeMMMNNNkpjzjkjH11)(212111)()()(j1p1z111jeNzj111jeMpj2p例：已知例：已知 试求当试求当时的幅频和相

11、位时的幅频和相位1221)(23ssssH11M11 j0145414. 1M)231)(231)(1(1)(jsjsssH2M1 j202215517. 0M3M31 j03375932. 1M 0000321135)751545(1211) 1(jMMMjH5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的一阶系统和二阶非谐振系统的S平面分析平面分析已知该系统的已知该系统的H(s)的极零点在的极零点在S平面平面的分布，确定该系统的幅频特性和的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线相频特性的渐近线（1）一阶系统）一阶系统一零点，一在实轴的一零点，一在实轴的极点极点一在原点的零点，一一在原点的零点，一在

12、实轴的极点在实轴的极点只有无穷远处的零点只有无穷远处的零点一在实轴的极点一在实轴的极点11)(pszsKsH1)(pssKsH1)(psksH例：求一高阶系统的频率特性例：求一高阶系统的频率特性+U1 +U2CRRCssscRRsUsUsH11)()()(12MN-1/RC)()(jeMNjH01, 0, 0MNRCMN21,2011,45,MNMNRCRCRC12UURC10900450, 1,MN例：例： 求一阶低通滤波器的频率特性求一阶低通滤波器的频率特性RC+U1_+U2_RCsRCRUUsHCsCs11.1)(1112M没有零点RC1j)(11)(jeMkjH12UURC111, 0

13、12UURCM0124521,2,1UURCMRC012900,UUM045090RC1幅频特性相位特性（2） 二阶非谐振系统的二阶非谐振系统的S平面分析平面分析只考虑单极点使系统逞低通特性只考虑一极点和一零点使系统逞高通特性中间状态是个常数低通高通)(jH总体是个带通例：1V2V1R1C3KV2C2R)(11)()()(211122111112pspssCRkCRsCRssCRksVsVsH)(21)(2111121111211211)(jjjjjeVVeMMNCRkeMeMeNCRkjH1111CRp2221CRp221111CRCR)(21111211)(jeMMNCRkjH2M1M1N

14、2221CRp1111CRp高通低通2M1M 较小时较小时 起作用起作用0,11111CRM)(1121121)(jeCRMMkNjH2M1Nj0)(,)(45)(,1,21)(022jkHjCRjH221CR0k221CR2p0190)(, 0)(jjH 逐渐增加高通)(j)(jH0900450221CR2 较大时较大时 起主要作用起主要作用)(1121111)(jeCRMMkNjH1Mj011090)(, 0)(1,21)(,45)(jHCRjHj111CR0低通特性k1p11)(jeMkjH0121290,NM 逐渐增加11111CRp2221CRp112211CRCRk)(jH带通09

15、0090)(j22111122,11CRCRCRCR01212111190,0,1jNMCRM)(21111211)(jeMMNCRkjH0)()(00jkkejHj例：若已知H(s)零极点分布如图(a)-(h)试粗略给出它们的)(jH)(a22pj1M2M11p)(2121211)()(1 )(jeMMjHpspssH)(jH)(b22pj1M2M)(21121211)()()(jeMMNjHpspsssH)(jH1N)(c22pj1M2M)(21212122121)()()(jeMMNNjHpspsssH)(jH1N2N)(d2j1M2M)(21112211)()()(jeMMNjHsss

16、sH)(jH1N)(e122jpj1M2M)(211212211)()()(jeMMNjHsssH)(jH1N1111jp)( f122jpj1M2M)(211212222211)()()(jeMMNjHsSsH1N111jp2N1j2j2j12)(jH)(g122jpj1M2M)(2112122211)()()(jeMMNjHsSsH111jp1)(jH)( fj2M221222212222)()(jHsSsH1N2N1j2j2j12)(jH1M5.4 5.4 二阶谐振系统的二阶谐振系统的S S域分析域分析谐振频率衰减阻尼因子频率变化影响高品质因素（一）谐振频率ARLC)(111)(21ps

17、pssCsLsCGsZdjjLCCGCGp220222, 1122衰减因素 谐振频率 LC10CG2220d(二)阻尼衰减因子 的影响CG20若 不变，则共轭极点总是落在以原点为圆心，以 为半径的左半圆弧上000) 1 (01jp 02jpt)(th00)2(0jdjdj0jdjp1djp2)(tht等幅震荡衰减震荡00021dpp)(tht 临界不起振01p2p2022, 12120cGppp实数根本不起振（三）频率变化影响当频率变化时 在S平面沿着虚轴移动，将 代入Z(s)， 则为系统频率特性，幅度、相位均沿 变化。jsjs)(jZ)()(21121)(1)(1)(21jjjejZeMMN

18、CpjpjjCjZ21)(j讨论 的前提下， 不变 而 变化的情况0) 1 (090012102111. 0)(90)(00jejZjMMNz1z1p2p0)(jZ0090090)(j00)2()(90)(9000001212111jZjMMNz1z1p2p0)(jZ0090090)(j1N0) 3(GCNNCjZMMMMNjNz12121)(20)(909001121211211010210111z1p2p0)(jZ0090090)(j斜边乘高直 角边之积0jG11N1z1p2p0j0)(90)(180,0)(9090021002121101021011jZMMjjNz0)(jZ009009

19、0)(jG10)4( 显著增长，而 增长缓慢些21MM1N(四)高品质因素的影响品质因素定义为品质因素定义为 包括了包括了 两方面的影响两方面的影响 高，若谐振频率一定，则高，若谐振频率一定，则 小，损小，损耗小，容易震荡，频率特性尖锐耗小，容易震荡，频率特性尖锐 低，则相反低，则相反200GcQ, 0QQ例如：当 时的情况 10Q20:1:202000Q0jdj当 在 附近时0)()(9029001010202010111hjddhjjeMjeMMN01000900900211)()(11)()1 (11)(211)(00211hhhhjjjjjtgjGjZjGjeeCeMeMeNCjZ21

20、)45(1)(00jZGMaxjZ0000)(jZ2121)45(1)(00jZGMaxjZ000)(jZ21QfffBQjj021012001020201012245)(,45)(, 1, 1边带带宽 高带窄Q0例如：高阶系统（极零点靠近虚轴）1i2C1CL2v无损电路，即 很小)()(1)()1(1)()()(2222121212122212sssCCLCCCssLCsCsIsVsZ21212122111CCCCLLC1p2p3p1z2zj1212090090)(jZ)(j1p2p3p1z2zj1212090)(jZ)(j有非常靠近虚轴的零极点090)(jZ)(j5.5 全通网络和最小相移

21、网络5.5全通网络和最小相移网络系统位于极点左半平面，零点位于右半系统位于极点左半平面，零点位于右半平面，且零点极点对于平面，且零点极点对于 轴互为镜象对轴互为镜象对称则，这种系统函数成为全通函数，此称则，这种系统函数成为全通函数，此系统成为全通系统，或全通网络系统成为全通系统，或全通网络。全通，即幅频特性为常数全通，即幅频特性为常数相移肯定不是零相移肯定不是零j全通网络的零极点分布1N2N3N1z2z3z1p2p3p1M2M3M332211NMNMNM从对称零点极点之和为180度逐渐减少最后为-360度)()()(2222sssssHKjH)()()(321321321321)(jeMMMN

22、NNKjHK01800360)(j例：一些对称性强的网络可能是全通网络一些对称性强的网络可能是全通网络LLCCRLRsLRssLRsLRsH)(最小相移网络零点位于右半平面，矢量夹角的绝对值零点位于右半平面，矢量夹角的绝对值较大较大零点为于左半平面，矢量夹角的绝对值零点为于左半平面，矢量夹角的绝对值较小较小定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的网络函数称为网络函数称为“最小相移网络最小相移网络”非最小相移网络可以看成最小相移网络非最小相移网络可以看成最小相移网络和全通网络的极联和全通网络的极联相互抵消乘jjj0900360)(j222222min)()()()(s

23、sssHsHj5.6 系统稳定性一个稳定系统对于有界激励信号产生有一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统是稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统的系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性稳定性稳定性的三种情况稳定性的三种情况稳定系统：稳定系统：H(s)全部极点落在左半平面全部极点落在左半平面（除虚轴外）（除虚轴外）不稳定系统：不稳定系统：H(s)有极点在右半平面，有极点在右半平面，或虚轴有二阶以上重极点，不收敛。或虚轴有二阶以上重极点，不收敛。边界稳定系统：边界稳定系统：H(

24、s)有一阶极点，等幅有一阶极点，等幅震荡震荡0)(limtht稳定系统对零极点的要求 在右半平面不能有极点，全在左半在右半平面不能有极点，全在左半面面 在虚轴上只能有一阶极点在虚轴上只能有一阶极点 分子方次最多比分母方次高一次，分子方次最多比分母方次高一次，即：转移函数即：转移函数 策动点函数策动点函数 中分母的中分母的 的因子只能是的因子只能是 的形式，其中的形式，其中 都是正值，乘得的都是正值，乘得的系数也是正值系数也是正值。 )(sH)(sH)(sHnm 1nm)()()(sBsAsH)(sB)(),(),( ,22dscbssassdcba, 从最高次幂到最低次幂无缺项，从最高次幂到最

25、低次幂无缺项，b 0 可以为零。可以为零。要么全部缺偶次项要么全部缺偶次项要么全部缺奇次项要么全部缺奇次项 的性质也使用于的性质也使用于)(sB)(sB)(sA2. 罗斯罗斯-霍尔维兹准则霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为 01110111)()()(asasbsabsbsbsbsAsBsHnnnnmmmm式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是实常数。H(s)的分母多项式为 0111)(asasasasAnnnn H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。 A(s)为霍尔维兹多项

26、式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai0。显然， 若A(s)为霍尔维兹多项式， 则系统是稳定系统。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯罗斯-霍尔维兹准则霍尔维兹准则(R-H准则准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯罗斯-霍尔维兹准则霍尔维兹准则 (R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)

27、。 若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算： 罗斯判据罗斯判据(罗斯准则罗斯准则) 指出： 多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。 若第一列元素的值不是全为正值， 则表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面， 因而系统是稳定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同， 则系统

28、是不稳定系统。 综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式， 故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。 例例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为 2321)(1232312)(5322)(233234522341sssssHsssssssHsssssH判断三个系统是否为稳定系统。 解解 H1

29、(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为 232)(233ssssAA3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为 2221dc0023dc根据式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得 2022221222312122dc0000221002012100dc因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。 例例 4.8-3 图 4.8-4 所

30、示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1(s)为 图图 4.8-4 例例 4.8-3 图图 )10)(1()(1sssKsHK取何值时系统为稳定系统。 F(s)X(s)H1(s)Yf(s)解解 令加法器的输出为X(s)， 则有 )()()()()()()()()(11sYsFsHsXsHsYsYsFsXfff由上式得 KsssKsHsHsFsYsHsFsHsHsYff1011)(1)()()()()()(1)()(23111122111dc0010dcK根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得 由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为 KK11101110010K根

31、据R-H准则，若 和-K0，则系统稳定。 根据以上条件，当K0时系统为稳定系统。 01110K4.8.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换与傅里叶变换 0)()()(dtetfdtetfjFtjtjdtetfsFst)()(0Res 若f(t)为因果信号，则f(t)的傅里叶变换F(j)和单边拉普拉斯变换F(s)分别为 由于s=+j，因此，若能使=Res等于零，则F(s)就等于F(j)。但是，能否使等于零，这取决于F(s)的收敛域。 F(s)的收敛域为Res0, 0为实数，称为收敛坐标收敛坐标。0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。 1. 00 如果00，则F(s)的收敛域包含j轴(虚轴)

32、，F(s)在j轴上收敛。若令=0，即令s=j，则F(s)存在。这时，f(t)的傅里叶变换存在，并且令s=j，则F(s)等于F(j)。 即 jssFjF)()(例如， ，其单边拉普拉斯变换为) 1()()1(2tetft2)(sesFs2Res 的傅里叶变换为)(tf2)()(jesFjFjjs2. 0=0 miiiNjsKsFsF1)()( 若收敛坐标0=0，F(s)的收敛域为Res0，F(s)的收敛域不包含j轴，故F(s)在j轴上不收敛。若令s=j，则F(s)不等于F(j)。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为m个一阶极点ji(i=1, 2, , m)。将F(s)展开为部分分式，表示为 式中，FN(s)表示左半平面极点对应的分式。令FN(s)的原函数为fN(t)，则F(s)的原函数为 )()()()()(11tftfeKtfsFLtfMNmitjiNimitjiMteKtfi1)()( 的傅里叶变换为)(tf)()