第二章流动分析基础

1、B2 流动分析基础B2.1 B2.1 描述流体运动的数学方法描述流体运动的数学方法 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法当地法当地法B2 B2 流动分析基础流动分析基础描述方法描述方法随体法随体法拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法质点轨迹：质点轨迹：)(a,b,c,tr rr r参数分布：参数分布：B = B（x, y, z, t） 1.1.分类分类2.2.比较比较分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间

2、分布不适合描述流体元的运动变形特性不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法B2 B2 流动分析基础流动分析基础 例例B2.1.2B2.1.2 由速度分布求质点轨迹由速度分布求质点轨迹(2-1)(2-1)求：求： 在在t = = 0时刻位于点（时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。）的流体质点的运动轨迹。对某时刻对某时刻t t 位于坐标点上位于坐标点上( (x,y) )的质点的质点 解：解：求解一阶常微分方程（求解一阶常微分方程（a a）可得）可得已知已

3、知: : 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为tyvtxu(a) tytyvtxtxudddd111222eede(1)ee1eede(1)ee1ttttttttttxcttctctycttctct (b) c1 ，c2 为积分常数，由为积分常数，由t = = 0时刻流体质点位于时刻流体质点位于 可确定可确定 ,xa yb121,1cacb(1)e1(1)e1ttxatybt 讨论：讨论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不同度分

4、量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。 例例B2.1.2B2.1.2 由速度分布求质点轨迹由速度分布求质点轨迹(2-2)(2-2)代入代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为B2.2 B2.2 速度场速度场 速度场是最基本的场速度场是最基本的场v = v (x, y, z, t ) 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布二维速度剖面二维速度剖面 u u ( x, y)速度分量：速度分量：( ,

5、, , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t( , , , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t三维速度廓线三维速度廓线B2.2 B2.2 速度场速度场B2.2.1 流量与平均速度流量与平均速度d= ()d= cos dQAvAv n单位时间流过面积元单位时间流过面积元dA的体积元，即流量微分为的体积元，即流量微分为90270cos0d0Q9090cos0d0QB2.2.1 流量与平均速度流量与平均速度(2-1)B2.2.1 流量与平均速度流量与平均速度Q、 指净流出流量

6、指净流出流量 m 封闭曲面时封闭曲面时流量流量体积流量体积流量()dAmAv n平均速度平均速度体积流量体积流量不可压缩流体质量流量不可压缩流体质量流量质量流量质量流量不可压缩流体不可压缩流体()dAQAv nQmAQV VAQ mVAB2.2.1 流量与平均速度流量与平均速度(2-2) 例例B2.2.1B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-1)(2-1)求：求：两种速度分布的（两种速度分布的（1 1）流量）流量Q的表达式；（的表达式；（2 2）截面上平均速度）截面上平均速度V。解：解： （1 1）流量计算时）流量计算时dA = 2rdr，抛物线

7、分布的流量为，抛物线分布的流量为已知已知: :粘性流体在圆管（半径粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布，内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布， 一种是抛物线分布一种是抛物线分布, ,另一种是另一种是1/71/7次幂分布：次幂分布：2m111Rruu7/12m21Rruu上式中上式中um1、um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 AQ(1RRrRrrurrRru02301m221md2d21 vn )dA =21m02421m5 . 0422RuRrruR1 / 7次幂分布的流量为分布的流量为AQ(2RrrRru07/12m

8、d2)1 ( vn )dA RRrRrRu07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772RuRuuR（2 2）抛物线分布和）抛物线分布和1 / 7次幂分布的平均速度分别为次幂分布的平均速度分别为1m21115 . 0 uRQV2m22228167. 0uRQV讨论：讨论： 抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而1/71/7次幂分次幂分布的截面平均速度为最大速度的布的截面平均速度为最大速度的0.81670.8167倍，这是后者的速度廓线中倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，速度分布

9、更均匀的缘故。部更平坦，速度分布更均匀的缘故。 例例B2.2.1B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-2)(2-2)B2.2.2 一维，二维与三维流动一维，二维与三维流动1. 1. 流动维数的确定：流动维数的确定： 三维流动三维流动: 速度场必须表示为三个空间坐标的函数速度场必须表示为三个空间坐标的函数 v = v ( x, y, z) 二维流动二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数速度场简化为二个空间坐标的函数 v = v ( x, y) 或或 v = v ( r, z) 一维流动一维流动: 速度场可表示为一个空间坐标的函数速度场可表示为一

10、个空间坐标的函数 v = v( x ) 或或 v = v ( s )2. 2. 常用的流动简化形式：常用的流动简化形式：(1) (1) 二维流动：平面流动，二维流动：平面流动，轴对称流动轴对称流动(2) (2) 一维流动：质点沿曲线的流动一维流动：质点沿曲线的流动 v = v ( s ) 流体沿管道的平均速度流体沿管道的平均速度 V = V ( s )B2.2.2 一维，二维与三维流动一维，二维与三维流动(2-1) 用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子截面上动能和动量计算造成偏差，

11、引入动能修正因子和动量修正和动量修正因子因子，分别定义为，分别定义为2211()()22AudmVmAudmVm 表表B2.2.1 B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子圆管粘性一维定常流动修正因子3. 直圆管一维流动修正因子直圆管一维流动修正因子m/V u速度分布类型速度分布类型平均速度平均速度/ /中心速度中心速度动能修正因子动能修正因子动量修正因子动量修正因子抛物线分布抛物线分布2.01.3331.3331/71/7指数分布指数分布0.81670.81671.0581.0581.0201.020B2.2.2 一维，二维与三维流动一维，二维与三维流动(2-2) 例例B

12、2.2.2B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-1)(3-1)(1) (1) 按单位质量流体的动能计算，动能修正因子定义为按单位质量流体的动能计算，动能修正因子定义为解：解：已知已知: :粘性流体在直圆管（半径粘性流体在直圆管（半径R）内作定常流动。圆截面上有两种速度分布，内作定常流动。圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布一种是抛物线分布, ,另一种是另一种是1/71/7次幂分布：次幂分布：2m111Rruu上式中上式中um1，um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 7/12

13、m21Rruu求：求：（1 1）关于平均速度的动能修正因子）关于平均速度的动能修正因子 ； （2 2）关于平均速度的动量修正因子）关于平均速度的动量修正因子。mVmuA)21(d)21(22上式中上式中V为平均速度，设为平均速度，设= = 常数常数, ,截面积截面积 A =R2，微元圆环面积，微元圆环面积 。rrAd2d，rruAurQrmd2d)(d)(drrVuRAVuAARd)(2d)(10323对抛物线分布对抛物线分布RRRRrrrRrRrrVuR0004232231121212d116d2对对1/71/7次幂分布次幂分布05838. 1d1981202d207/332032222rr

14、RrRrrVuRRR（2 2）按单位质量流体的动量计算，动量修正因子）按单位质量流体的动量计算，动量修正因子定义为定义为mVmuAdVAQm由质由质量量流量定义，流量定义， 例例B2.2.2B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-2)(3-2)可得可得RArrVuRAVuA0222d2d1抛物线分布抛物线分布333. 134d18d20222021121RRrrRrRrrVuR1/71/7次幂分布次幂分布020. 14950d1)98120(2d207/222022222RRrrRrRrrVuR讨论：讨论：将例将例B2.2.

15、1B2.2.1和本例的结果列表和本例的结果列表说明说明1/71/7次幂分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动次幂分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取量时，可取= =1=1，即不必修正。，即不必修正。表表B2.2.1B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子m/uV动能修正因子1.0201.0580.81671/7次幂分布1.3332.00.5抛物线分布动量修正因子速度分布类型平均速度/中心速度 例例B2.2.2B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-3)(3-3)B2.2.3 定常与不

16、定常流动定常与不定常流动a. a. 定常流动定常流动b. b. 准定常流动准定常流动c. c. 周期性谐波脉动流周期性谐波脉动流d.d. 周期性非谐波脉动流（生理波）周期性非谐波脉动流（生理波） e. e. 非周期性脉动流非周期性脉动流( (衰减波）衰减波）f. f. 随机流动（湍流）随机流动（湍流） 不定常流与定常流的转换不定常流与定常流的转换B2.2.3 定常与不定常流动定常与不定常流动B2.3 B2.3 流体运动的几何描述流体运动的几何描述 迹线迹线 流线流线定义定义拉格朗日法拉格朗日法()a,b,c,trr欧拉法欧拉法微分方程微分方程ddddddxutyvtzwt（t为自变量，为自变量

17、， x, y, z 为为t 的函数的函数 ）质点的运动轨迹质点的运动轨迹切线与速度方向一致的假想曲线切线与速度方向一致的假想曲线B2.3 流体运动的几何描述流体运动的几何描述( (x, y, z 为自变量，为自变量，t为参数）为参数）ddd( , , , )( , , , )( , , , )xyzu x y z tv x y z tw x y z t 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与流线流线(4-1)(4-1) 求：求： （1 1）质点）质点A的迹线方程；的迹线方程；解：解：此流场属无周期性的不定常流场。此流场属无周期性的不定常流场。1dd1ddtyttx

18、由上两式分别积分可得由上两式分别积分可得21221ctycttx已知：已知：设速度场为设速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点时刻流体质点A位于原点。位于原点。(1)(1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为（2 2）t = 0时刻过原点的流线方程；时刻过原点的流线方程；（3 3）t = 1时刻质点时刻质点A的运动方向。的运动方向。T = 0时质点时质点A 位于位于x =y =0，得，得c1= c2= 0。质点。质点A的迹线方程为迹线方程为消去参数消去参数 t 可得可得21) 1(212122yyyx上式表明质点上式表明质点A的迹线是一条

19、以（的迹线是一条以（1/2，1）为顶点，且通过原点的）为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。抛物线（见图）。（2 2）由流线微分方程式，）由流线微分方程式，1d1dytx积分可得积分可得tyttx221(a)cytx1(b) 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与流线流线(4-2)(4-2)在在 t = 0时刻，流线通过原点时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得，可得C = 0，相应的流线方程为，相应的流线方程为3/211 1C 可得可得C = 1/4 。（c）x = y这是过原点的一、三象限角平分线，与质点这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A A的迹线在

20、原点相切（见图）。的迹线在原点相切（见图）。(3)(3)为确定为确定t = 1时刻质点时刻质点A A的运动方向，需求此时刻过质点的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的所在位置的流线方程。由迹线参数式方程流线方程。由迹线参数式方程(a)(a)可确定，可确定，t =1时刻质点时刻质点 A位于位于x =3/2，y =1位置，代入流线方程位置，代入流线方程(b)(b) 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与流线流线(4-3)(4-3)讨论：讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以

21、不同（见定点的流线可以不同（见b b式），通过某流体质点所在位置的流线式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见也可以不同（见c c和和d d式）。式）。t = 1时刻过流体质点时刻过流体质点A所在位置的流线方所在位置的流线方程为程为x = 2 y1/2 (d)上式是一条与流体质点上式是一条与流体质点 A的迹线相切于的迹线相切于（3/23/2，1 1）点的斜直线，运动方向为）点的斜直线，运动方向为沿该直线朝沿该直线朝 x, y值增大方向。值增大方向。 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与流线流线(4-4)(4-4)B2.3.3B2.3.34 4 脉线与流体

22、线脉线与流体线 流体线流体线又称又称 染色线、烟线或条纹线染色线、烟线或条纹线脉线脉线定义定义 相继通过某空间点的相继通过某空间点的质点连线质点连线 时间线时间线某时刻标记的一串相连的某时刻标记的一串相连的质点连线质点连线B2.3.34 脉线与流体线脉线与流体线 例例B2.3.3B2.3.3不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与脉线脉线(3-1)(3-1)解：解：此流场是周期性变化的不定常流动。设此流场是周期性变化的不定常流动。设t = 0时刻起，每隔时刻起，每隔1s1s从坐从坐 标原点出发的质点依次编号为标原点出发的质点依次编号为a, b, c, d, e, f，每过每过6s重复循环一次。重复

23、循环一次。 将每个质点每隔将每个质点每隔1s的位置数据列表如下，每行的数据构成每个质的位置数据列表如下，每行的数据构成每个质 点的迹线，每栏的数据构成每一时刻的脉线。点的迹线，每栏的数据构成每一时刻的脉线。 已知：已知：设速度场为设速度场为 （0t3s） t6s重复循环。重复循环。0m/s1vum/s10vu（3st6s） 求：求： 试画出试画出 （1 1）0-6s内每隔内每隔1s从坐标原点出发的迹线；从坐标原点出发的迹线； （2 2）7-12s内每隔内每隔1s的时刻从坐标原点发出的脉线。的时刻从坐标原点发出的脉线。t (s)0123456789101112a(0,0) (1,0) (2,0)

24、 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)b(0,0) (1,0) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)c (0,0) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)d(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)e (0,0) (0,1) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (3,

25、3) (3,4) (3,5)f (0,0) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 例例B2.3.3B2.3.3不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与脉线脉线(3-2)(3-2) 在不定常流场中从某点发出的脉线形状在不同时刻可以不同。本例中在不定常流场中从某点发出的脉线形状在不同时刻可以不同。本例中 在在7-12s内的每一瞬时的脉线均不相同，但在下一个内的每一瞬时的脉线均不相同，但在下一个6 6秒内重复出现。秒内重复出现。 例例B2.3.3B2.3.3不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与脉线脉线(3-3)(3-3)(a)中分别为质点中分别为质点a, b

26、, c, d, e, f 的迹线的迹线(0-6s) ，随时间增长不断延伸；随时间增长不断延伸； (b)为从原点每隔为从原点每隔1s时刻时刻(7-12s) 流出的不同质点在每一瞬时连成的线流出的不同质点在每一瞬时连成的线 （以后重复循环），即从坐标原点发出的脉线。（以后重复循环），即从坐标原点发出的脉线。B2.3.5 B2.3.5 流管，流束与总流流管，流束与总流流管：流管： 流线围成的管子流线围成的管子流束：流束： 流管内的流体流管内的流体缓变流流束：流线平行或接近平行缓变流流束：流线平行或接近平行微元流束：有限截面无限小的流束微元流束：有限截面无限小的流束总流：总流：微元流束的总和微元流束的

27、总和在有效截面上取平均值，按一维流动处理在有效截面上取平均值，按一维流动处理B2.3.5 流管，流束与总流流管，流束与总流B2.4 B2.4 流体质点的随体导数流体质点的随体导数 质点导数：质点物理量随时间的总变化率质点导数：质点物理量随时间的总变化率质点质点p 的位置的位置随随时间时间变化，其物理量变化，其物理量B为为Bp = Bp xp ( t ), yp ( t ), zp ( t ), t (1)(1)质点导数的欧拉表达式质点导数的欧拉表达式DDBBBBBuvwttxyz(2)(2)质点导数的物理意义质点导数的物理意义Bt 为固定点上物理量为固定点上物理量B 随时间变化率，称为随时间变

28、化率，称为当地变化率当地变化率， 反映流场的不定常性。反映流场的不定常性。Bux 为迁移到不同位置由物理量的差异引起的变化率，称为为迁移到不同位置由物理量的差异引起的变化率，称为 迁移变化率迁移变化率，反映流场的不均匀性。，反映流场的不均匀性。B2.4 流体质点的随体导数流体质点的随体导数B2.4.1 B2.4.1 质点导数质点导数B2.4.2 B2.4.2 加速度场加速度场svvavts1. 三维流动三维流动取取 ，速度的质点导数为加速度，速度的质点导数为加速度()B=x,y,z,tvD()Duvwttxyz vvvvvavvt2. 一维流动一维流动(1)(1)沿流线沿流线s s，v = v

29、(s,t)(2)(2)沿总流沿总流s s，V = V(s,t)sVVaVtsB2.4.2 加速度场加速度场xuuuuauvwtxyzzwwwwauvwtxyzyvvvvauvwtxyz分量式分量式 例例B2.4.2B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度收缩喷管流动：迁移加速度(3-1)(3-1) 已知：已知：图示一圆锥形收缩喷管。长为图示一圆锥形收缩喷管。长为36 cm，底部与顶部直径分别为，底部与顶部直径分别为 d0= 9 cm，d3 = 3 cm，恒定流量恒定流量Q = 0.02 m 3 / s。解：解：设流动方向为设流动方向为x轴，原点在圆锥底部。喷管内为定常流动，当地加轴，原点在圆锥底部

30、。喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁移加速度。按一维流动式计算速度为零，只有迁移加速度。按一维流动式计算xVVa220218. 00235. 000636. 012045. 0 xxxA求：求：按一维流动计算按一维流动计算图示四个截面图示四个截面A0 ，A1 ，A2，A3上的加速度。上的加速度。V为管截面上平均速度。设截面与底部的距离为为管截面上平均速度。设截面与底部的距离为x，面积，面积A与与x的关系为的关系为任一截面上的平均速度和加速度为任一截面上的平均速度和加速度为230436. 00235. 0QAxxVVAQV计算结果如下表计算结果如下表1 -s/xV8834.00 312.2

31、5 28.290.000710.36A 3682.0067.18 10.150.001970.24A 2128.0024.655.1900.003850.12A 136.5011.603.1440.006360.00A 0a/ms-2V /ms-1A /m2x /m截面 例例B2.4.2B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度收缩喷管流动：迁移加速度(3-2)(3-2)讨论：讨论：计算结果表明喷管进出口的直径比为计算结果表明喷管进出口的直径比为1:31:3，速度比为，速度比为1:91:9，加速度，加速度比为比为1:2421:242。按牛顿第二定律流体有加速度必产生对喷管的冲击力，。按牛顿第二定律流

32、体有加速度必产生对喷管的冲击力，而且该冲击力在不同截面上数值不同。例而且该冲击力在不同截面上数值不同。例B4.4.2B4.4.2将计算流体对喷将计算流体对喷管的冲击力合力。管的冲击力合力。速度与加速度的变化曲线如图所示速度与加速度的变化曲线如图所示 例例B2.4.2B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度收缩喷管流动：迁移加速度(3-3)(3-3)B2.5 B2.5 一点邻域内相对运动分析一点邻域内相对运动分析B2.5.1 B2.5.1 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理在在 xy 平面流场中，平面流场中，M0 点邻近点邻近 M 点点的速度在的速度在 x 方向的分量可分解为方向的分量可分解为

33、011()()()dd()d22uvuuvu Mu Myxyyxxyx旋转速率旋转速率线变形速率线变形速率角变形速率角变形速率 M0 平移速度平移速度M 相对相对M0的速度的速度B2.5.1 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理B2.5.2 B2.5.2 流体的变形流体的变形1.1.线变形（以平面流动为例）线变形（以平面流动为例）()xxux tux=xtx(2)(2)面积扩张率：面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率面积扩张率：面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率uvvxy(3)(3)体积膨胀率：体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率体积膨胀率：体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速

34、率uvwvxyz yyvyB2.5.2 流体的变形流体的变形(2-1)(1)线应变率：线元在线应变率：线元在 x 方向的局部瞬时相对伸长速率方向的局部瞬时相对伸长速率 例例B2.5.2B2.5.2膨胀流动：线应变率与面积扩张膨胀流动：线应变率与面积扩张率率(3-1)(3-1)解：解：(1)(1)按流线微分方程式，因按流线微分方程式，因v =0得得dy = 0，积分可得流线方程为积分可得流线方程为 已知：已知：设平面流场为设平面流场为 （k 0 0，为常数），为常数）0vkxu说明流线是平行于说明流线是平行于x轴的直线族。线应变率为轴的直线族。线应变率为kxuxx0yvyy 求：求：（1 1）流

35、线、线应变率和面积扩张率表达式；）流线、线应变率和面积扩张率表达式；y = C ( C为常数为常数 ) ) （2 2）设）设k =1,t =0时刻边长为时刻边长为1的正方形流体面的正方形流体面abcd位于图中所示位于图中所示 位置位置, ,求求 t = t 时刻点时刻点a(1,3)到达点到达点a(3,3)时流体面时流体面abcd 的位置和形状。的位置和形状。说明说明x方向的线元以恒速率方向的线元以恒速率k 伸长，伸长，y方向的线元长度保持不变。方向的线元长度保持不变。面积扩张率为面积扩张率为kyvxuv 说明面元的瞬时面积相对扩张率为常数。任何单位面积的流体面均以说明面元的瞬时面积相对扩张率为

36、常数。任何单位面积的流体面均以恒速率恒速率k 扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k 0，为常数），为常数） 求：求：试分析该流场的运动学特征。试分析该流场的运动学特征。0ukyv 速度分布如图所示。由流线微分方程速度分布如图所示。由流线微分方程 k y dy = 0,积分得流线方程为积分得流线方程为 y = C (C为常数为常数)， 说明流线是平行于说明流线是平行于x轴的直线族。轴的直线族。kyuxvyvxuyyxx, 0, 0 x, y方向的线应变率和方向的线应变率和 x y平面内的角变形率分别为平面内的角变形率分别为221kyuxv说明一点邻域内的流体作顺

37、时针旋转（形成速度线形增长的基础）。说明一点邻域内的流体作顺时针旋转（形成速度线形增长的基础）。面积扩张率为面积扩张率为0yvxuv属不可压缩流动。图中四边形流体面在运动过程中面积保持不变，对属不可压缩流动。图中四边形流体面在运动过程中面积保持不变，对角线与角线与x轴的夹角不断减小，流体面不断拉长和变窄。轴的夹角不断减小，流体面不断拉长和变窄。线元既不伸长也不缩短，互相正交的线元随时间增长夹角不断变化。线元既不伸长也不缩短，互相正交的线元随时间增长夹角不断变化。本例中本例中k 0 ，即，即 ，流体自左向右流动时正交线元的夹角不断，流体自左向右流动时正交线元的夹角不断减小。流体的旋转角速度为减小。流体的旋转角速度为0 例例B2.5.3B2.5.3线性剪切流：角变形率与旋转角速度线性剪切流：角变形率与旋转角速度(2-2)(2-2) 例例B2.5.3AB2.5.3A 刚体旋转流：角变形率与旋转角速度